BACEduHub
matematicaTehnologicAnul 2026Sesiunea August (Toamnă)

Bacalaureat 2026 - Matematică Tehnologic - Sesiunea August (Toamnă)

Descarcă Subiect PDFDescarcă Barem PDF
Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcul cu Fracții (5p)

Arătați că:

15⋅(3+13)+43=2\frac{1}{5} \cdot \left( 3 + \frac{1}{3} \right) + \frac{4}{3} = 2
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul parantezei și al produsului

    Aducem la același numitor în paranteză:

    3+13=93+13=1033 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

    Efectuăm înmulțirea:

    15⋅103=1015=23\frac{1}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

    (3 puncte)

  2. Finalizarea adunării

    23+43=2+43=63=2\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2

    (2 puncte)

2. Funcție Liniară (5p)

Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3. Determinați numărul real aa pentru care f(a)−f(4)=4f(a) - f(4) = 4.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul valorilor funcției

    • f(4)=2⋅4−3=8−3=5f(4) = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5
    • f(a)=2a−3f(a) = 2a - 3

    (3 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Relația f(a)−f(4)=4f(a) - f(4) = 4 devine:

    (2a−3)−5=4  ⟺  2a−8=4  ⟺  2a=12  ⟺  a=6(2a - 3) - 5 = 4 \iff 2a - 8 = 4 \iff 2a = 12 \iff a = 6

    (2 puncte)

3. Ecuație Exponențială (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

21−x=23+x2^{1 - x} = 2^{3 + x}
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Egalarea exponenților

    Deoarece baza puterilor este 2>0,2≠12 > 0, 2 \neq 1, funcția exponențială este injectivă:

    1−x=3+x1 - x = 3 + x

    (3 puncte)

  2. Aflarea soluției

    x+x=1−3  ⟺  2x=−2  ⟺  x=−1x + x = 1 - 3 \iff 2x = -2 \iff x = -1

    (2 puncte)

4. Calcul Procentual (5p)

După o scumpire cu 20%20\%, un obiect costă 4848 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Formularea ecuației

    Fie xx prețul inițial al obiectului. După scumpirea cu 20%20\%:

    x+20100x=48  ⟺  120100x=48  ⟺  65x=48x + \frac{20}{100}x = 48 \iff \frac{120}{100}x = 48 \iff \frac{6}{5}x = 48

    (3 puncte)

  2. Calculul prețului inițial

    x=48⋅56=8⋅5=40 leix = \frac{48 \cdot 5}{6} = 8 \cdot 5 = 40 \text{ lei}

    (2 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,5)A(2,5) și B(6,8)B(6,8). Arătați că OB=2ABOB = 2AB.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul distanței OBOB

    Originea este O(0,0)O(0,0). Lungimea segmentului OBOB este:

    OB=(6−0)2+(8−0)2=36+64=100=10OB = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

    (2 puncte)

  2. Calculul distanței ABAB și verificarea egalității

    Lungimea segmentului ABAB este:

    AB=(6−2)2+(8−5)2=42+32=16+9=25=5AB = \sqrt{(6 - 2)^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

    Așadar:

    2AB=2⋅5=10=OB2AB = 2 \cdot 5 = 10 = OB

    ceea ce demonstrează egalitatea OB=2ABOB = 2AB.

    (3 puncte)

6. Geometrie și Trigonometrie (5p)

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=4AB = 4 și BC=6BC = 6. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 454\sqrt{5}.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aflarea catetei ACAC prin teorema lui Pitagora

    În triunghiul dreptunghic ABCABC (∢A=90∘\sphericalangle A = 90^\circ):

    AC=BC2−AB2=62−42=36−16=20=25AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

    (3 puncte)

  2. Calculul ariei

    A△ABC=AB⋅AC2=4⋅252=45\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{5}}{2} = 4\sqrt{5}

    (2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (5p)

Se consideră matricea:

A(a)=(1a−13a−33a−2)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a - 1 \\ 3a - 3 & 3a - 2 \end{pmatrix}

unde aa este număr real.

a) Determinantul matricei A(2)A(2) (5p)

Arătați că det⁡(A(2))=1\det(A(2)) = 1.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Scrierea matricei A(2)A(2)

    Pentru a=2a = 2:

    A(2)=(12−13⋅2−33⋅2−2)=(1134)A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 - 1 \\ 3 \cdot 2 - 3 & 3 \cdot 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

