matematicaTehnologicAnul 2026Sesiune Specială (Olimpici)

Bacalaureat 2026 - Matematică Tehnologic - Sesiune Specială (Olimpici)

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcul cu Fracții (5p)

Arătați că:

\frac{8}{3} - 2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{6} \right) = 1

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul parantezei și al înmulțirii

Efectuăm scăderea din paranteză:
$1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Înmulțim cu $2$ :
$2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
(3 puncte)
Finalizarea calculului
$\frac{8}{3} - \frac{5}{3} = \frac{8 - 5}{3} = \frac{3}{3} = 1$
(2 puncte)

2. Ecuație Liniară (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 7x + 5$ . Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m) = 26$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Scrierea ecuației

Calculăm $f(m)$ :
$f(m) = 7m + 5$
Ecuația dată este:
$7m + 5 = 26$
(3 puncte)
Rezolvarea ecuației
$7m = 26 - 5 \iff 7m = 21 \iff m = \frac{21}{7} = 3$
(2 puncte)

3. Ecuație Exponențială (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

3^{2x - 1} = 3^{5 - x}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Egalarea exponenților

Deoarece baza puterilor este aceeași ( $3 > 0, 3 \neq 1$ ), funcția exponențială este injectivă:
$2x - 1 = 5 - x$
(3 puncte)
Aflarea necunoscutei

Trecem termenii cu $x$ în stânga:
$2x + x = 5 + 1 \iff 3x = 6 \iff x = 2$
(2 puncte)

4. Calcul Procentual (5p)

După o ieftinire cu $65\%$ , un obiect costă $70$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Formularea ecuației prețului inițial

Fie $x$ prețul obiectului înainte de ieftinire. Ieftinirea reprezintă $65\%$ din $x$ , deci noul preț este:
$x - \frac{65}{100}x = 70 \iff \frac{35}{100}x = 70$
(3 puncte)
Calcularea valorii lui $x$
$x = \frac{70 \cdot 100}{35} = 2 \cdot 100 = 200 \text{ lei}$
(2 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$ , $B(8,6)$ și $C$ , mijlocul segmentului $OB$ . Determinați distanța dintre punctele $A$ și $C$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Coordonatele punctului $C$

Originea reperului este $O(0,0)$ . Punctul $C$ fiind mijlocul segmentului $OB$ :
$x_C = \frac{x_O + x_B}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4, \quad y_C = \frac{y_O + y_B}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3 \implies C(4,3)$
(2 puncte)
Calculul distanței $AC$
$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$
(3 puncte)

6. Geometrie și Trigonometrie (5p)

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AC = 6 \cdot AB$ și aria egală cu $12$ . Arătați că $AB = 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Exprimarea ariei triunghiului dreptunghic

Aria triunghiului dreptunghic în $A$ este:
$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2}$
Înlocuind $AC = 6 \cdot AB$ :
$\frac{AB \cdot (6 \cdot AB)}{2} = 3AB^2$
(3 puncte)
Aflarea lungimii laturii $AB$

Din enunț, aria este egală cu $12$ :
$3AB^2 = 12 \iff AB^2 = 4$
Deoarece $AB > 0$ fiind lungimea unui segment:
$AB = 2$
(2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (5p)

Se consideră matricea:

A(x) = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 2x & x + 4 \end{pmatrix}

unde $x$ este număr real.

a) Determinantul matricei $A(1)$ (5p)

Arătați că $\det(A(1)) = 1$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Scrierea matricei $A(1)$ și a determinantului

Pentru $x = 1$ :
$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
Determinantul este:
$\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 2$
(3 puncte)
Calculul numeric
$\det(A(1)) = 5 - 4 = 1$
(2 puncte)

b) Identitate liniară matriceală (5p)

Arătați că $3A(3) - A(1) = 2A(4)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul membrului stâng

Avem:
$A(3) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \implies 3A(3) = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 18 & 21 \end{pmatrix}$ $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
Scăderea dă:
$3A(3) - A(1) = \begin{pmatrix} 9 - 1 & 6 - 2 \\ 18 - 2 & 21 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 16 & 16 \end{pmatrix}$
(3 puncte)
Calculul membrului drept și concluzia

Determinăm $A(4)$ :
$A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}$
Înmulțind cu $2$ :
$2A(4) = 2 \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 16 & 16 \end{pmatrix}$
Ambii membri fiind egali, egalitatea $3A(3) - A(1) = 2A(4)$ este demonstrată.

