matematicaTehnologicAnul 2026Sesiunea Iunie (Vară)

Bacalaureat 2026 - Matematică Tehnologic - Sesiunea Iunie (Vară)

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Progresii Aritmetice (5p)

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$ în care $a_1 = 10$ și $a_2 = 18$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul rației progresiei aritmetice

Rația $r$ a progresiei este dată de diferența a doi termeni consecutivi:
$r = a_2 - a_1 = 18 - 10 = 8$
(3 puncte)
Calculul termenului $a_3$
$a_3 = a_2 + r = 18 + 8 = 26$
(2 puncte)

2. Funcție Liniară (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x - 2$ . Arătați că $f(4) - f(3) - f(2) = 0$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Evaluarea valorilor funcției
- $f(4) = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6$
- $f(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$
- $f(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$
(3 puncte)
Calculul numeric al expresiei
$f(4) - f(3) - f(2) = 6 - 4 - 2 = 0$
(2 puncte)

3. Ecuație Exponențială (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

7^{3 - x} = 7^{4x - 2}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Injectivitatea funcției exponențiale

Baza este $7 > 0, 7 \neq 1$ , prin urmare exponenții sunt egali:
$3 - x = 4x - 2$
(3 puncte)
Rezolvarea ecuației
$4x + x = 3 + 2 \iff 5x = 5 \iff x = 1$
(2 puncte)

4. Probabilități (5p)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $20 - 2n < 15$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Determinarea numărului de cazuri posibile

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ și are $10$ elemente:
$\text{nr. cazuri posibile} = 10$
(2 puncte)
Determinarea cazurilor favorabile și calculul probabilității

Rezolvăm inecuația:
$20 - 2n < 15 \iff 2n > 20 - 15 \iff 2n > 5 \iff n > 2{,}5$
Dintre numerele naturale de o cifră, valorile convenabile sunt:
$n \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$
Sunt $7$ cazuri favorabile. Probabilitatea este:
$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{7}{10}$
(3 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$ , $M(2,4)$ și $B(a,b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Formulele mijlocului unui segment

Deoarece $M$ este mijlocul segmentului $AB$ :
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \implies 2 = \frac{1 + a}{2}$ $y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \implies 4 = \frac{1 + b}{2}$
(3 puncte)
Aflarea numerelor $a$ și $b$
$1 + a = 4 \implies a = 3$ $1 + b = 8 \implies b = 7$
(2 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 15$ și măsura unghiului $B$ egală cu $30^\circ$ . Arătați că $BC = 10\sqrt{3}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Definiția cosinusului în triunghiul dreptunghic

În triunghiul dreptunghic $ABC$ ( $\sphericalangle A = 90^\circ$ ):
$\cos B = \frac{AB}{BC} \implies \cos 30^\circ = \frac{15}{BC}$
Cum $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , obținem:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{BC}$
(3 puncte)
Calculul lungimii ipotenuzei $BC$
$BC = \frac{2 \cdot 15}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$
(2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (5p)

Se consideră matricea:

A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ x - 1 & 2 \end{pmatrix}

unde $x$ este număr real.

a) Calculul determinantului lui $A(4)$ (5p)

Arătați că $\det(A(4)) = 5$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Scrierea matricei $A(4)$

Pentru $x = 4$ :
$A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$
Determinantul este:
$\det(A(4)) = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 3$
(3 puncte)
Calculul numeric
$\det(A(4)) = 8 - 3 = 5$
(2 puncte)

b) Identitate liniară matriceală (5p)

Arătați că $2A(1) + A(4) = 3A(2)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul membrului stâng

Avem:
$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \implies 2A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ $A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$
Însumând:
$2A(1) + A(4) = \begin{pmatrix} 2 + 4 & 2 + 1 \\ 0 + 3 & 4 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$
(3 puncte)
Calculul membrului drept și concluzia

Determinăm $A(2)$ :
$A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
Înmulțind cu scalarul $3$ :
$3A(2) = 3 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$
Ambii membri sunt egali, deci egalitatea este demonstrată.

(2 puncte)

c) Ecuație matriceală cu produs (5p)

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(-x) \cdot A(x) = A(y)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul produsului $A(-x) \cdot A(x)$

Matricele sunt:
$A(-x) = \begin{pmatrix} -x & 1 \\ -x - 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ x - 1 & 2 \end{pmatrix}$
Înmulțim cele două matrice:
$A(-x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} (-x) \cdot x + 1 \cdot (x - 1) & (-x) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ (-x - 1) \cdot x + 2(x - 1) & (-x - 1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix}$
Efectuăm calculele algebrice pentru fiecare element:
- Rând 1, Coloană 1: $-x^2 + x - 1$
- Rând 1, Coloană 2: $-x + 2$
- Rând 2, Coloană 1: $-x^2 - x + 2x - 2 = -x^2 + x - 2$
- Rând 2, Coloană 2: $-x - 1 + 4 = -x + 3$
Obținem:
$A(-x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} -x^2 + x - 1 & -x + 2 \\ -x^2 + x - 2 & -x + 3 \end{pmatrix}$
(3 puncte)
Egalarea cu $A(y)$ și determinarea numerelor $x$ și $y$