    Determinantul este:

    det⁡(A(2))=∣1134∣=1⋅4−1⋅3\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 1 \cdot 3

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    det⁡(A(2))=4−3=1\det(A(2)) = 4 - 3 = 1

    (2 puncte)

b) Relație liniară de matrice (5p)

Arătați că 2A(2)+A(5)=3A(3)2A(2) + A(5) = 3A(3).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul membrului stâng

    Avem:

    A(2)=(1134)  ⟹  2A(2)=(2268)A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \implies 2A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}

    Pentru a=5a = 5:

    A(5)=(141213)A(5) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 12 & 13 \end{pmatrix}

    Însumând:

    2A(2)+A(5)=(2+12+46+128+13)=(361821)2A(2) + A(5) = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 2 + 4 \\ 6 + 12 & 8 + 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 18 & 21 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Calculul membrului drept și concluzia

    Pentru a=3a = 3:

    A(3)=(1267)  ⟹  3A(3)=3(1267)=(361821)A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \implies 3A(3) = 3 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 18 & 21 \end{pmatrix}

    Deoarece membrii sunt identici, egalitatea este demonstrată.

    (2 puncte)

c) Ecuație matriceală (5p)

Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care 2X⋅A(2)−A(2)=A(6)2X \cdot A(2) - A(2) = A(6).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Izolarea termenului cu XX și inversabilitatea matricei A(2)A(2)

    Ecuația este:

    2X⋅A(2)=A(6)+A(2)2X \cdot A(2) = A(6) + A(2)

    Deoarece det⁡(A(2))=1≠0\det(A(2)) = 1 \neq 0, matricea A(2)A(2) este inversabilă:

    (A(2))−1=11(4−1−31)=(4−1−31)(A(2))^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

    Așadar:

    2X=(A(6)+A(2))⋅(A(2))−1  ⟹  X=12(A(6)+A(2))⋅(A(2))−12X = (A(6) + A(2)) \cdot (A(2))^{-1} \implies X = \frac{1}{2} (A(6) + A(2)) \cdot (A(2))^{-1}

    (2 puncte)

  2. Efectuarea operațiilor matriceale

    Determinăm A(6)A(6):

    A(6)=(151516)A(6) = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 15 & 16 \end{pmatrix}

    Suma este:

    A(6)+A(2)=(1+15+115+316+4)=(261820)A(6) + A(2) = \begin{pmatrix} 1 + 1 & 5 + 1 \\ 15 + 3 & 16 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 18 & 20 \end{pmatrix}

    Înmulțim cu (A(2))−1(A(2))^{-1}:

    (261820)(4−1−31)=(2⋅4+6⋅(−3)2⋅(−1)+6⋅118⋅4+20⋅(−3)18⋅(−1)+20⋅1)=(−104122)\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 18 & 20 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 + 6 \cdot (-3) & 2 \cdot (-1) + 6 \cdot 1 \\ 18 \cdot 4 + 20 \cdot (-3) & 18 \cdot (-1) + 20 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 12 & 2 \end{pmatrix}

    Împărțind la scalarul 22:

    X=12(−104122)=(−5261)X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 12 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

2. Polinoame (5p)

Se consideră polinomul f=X3−3X2−2X+mf = X^3 - 3X^2 - 2X + m, unde mm este număr real.

a) Verificare pentru m=9m = 9 (5p)

Pentru m=9m = 9, arătați că f(−1)=7f(-1) = 7.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Scrierea polinomului și evaluarea în −1-1

    Pentru m=9m = 9, polinomul devine f=X3−3X2−2X+9f = X^3 - 3X^2 - 2X + 9.

    f(−1)=(−1)3−3(−1)2−2(−1)+9f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 2(-1) + 9

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    f(−1)=−1−3+2+9=7f(-1) = -1 - 3 + 2 + 9 = 7

    (2 puncte)

b) Rădăcină dată (5p)

Determinați numărul real mm pentru care 22 este rădăcină a polinomului ff.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Condiția de rădăcină

    Numărul 22 este rădăcină a lui ff dacă și numai dacă f(2)=0f(2) = 0:

    f(2)=23−3⋅22−2⋅2+m=8−12−4+m=−8+mf(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + m = 8 - 12 - 4 + m = -8 + m

    (3 puncte)

  2. Aflarea parametrului mm

    −8+m=0  ⟺  m=8-8 + m = 0 \iff m = 8

    (2 puncte)

c) Rădăcinile polinomului cunoscând restul împărțirii (5p)

