BACEduHub
matematicaTehnologicAnul 2026Subiect de Rezervă

Bacalaureat 2026 - Matematică Tehnologic - Subiect de Rezervă

Descarcă Subiect PDFDescarcă Barem PDF
Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcul Aritmetic cu Zecimale (5p)

Arătați că:

3⋅(2,9−1,7)+0,4=43 \cdot (2{,}9 - 1{,}7) + 0{,}4 = 4
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul parantezei și al înmulțirii

    Efectuăm scăderea din paranteză:

    2,9−1,7=1,22{,}9 - 1{,}7 = 1{,}2

    Înmulțim cu 33:

    3⋅1,2=3,63 \cdot 1{,}2 = 3{,}6

    (2 puncte)

  2. Finalizarea adunării

    3,6+0,4=43{,}6 + 0{,}4 = 4

    (3 puncte)

2. Ecuație Liniară (5p)

Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1. Determinați numărul real mm pentru care f(0)+f(m)=0f(0) + f(m) = 0.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul valorilor f(0)f(0) și f(m)f(m)

    • f(0)=2⋅0−1=−1f(0) = 2 \cdot 0 - 1 = -1
    • f(m)=2m−1f(m) = 2m - 1

    (3 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Relația devine:

    −1+2m−1=0  ⟺  2m−2=0  ⟺  2m=2  ⟺  m=1-1 + 2m - 1 = 0 \iff 2m - 2 = 0 \iff 2m = 2 \iff m = 1

    (2 puncte)

3. Ecuație Irațională (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

3x+6=6\sqrt{3x + 6} = 6
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Ridicarea la pătrat

    Condiția de existență a radicalului este 3x+6≥0  ⟺  x≥−23x + 6 \ge 0 \iff x \ge -2.

    Ridicăm ambii membri la pătrat:

    3x+6=62  ⟺  3x+6=363x + 6 = 6^2 \iff 3x + 6 = 36

    (3 puncte)

  2. Aflarea soluției

    3x=36−6  ⟺  3x=30  ⟺  x=103x = 36 - 6 \iff 3x = 30 \iff x = 10

    Deoarece 10≥−210 \ge -2, soluția convine.

    (2 puncte)

4. Calcul Procentual (5p)

Prețul unui obiect este de 500500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 30%30\%.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul valorii scumpirii

    Scumpirea reprezintă 30%30\% din prețul inițial:

    30100⋅500=30⋅5=150 lei\frac{30}{100} \cdot 500 = 30 \cdot 5 = 150 \text{ lei}

    (3 puncte)

  2. Aflarea prețului final

    500+150=650 lei500 + 150 = 650 \text{ lei}

    (2 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(0,4)M(0,4), N(2,8)N(2,8) și P(4,0)P(4,0). Determinați distanța dintre mijlocul segmentului MPMP și punctul NN.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Coordonatele mijlocului segmentului MPMP

    Fie QQ mijlocul segmentului MPMP:

    xQ=xM+xP2=0+42=2,yQ=yM+yP2=4+02=2  ⟹  Q(2,2)x_Q = \frac{x_M + x_P}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2, \quad y_Q = \frac{y_M + y_P}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2 \implies Q(2,2)

    (2 puncte)

  2. Calculul distanței QNQN

    QN=(xN−xQ)2+(yN−yQ)2=(2−2)2+(8−2)2=02+62=6QN = \sqrt{(x_N - x_Q)^2 + (y_N - y_Q)^2} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6

    (3 puncte)

6. Teorema lui Pitagora (5p)

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=10BC = 10 și 2BC=5AB2BC = 5AB. Arătați că AC=221AC = 2\sqrt{21}.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aflarea lungimii catetei ABAB

    Din relația 2BC=5AB2BC = 5AB:

    5AB=2⋅10=20  ⟹  AB=205=45AB = 2 \cdot 10 = 20 \implies AB = \frac{20}{5} = 4

    (3 puncte)