Matricea $A(y)$ este:
$A(y) = \begin{pmatrix} y & 1 \\ y - 1 & 2 \end{pmatrix}$
Egalând elementele de pe rândul 1, coloana 2:
$-x + 2 = 1 \implies x = 1$
Verificăm elementul de pe rândul 2, coloana 2 pentru $x = 1$ :
$-1 + 3 = 2 \quad (\text{adevărat})$
Egalând elementul de pe rândul 1, coloana 1:
$y = -1^2 + 1 - 1 = -1 + 1 - 1 = -1$
Verificăm elementul de pe rândul 2, coloana 1:
$-1^2 + 1 - 2 = -2 \quad \text{și} \quad y - 1 = -1 - 1 = -2 \quad (\text{adevărat})$
Soluțiile sunt $x = 1$ și $y = -1$ .

(2 puncte)

2. Legi de Compoziție (5p)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:

x * y = (4 - x)(4 - y) + 2

a) Calcul direct (5p)

Arătați că $0 * 3 = 6$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Înlocuirea valorilor în lege
$0 * 3 = (4 - 0)(4 - 3) + 2$
(3 puncte)
Calculul numeric
$= 4 \cdot 1 + 2 = 4 + 2 = 6$
(2 puncte)

b) Rezolvarea ecuației $2 * x = 2$ (5p)

Determinați numărul real $x$ pentru care $2 * x = 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Exprimarea relației

Conform legii:
$2 * x = (4 - 2)(4 - x) + 2 = 2(4 - x) + 2 = 8 - 2x + 2 = -2x + 10$
(3 puncte)
Aflarea lui $x$

Ecuația devine:
$-2x + 10 = 2 \iff -2x = 2 - 10 \iff -2x = -8 \iff x = 4$
(2 puncte)

c) Ecuație diofantică cu legea dată (5p)

Determinați perechile $(m, n)$ de numere întregi pentru care $(2m) * (2n + 1) = 10$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Dezvoltarea expresiei și factorizarea

Aplicăm legea de compoziție:
$(2m) * (2n + 1) = (4 - 2m)(4 - (2n + 1)) + 2 = (4 - 2m)(3 - 2n) + 2$
Ecuația este:
$(4 - 2m)(3 - 2n) + 2 = 10 \iff (4 - 2m)(3 - 2n) = 8$
Dăm factor comun pe $2$ în prima paranteză:
$2(2 - m)(3 - 2n) = 8 \iff (2 - m)(3 - 2n) = 4$
(2 puncte)
Identificarea soluțiilor întregi

Deoarece $n \in \mathbb{Z}$ , numărul $3 - 2n$ este un număr întreg impar.

Divizorii întregi impari ai numărului $4$ sunt doar $\pm 1$ :
- Cazul 1: $3 - 2n = 1 \implies 2n = 2 \implies n = 1$ . Atunci:
  $2 - m = \frac{4}{1} = 4 \implies m = 2 - 4 = -2$
  Obținem perechea $(-2, 1)$ .
- Cazul 2: $3 - 2n = -1 \implies 2n = 4 \implies n = 2$ . Atunci:
  $2 - m = \frac{4}{-1} = -4 \implies m = 2 - (-4) = 6$
  Obținem perechea $(6, 2)$ .
Perechile căutate sunt $(-2, 1)$ și $(6, 2)$ .

(3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 - 1$ .

a) Calculul derivatei (5p)

Arătați că $f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2)$ , pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Derivarea termen cu termen
$f'(x) = (3x^4)' - (4x^3)' - (12x^2)' - (1)'$ $= 12x^3 - 12x^2 - 24x$
(3 puncte)
Factorizarea expresiei

Dăm factor comun pe $12x$ :
$f'(x) = 12x(x^2 - x - 2)$
Rădăcinile ecuației $x^2 - x - 2 = 0$ sunt $x = -1$ și $x = 2$ , deci:
$f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2), \quad \forall x \in \mathbb{R}$
(2 puncte)

b) Ecuația tangentei în $x = 0$ (5p)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul valorilor $f(0)$ și $f'(0)$
$f(0) = 3 \cdot 0^4 - 4 \cdot 0^3 - 12 \cdot 0^2 - 1 = -1$ $f'(0) = 12 \cdot 0 \cdot (0 + 1)(0 - 2) = 0$
(2 puncte)
Scrierea ecuației tangentei

Ecuația tangentei în punctul $(x_0, f(x_0))$ este:
$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$
Pentru $x_0 = 0$ :
$y - (-1) = 0 \cdot (x - 0) \iff y + 1 = 0 \iff y = -1$
(3 puncte)

c) Demonstrarea inegalității pe $(-\infty, 0]$ (5p)

Demonstrați că $3x^4 + 5 \ge 4x^3 + 12x^2$ , pentru orice $x \in (-\infty, 0]$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Studiul monotoniei pe intervalul $(-\infty, 0]$