Știind că restul împărțirii polinomului ff la polinomul g=X−4g = X - 4 este egal cu 1414, determinați rădăcinile polinomului ff.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aflarea parametrului mm din teorema restului

    Restul împărțirii lui ff la g=X−4g = X - 4 este R=f(4)R = f(4):

    f(4)=43−3⋅42−2⋅4+m=64−48−8+m=8+mf(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + m = 64 - 48 - 8 + m = 8 + m

    Cum restul este 1414:

    8+m=14  ⟺  m=68 + m = 14 \iff m = 6

    (2 puncte)

  2. Factorizarea polinomului și aflarea rădăcinilor

    Pentru m=6m = 6, polinomul este:

    f=X3−3X2−2X+6f = X^3 - 3X^2 - 2X + 6

    Grupăm termenii:

    f=X2(X−3)−2(X−3)=(X−3)(X2−2)f = X^2(X - 3) - 2(X - 3) = (X - 3)(X^2 - 2)

    Rădăcinile ecuației f(x)=0f(x) = 0 sunt:

    • x−3=0  ⟹  x1=3x - 3 = 0 \implies x_1 = 3
    • x2−2=0  ⟹  x2=−2,x3=2x^2 - 2 = 0 \implies x_2 = -\sqrt{2}, \quad x_3 = \sqrt{2}

    (3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial (5p)

Se consideră funcția f:(−3,+∞)→Rf: (-3, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−5x+3f(x) = \frac{x^2 - 5}{x + 3}.

a) Calculul derivatei (5p)

Arătați că f′(x)=x2+6x+5(x+3)2f'(x) = \frac{x^2 + 6x + 5}{(x + 3)^2}, pentru orice x∈(−3,+∞)x \in (-3, +\infty).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aplicarea formulei derivatei câtului

    f′(x)=(x2−5)′(x+3)−(x2−5)(x+3)′(x+3)2f'(x) = \frac{(x^2 - 5)'(x + 3) - (x^2 - 5)(x + 3)'}{(x + 3)^2} =2x(x+3)−(x2−5)⋅1(x+3)2= \frac{2x(x + 3) - (x^2 - 5) \cdot 1}{(x + 3)^2}

    (2 puncte)

  2. Desfacerea parantezelor

    =2x2+6x−x2+5(x+3)2=x2+6x+5(x+3)2,∀x∈(−3,+∞)= \frac{2x^2 + 6x - x^2 + 5}{(x + 3)^2} = \frac{x^2 + 6x + 5}{(x + 3)^2}, \quad \forall x \in (-3, +\infty)

    (3 puncte)

b) Ecuația tangentei în x=−1x = -1 (5p)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=−1x = -1, situat pe graficul funcției ff.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul valorilor f(−1)f(-1) și f′(−1)f'(-1)

    • f(−1)=(−1)2−5−1+3=1−52=−42=−2f(-1) = \frac{(-1)^2 - 5}{-1 + 3} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2
    • f′(−1)=(−1)2+6(−1)+5(−1+3)2=1−6+522=04=0f'(-1) = \frac{(-1)^2 + 6(-1) + 5}{(-1 + 3)^2} = \frac{1 - 6 + 5}{2^2} = \frac{0}{4} = 0

    (2 puncte)

  2. Scrierea ecuației tangentei

    Ecuația este:

    y−f(−1)=f′(−1)(x−(−1))  ⟺  y−(−2)=0⋅(x+1)  ⟺  y+2=0  ⟺  y=−2y - f(-1) = f'(-1)(x - (-1)) \iff y - (-2) = 0 \cdot (x + 1) \iff y + 2 = 0 \iff y = -2

    (3 puncte)

c) Asimptota oblică spre +∞+\infty (5p)

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției ff spre +∞+\infty.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul pantei mm

    m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2−5x(x+3)=lim⁡x→+∞x2(1−5x2)x2(1+3x)=1m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 5}{x(x + 3)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1 - \frac{5}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{3}{x}\right)} = 1

    (2 puncte)

  2. Calculul ordonatei la origine nn și concluzia

    n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)=lim⁡x→+∞(x2−5x+3−x)n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 - 5}{x + 3} - x \right)

    Aducem la numitor comun:

    =lim⁡x→+∞x2−5−x(x+3)x+3=lim⁡x→+∞−3x−5x+3=lim⁡x→+∞x(−3−5x)x(1+3x)=−3= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 5 - x(x + 3)}{x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x - 5}{x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left(-3 - \frac{5}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{3}{x}\right)} = -3