  2. Aplicarea teoremei lui Pitagora pentru cateta ACAC

    În triunghiul dreptunghic ABCABC (∢A=90∘\sphericalangle A = 90^\circ):

    AC2=BC2−AB2=102−42=100−16=84AC^2 = BC^2 - AB^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84

    De unde:

    AC=84=4⋅21=221AC = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}

    (2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (5p)

Se consideră matricele:

I2=(1001),A(x)=(xx−1x+1x+1)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A(x) = \begin{pmatrix} x & x - 1 \\ x + 1 & x + 1 \end{pmatrix}

unde xx este număr real.

a) Determinantul matricei A(1)A(1) (5p)

Arătați că det⁡(A(1))=2\det(A(1)) = 2.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Scrierea matricei A(1)A(1) și calculul determinantului

    Pentru x=1x = 1:

    A(1)=(11−11+11+1)=(1022)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 - 1 \\ 1 + 1 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

    Determinantul este:

    det⁡(A(1))=∣1022∣=1⋅2−0⋅2\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 0 \cdot 2

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    det⁡(A(1))=2−0=2\det(A(1)) = 2 - 0 = 2

    (2 puncte)

b) Relație liniară de matrice (5p)

Arătați că 2A(1)+A(7)=3A(3)2A(1) + A(7) = 3A(3).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul membrului stâng

    Avem:

    A(1)=(1022)  ⟹  2A(1)=(2044)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \implies 2A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}

    Pentru x=7x = 7:

    A(7)=(7688)A(7) = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}

    Însumând:

    2A(1)+A(7)=(2+70+64+84+8)=(961212)2A(1) + A(7) = \begin{pmatrix} 2 + 7 & 0 + 6 \\ 4 + 8 & 4 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 12 & 12 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Calculul membrului drept și concluzia

    Pentru x=3x = 3:

    A(3)=(3244)  ⟹  3A(3)=3(3244)=(961212)A(3) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \implies 3A(3) = 3 \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 12 & 12 \end{pmatrix}

    Cum ambii membri sunt egali, egalitatea este demonstrată.

    (2 puncte)

c) Ecuație matriceală (5p)

Determinați numerele reale xx și yy pentru care (A(x)−(2x+1)I2)⋅A(2)=yI2(A(x) - (2x + 1)I_2) \cdot A(2) = yI_2.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul diferenței și al produsului de matrice

    Aflăm prima matrice din produs:

    A(x)−(2x+1)I2=(x−(2x+1)x−1x+1x+1−(2x+1))=(−x−1x−1x+1−x)A(x) - (2x + 1)I_2 = \begin{pmatrix} x - (2x + 1) & x - 1 \\ x + 1 & x + 1 - (2x + 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x - 1 & x - 1 \\ x + 1 & -x \end{pmatrix}

    Pentru x=2x = 2, matricea A(2)A(2) este:

    A(2)=(2133)A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}

    Înmulțim cele două matrice:

    (−x−1x−1x+1−x)(2133)=(2(−x−1)+3(x−1)1(−x−1)+3(x−1)2(x+1)+3(−x)1(x+1)+3(−x))\begin{pmatrix} -x - 1 & x - 1 \\ x + 1 & -x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-x - 1) + 3(x - 1) & 1(-x - 1) + 3(x - 1) \\ 2(x + 1) + 3(-x) & 1(x + 1) + 3(-x) \end{pmatrix}

    Efectuăm calculele:

    • Rând 1, Coloană 1: −2x−2+3x−3=x−5-2x - 2 + 3x - 3 = x - 5
    • Rând 1, Coloană 2: −x−1+3x−3=2x−4-x - 1 + 3x - 3 = 2x - 4
    • Rând 2, Coloană 1: 2x+2−3x=−x+22x + 2 - 3x = -x + 2
    • Rând 2, Coloană 2: x+1−3x=−2x+1x + 1 - 3x = -2x + 1