Rădăcinile derivatei în intervalul $(-\infty, 0]$ sunt $x = -1$ și $x = 0$ :
- Pentru $x \in (-\infty, -1]$ , avem $x \le 0$ , $x + 1 \le 0$ și $x - 2 < 0 \implies f'(x) \le 0$ , deci funcția $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, -1]$ .
- Pentru $x \in [-1, 0]$ , avem $x \le 0$ , $x + 1 \ge 0$ și $x - 2 < 0 \implies f'(x) \ge 0$ , deci funcția $f$ este crescătoare pe $[-1, 0]$ .
(3 puncte)
Deducerea inegalității

Rezultă că $x = -1$ este punct de minim absolut al funcției $f$ pe intervalul $(-\infty, 0]$ :
$f(x) \ge f(-1), \quad \forall x \in (-\infty, 0]$
Calculăm $f(-1)$ :
$f(-1) = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 - 1 = 3 + 4 - 12 - 1 = -6$
Așadar:
$3x^4 - 4x^3 - 12x^2 - 1 \ge -6 \iff 3x^4 + 5 \ge 4x^3 + 12x^2$
pentru orice $x \in (-\infty, 0]$ .

(2 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x + 1 + x e^x$ .

a) Calcul integrală polinomială (5p)

Arătați că:

\int_0^4 (f(x) - x e^x) \, dx = 12

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Simplificarea integrandului și găsirea primitivei
$f(x) - x e^x = x + 1 + x e^x - x e^x = x + 1$
Integrala devine:
$\int_0^4 (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_0^4$
(3 puncte)
Calculul numeric
$\left( \frac{4^2}{2} + 4 \right) - 0 = \frac{16}{2} + 4 = 8 + 4 = 12$
(2 puncte)

b) Integrare prin părți (5p)

Arătați că:

\int_0^1 (f(x) - x - 1) \, dx = 1

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Identificarea integrandului și aplicarea metodei integrării prin părți
$f(x) - x - 1 = x e^x$
Integrala este:
$\int_0^1 x e^x \, dx = \int_0^1 x (e^x)' \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx$
(3 puncte)
Evaluarea limitelor de integrare
$= (1 \cdot e^1 - 0) - \left[ e^x \right]_0^1 = e - (e^1 - e^0) = e - e + 1 = 1$
(2 puncte)

c) Volumul corpului de rotație (5p)

Se consideră funcția $g: [0, 1] \to \mathbb{R}$ , $g(x) = \frac{\sqrt{f'(x)}}{f(x)}$ . Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g$ în jurul axei $Ox$ este egal cu $\frac{\pi(e + 1)}{e + 2}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Formula volumului și aplicarea formulei de integrare

Volumul corpului de rotație este:
$V = \pi \int_0^1 g^2(x) \, dx = \pi \int_0^1 \left( \frac{\sqrt{f'(x)}}{f(x)} \right)^2 \, dx = \pi \int_0^1 \frac{f'(x)}{(f(x))^2} \, dx$
Folosim formula $\int \frac{u'}{u^2} \, dx = -\frac{1}{u}$ :
$V = \pi \left[ -\frac{1}{f(x)} \right]_0^1 = \pi \left( -\frac{1}{f(1)} + \frac{1}{f(0)} \right)$
(3 puncte)
Calculul numeric al volumului

Calculăm valorile funcției în capete:
- $f(1) = 1 + 1 + 1 \cdot e^1 = 2 + e = e + 2$
- $f(0) = 0 + 1 + 0 \cdot e^0 = 1$
Înlocuind în formula volumului:
$V = \pi \left( -\frac{1}{e + 2} + 1 \right) = \pi \left( \frac{e + 2 - 1}{e + 2} \right) = \frac{\pi(e + 1)}{e + 2}$
(2 puncte)

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Progresii Aritmetice (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Funcție Liniară (5p)

Barem și Etape de Calcul:

3. Ecuație Exponențială (5p)

Barem și Etape de Calcul:

4. Probabilități (5p)

Barem și Etape de Calcul:

5. Geometrie Analitică (5p)

Barem și Etape de Calcul:

6. Trigonometrie (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (5p)

a) Calculul determinantului lui A(4)A(4)A(4) (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Identitate liniară matriceală (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Ecuație matriceală cu produs (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Legi de Compoziție (5p)

a) Calcul direct (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Rezolvarea ecuației 2∗x=22 * x = 22∗x=2 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Ecuație diofantică cu legea dată (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial (5p)

a) Calculul derivatei (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Ecuația tangentei în x=0x = 0x=0 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Demonstrarea inegalității pe (−∞,0](-\infty, 0](−∞,0] (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Analiză Matematică - Calcul Integral (5p)

a) Calcul integrală polinomială (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Integrare prin părți (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Volumul corpului de rotație (5p)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul determinantului lui $A(4)$ (5p)

b) Rezolvarea ecuației $2 * x = 2$ (5p)

b) Ecuația tangentei în $x = 0$ (5p)

c) Demonstrarea inegalității pe $(-\infty, 0]$ (5p)