    Dreapta de ecuație y=x−3y = x - 3 este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

    (3 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral (5p)

Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf: (-2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=exx+2f(x) = \frac{e^x}{x + 2}.

a) Calcul integrală simplă (5p)

Arătați că:

∫01(x+2)⋅f(x) dx=e−1\int_0^1 (x + 2) \cdot f(x) \, dx = e - 1
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Simplificarea integrandului

    (x+2)⋅f(x)=(x+2)⋅exx+2=ex(x + 2) \cdot f(x) = (x + 2) \cdot \frac{e^x}{x + 2} = e^x

    Integrala devine:

    ∫01ex dx=[ex]01\int_0^1 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^1

    (3 puncte)

  2. Evaluarea numerică

    [ex]01=e1−e0=e−1\left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

    (2 puncte)

b) Calcul integrală logaritmică (5p)

Arătați că:

∫06f(x)ex dx=2ln⁡2\int_0^6 \frac{f(x)}{e^x} \, dx = 2\ln 2
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Determinarea primitivei

    f(x)ex=exx+2ex=1x+2\frac{f(x)}{e^x} = \frac{\frac{e^x}{x + 2}}{e^x} = \frac{1}{x + 2}

    Integrala este:

    ∫061x+2 dx=[ln⁡(x+2)]06\int_0^6 \frac{1}{x + 2} \, dx = \left[ \ln(x + 2) \right]_0^6

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric cu proprietățile logaritmilor

    =ln⁡(6+2)−ln⁡(0+2)=ln⁡8−ln⁡2=ln⁡(82)=ln⁡4=ln⁡(22)=2ln⁡2= \ln(6 + 2) - \ln(0 + 2) = \ln 8 - \ln 2 = \ln\left(\frac{8}{2}\right) = \ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2

    (2 puncte)

c) Integrare prin părți și determinarea parametrului (5p)

Determinați numărul real aa pentru care:

∫01(a−1f(x)) dx=4e\int_0^1 \left( a - \frac{1}{f(x)} \right) \, dx = \frac{4}{e}
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Desfacerea integralei și aplicarea metodei integrării prin părți

    Expresia inversă este:

    1f(x)=x+2ex=(x+2)e−x\frac{1}{f(x)} = \frac{x + 2}{e^x} = (x + 2)e^{-x}

    Avem:

    ∫01(a−1f(x)) dx=∫01a dx−∫01(x+2)e−x dx=[ax]01−∫01(x+2)e−x dx\int_0^1 \left( a - \frac{1}{f(x)} \right) \, dx = \int_0^1 a \, dx - \int_0^1 (x + 2)e^{-x} \, dx = \left[ ax \right]_0^1 - \int_0^1 (x + 2)e^{-x} \, dx

    Calculăm integrala ∫01(x+2)e−x dx\int_0^1 (x + 2)e^{-x} \, dx prin părți, observând că e−x=(−e−x)′e^{-x} = (-e^{-x})':

    ∫01(x+2)(−e−x)′ dx=[−(x+2)e−x]01−∫01(x+2)′(−e−x) dx\int_0^1 (x + 2)(-e^{-x})' \, dx = \left[ -(x + 2)e^{-x} \right]_0^1 - \int_0^1 (x + 2)'(-e^{-x}) \, dx =(−3e−1−(−2e0))+∫01e−x dx=−3e+2+[−e−x]01= \left( -3e^{-1} - (-2e^0) \right) + \int_0^1 e^{-x} \, dx = -\frac{3}{e} + 2 + \left[ -e^{-x} \right]_0^1 =2−3e+(−e−1−(−e0))=2−3e−1e+1=3−4e= 2 - \frac{3}{e} + \left( -e^{-1} - (-e^0) \right) = 2 - \frac{3}{e} - \frac{1}{e} + 1 = 3 - \frac{4}{e}

    Deci:

    ∫01(a−1f(x)) dx=a−(3−4e)=a−3+4e\int_0^1 \left( a - \frac{1}{f(x)} \right) \, dx = a - \left( 3 - \frac{4}{e} \right) = a - 3 + \frac{4}{e}

    (3 puncte)

  2. Aflarea parametrului aa

    Egalând cu valoarea din enunț:

    a−3+4e=4e  ⟺  a−3=0  ⟺  a=3a - 3 + \frac{4}{e} = \frac{4}{e} \iff a - 3 = 0 \iff a = 3

    (2 puncte)