    Obținem matricea:

    (x−52x−4−x+2−2x+1)\begin{pmatrix} x - 5 & 2x - 4 \\ -x + 2 & -2x + 1 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Identificarea soluțiilor xx și yy

    Avem:

    yI2=(y00y)yI_2 = \begin{pmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix}

    Egalând cele două matrice:

    (x−52x−4−x+2−2x+1)=(y00y)\begin{pmatrix} x - 5 & 2x - 4 \\ -x + 2 & -2x + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix}

    Din elementele nediagonale:

    2x−4=0  ⟹  x=22x - 4 = 0 \implies x = 2

    Verificăm al doilea element nediagonal: −2+2=0-2 + 2 = 0 (adevărat).

    Pentru x=2x = 2, elementele de pe diagonala principală devin:

    y=x−5=2−5=−3y = x - 5 = 2 - 5 = -3

    Verificăm: −2(2)+1=−4+1=−3=y-2(2) + 1 = -4 + 1 = -3 = y (adevărat).

    Soluțiile sunt x=2x = 2 și y=−3y = -3.

    (2 puncte)

2. Legi de Compoziție (5p)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:

x∗y=x+y−xy+1x * y = x + y - xy + 1

a) Calcul direct (5p)

Arătați că 2∗3=02 * 3 = 0.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Înlocuirea valorilor în lege

    2∗3=2+3−2⋅3+12 * 3 = 2 + 3 - 2 \cdot 3 + 1

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    =5−6+1=0= 5 - 6 + 1 = 0

    (2 puncte)

b) Rezolvarea ecuației x∗5=10x * 5 = 10 (5p)

Determinați numărul real xx pentru care x∗5=10x * 5 = 10.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Exprimarea legii

    x∗5=x+5−x⋅5+1=−4x+6x * 5 = x + 5 - x \cdot 5 + 1 = -4x + 6

    (3 puncte)

  2. Aflarea lui xx

    Ecuația devine:

    −4x+6=10  ⟺  −4x=10−6  ⟺  −4x=4  ⟺  x=−1-4x + 6 = 10 \iff -4x = 10 - 6 \iff -4x = 4 \iff x = -1

    (2 puncte)

c) Determinarea numerelor naturale nn (5p)

Determinați numerele naturale nenule nn pentru care numărul N=3n∗(3+n)N = \frac{3}{n} * (3 + n) este natural.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Dezvoltarea expresiei numărului NN

    Aplicăm definiția legii:

    N=3n+(3+n)−3n(3+n)+1N = \frac{3}{n} + (3 + n) - \frac{3}{n}(3 + n) + 1 =3n+3+n−9n−3+1=−6n+n+1= \frac{3}{n} + 3 + n - \frac{9}{n} - 3 + 1 = -\frac{6}{n} + n + 1

    (2 puncte)

  2. Identificarea valorilor lui n∈N∗n \in \mathbb{N}^*

    Pentru ca NN să fie număr întreg, trebuie ca nn să dividă pe 66, adică n∈{1,2,3,6}n \in \{1, 2, 3, 6\}.

    Testăm fiecare divizor pentru a asigura condiția N∈NN \in \mathbb{N} (N≥0N \ge 0):

    • Pentru n=1n = 1: N=−61+1+1=−6+2=−4∉NN = -\frac{6}{1} + 1 + 1 = -6 + 2 = -4 \notin \mathbb{N}
    • Pentru n=2n = 2: N=−62+2+1=−3+3=0∈NN = -\frac{6}{2} + 2 + 1 = -3 + 3 = 0 \in \mathbb{N}
    • Pentru n=3n = 3: N=−63+3+1=−2+4=2∈NN = -\frac{6}{3} + 3 + 1 = -2 + 4 = 2 \in \mathbb{N}
    • Pentru n=6n = 6: N=−66+6+1=−1+7=6∈NN = -\frac{6}{6} + 6 + 1 = -1 + 7 = 6 \in \mathbb{N}

    Numerele naturale nenule cerute sunt n∈{2,3,6}n \in \{2, 3, 6\}.

    (3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial (5p)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=3x−1+3ln⁡xf(x) = \frac{3}{x} - 1 + 3\ln x.

a) Calculul derivatei (5p)

Arătați că f′(x)=3(x−1)x2f'(x) = \frac{3(x - 1)}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Derivarea termen cu termen

    f′(x)=3⋅(1x)′−(1)′+3⋅(ln⁡x)′=3⋅(−1x2)−0+3⋅1xf'(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)' - (1)' + 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) - 0 + 3 \cdot \frac{1}{x} =−3x2+3x= -\frac{3}{x^2} + \frac{3}{x}

    (3 puncte)

  2. Aducerea la numitor comun

    =−3+3xx2=3(x−1)x2,∀x∈(0,+∞)= \frac{-3 + 3x}{x^2} = \frac{3(x - 1)}{x^2}, \quad \forall x \in (0, +\infty)

    (2 puncte)

b) Calculul limitei la +∞+\infty (5p)

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)x=0\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Desfacerea raportului sau aplicarea regulii lui l’Hôpital

    Deoarece lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty și lim⁡x→+∞x=+∞\lim_{x \to +\infty} x = +\infty, suntem în cazul de nedeterminare [∞∞]\left[ \frac{\infty}{\infty} \right].

    Aplicăm regula lui l’Hôpital:

    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞f′(x)x′=lim⁡x→+∞3(x−1)x2\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{x'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3(x - 1)}{x^2}

    (3 puncte)

  2. Calculul limitei finale

    =lim⁡x→+∞3(1x−1x2)=3(0−0)=0= \lim_{x \to +\infty} 3 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) = 3(0 - 0) = 0

    (2 puncte)

c) Demonstrarea inegalității (5p)

Demonstrați că ln⁡x≥1−1x\ln x \ge 1 - \frac{1}{x}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Studiul monotoniei funcției ff

    Rădăcina derivatei este x=1x = 1:

    • Pentru x∈(0,1]x \in (0, 1], x−1≤0  ⟹  f′(x)≤0x - 1 \le 0 \implies f'(x) \le 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1].
    • Pentru x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), x−1≥0  ⟹  f′(x)≥0x - 1 \ge 0 \implies f'(x) \ge 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty).

    (2 puncte)

  2. Deducerea inegalității din valoarea de minim

    Punctul x=1x = 1 este punct de minim global pe (0,+∞)(0, +\infty):

    f(x)≥f(1),∀x∈(0,+∞)f(x) \ge f(1), \quad \forall x \in (0, +\infty)

    Calculăm f(1)f(1):

    f(1)=31−1+3ln⁡1=3−1+0=2f(1) = \frac{3}{1} - 1 + 3\ln 1 = 3 - 1 + 0 = 2

    Așadar:

    3x−1+3ln⁡x≥2  ⟺  3ln⁡x≥3−3x\frac{3}{x} - 1 + 3\ln x \ge 2 \iff 3\ln x \ge 3 - \frac{3}{x}

    Împărțind prin 33:

    ln⁡x≥1−1x,∀x∈(0,+∞)\ln x \ge 1 - \frac{1}{x}, \quad \forall x \in (0, +\infty)

    (3 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral (5p)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=4x+3−6xf(x) = 4x + 3 - 6\sqrt{x}.

a) Calcul integrală simplă (5p)

Arătați că:

∫12(f(x)−3+6x) dx=6\int_1^2 (f(x) - 3 + 6\sqrt{x}) \, dx = 6
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Simplificarea integrandului

    f(x)−3+6x=4x+3−6x−3+6x=4xf(x) - 3 + 6\sqrt{x} = 4x + 3 - 6\sqrt{x} - 3 + 6\sqrt{x} = 4x

    Integrala devine:

    ∫124x dx=[2x2]12\int_1^2 4x \, dx = \left[ 2x^2 \right]_1^2

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    =2⋅22−2⋅12=8−2=6= 2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 1^2 = 8 - 2 = 6

    (2 puncte)

b) Calcul integrală irațională (5p)

Arătați că:

∫144x−f(x)x dx=12\int_1^4 \frac{4x - f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = 12
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Simplificarea raportului de sub integrală

    4x−f(x)=4x−(4x+3−6x)=−3+6x4x - f(x) = 4x - (4x + 3 - 6\sqrt{x}) = -3 + 6\sqrt{x}

    Raportul devine:

    −3+6xx=−3x+6\frac{-3 + 6\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = -\frac{3}{\sqrt{x}} + 6

    Integrala este:

    ∫14(−3x+6) dx=[−6x+6x]14\int_1^4 \left( -\frac{3}{\sqrt{x}} + 6 \right) \, dx = \left[ -6\sqrt{x} + 6x \right]_1^4

    (3 puncte)

  2. Evaluarea limitelor de integrare

    =(−64+6⋅4)−(−61+6⋅1)=(−12+24)−(−6+6)=12−0=12= (-6\sqrt{4} + 6 \cdot 4) - (-6\sqrt{1} + 6 \cdot 1) = (-12 + 24) - (-6 + 6) = 12 - 0 = 12

    (2 puncte)

c) Convexitatea primitivelor (5p)

Demonstrați că orice primitivă G:(0,+∞)→RG: (0, +\infty) \to \mathbb{R} a funcției g:(0,+∞)→Rg: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)⋅xg(x) = f(x) \cdot \sqrt{x} este convexă.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Relația dintre primitivă și derivata a doua

    Fie GG o primitivă oarecare a funcției gg. Prin definiția primitivei:

    G′(x)=g(x)=f(x)x,∀x∈(0,+∞)G'(x) = g(x) = f(x)\sqrt{x}, \quad \forall x \in (0, +\infty)

    Atunci derivata a doua a funcției GG este:

    G′′(x)=g′(x)G''(x) = g'(x)

    Dezvoltăm expresia lui g(x)g(x):

    g(x)=(4x+3−6x)x=4xx+3x−6x=4x3/2+3x1/2−6xg(x) = (4x + 3 - 6\sqrt{x})\sqrt{x} = 4x\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 6x = 4x^{3/2} + 3x^{1/2} - 6x

    Derivăm funcția gg:

    g′(x)=4⋅32x1/2+3⋅12x−1/2−6=6x+32x−6g'(x) = 4 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} + 3 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} - 6 = 6\sqrt{x} + \frac{3}{2\sqrt{x}} - 6

    Aducem la numitor comun 2x2\sqrt{x}:

    g′(x)=12x+3−12x2x=12x−12x+32xg'(x) = \frac{12x + 3 - 12\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{12x - 12\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}}

    (3 puncte)

  2. Studiul semnului derivatei a doua și concluzia

    Factorizăm numărătorul dând factor pe 33:

    12x−12x+3=3(4x−4x+1)=3(2x−1)212x - 12\sqrt{x} + 3 = 3(4x - 4\sqrt{x} + 1) = 3(2\sqrt{x} - 1)^2

    Prin urmare:

    G′′(x)=3(2x−1)22xG''(x) = \frac{3(2\sqrt{x} - 1)^2}{2\sqrt{x}}

    Pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), avem 2x>02\sqrt{x} > 0 și (2x−1)2≥0(2\sqrt{x} - 1)^2 \ge 0, deci:

    G′′(x)≥0,∀x∈(0,+∞)G''(x) \ge 0, \quad \forall x \in (0, +\infty)

    Faptul că derivata a doua este mai mare sau egală cu 00 pe întregul domeniu implică faptul că orice primitivă GG este o funcție convexă.

    (2 puncte)