(2 puncte)

c) Ecuație cu produse de matrice (5p)

Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0) \cdot A(x) \cdot A(0) = 4x A(0)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul produsului $A(0) \cdot A(x) \cdot A(0)$

Pentru $x = 0$ , matricea este:
$A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$
Calculăm mai întâi produsul $A(0) \cdot A(x)$ :
$A(0) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 2 \\ 2x & x + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x & 2x + 8 \\ 8x & 4x + 16 \end{pmatrix}$
Calculăm acum $A(0) \cdot A(x) \cdot A(0)$ :
$\begin{pmatrix} 4x & 2x + 8 \\ 8x & 4x + 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8x + 4(2x + 8) \\ 0 & 16x + 4(4x + 16) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 16x + 32 \\ 0 & 32x + 64 \end{pmatrix}$
Observăm că:
$\begin{pmatrix} 0 & 16x + 32 \\ 0 & 32x + 64 \end{pmatrix} = (8x + 16) \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = (8x + 16) A(0)$
(3 puncte)
Rezolvarea ecuației

Ecuația devine:
$(8x + 16) A(0) = 4x A(0)$
Deoarece $A(0) \neq O_2$ , egalitatea matricelor este echivalentă cu egalitatea scalarilor:
$8x + 16 = 4x \iff 4x = -16 \iff x = -4$
(2 puncte)

2. Polinoame (5p)

Se consideră polinomul $f = X^3 - 4X^2 + aX - 2$ , unde $a$ este număr real.

a) Verificare pentru $a = 5$ (5p)

Pentru $a = 5$ , arătați că $f(1) = 0$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Scrierea polinomului și evaluarea în $1$

Pentru $a = 5$ , polinomul este $f = X^3 - 4X^2 + 5X - 2$ .
$f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 2$
(3 puncte)
Calculul numeric
$f(1) = 1 - 4 + 5 - 2 = 0$
(2 puncte)

b) Relațiile lui Viète pentru $a = 3$ (5p)

Pentru $a = 3$ , arătați că $x_1 x_2 x_3 + 2x_1 x_2 + 2x_1 x_3 + 2x_2 x_3 = 8$ , unde $x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Scrierea relațiilor lui Viète

Pentru $a = 3$ , polinomul este $f = X^3 - 4X^2 + 3X - 2$ .

Conform relațiilor lui Viète:
$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{3}{1} = 3, \quad x_1 x_2 x_3 = -\frac{-2}{1} = 2$
(2 puncte)
Calculul expresiei date

Grupăm termenii:
$x_1 x_2 x_3 + 2x_1 x_2 + 2x_1 x_3 + 2x_2 x_3 = x_1 x_2 x_3 + 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)$
Înlocuind valorile din relațiile lui Viète:
$= 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$
(3 puncte)

c) Resturi de împărțire polinomială (5p)

Se consideră polinoamele $g = X - 3$ și $h = X + 2$ . Determinați numărul real $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la $g$ este egal cu restul împărțirii polinomului $g$ la $h$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul celor două resturi conform teoremei restului
- Restul împărțirii lui $f$ la $g = X - 3$ este:
  $R_1 = f(3) = 3^3 - 4 \cdot 3^2 + a \cdot 3 - 2 = 27 - 36 + 3a - 2 = 3a - 11$
- Restul împărțirii lui $g$ la $h = X + 2$ este:
  $R_2 = g(-2) = -2 - 3 = -5$
(3 puncte)
Egalarea resturilor și determinarea parametrului $a$

Din condiția $R_1 = R_2$ :
$3a - 11 = -5 \iff 3a = 11 - 5 \iff 3a = 6 \iff a = 2$
(2 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 6}$ .

a) Calculul derivatei (5p)

Arătați că $f'(x) = \frac{2(x + 3)(2 - x)}{(x^2 + 6)^2}$ , pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Aplicarea regulii de derivare a câtului
$f'(x) = \frac{(2x + 1)'(x^2 + 6) - (2x + 1)(x^2 + 6)'}{(x^2 + 6)^2}$ $= \frac{2(x^2 + 6) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 + 6)^2}$
(3 puncte)
Desfacerea parantezelor și factorizarea
$= \frac{2x^2 + 12 - (4x^2 + 2x)}{(x^2 + 6)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 12}{(x^2 + 6)^2}$
Dăm factor comun pe $-2$ :
$= \frac{-2(x^2 + x - 6)}{(x^2 + 6)^2} = \frac{-2(x + 3)(x - 2)}{(x^2 + 6)^2} = \frac{2(x + 3)(2 - x)}{(x^2 + 6)^2}$
pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

(2 puncte)

b) Calculul limitei la $+\infty$ (5p)

Arătați că $\lim_{x \to +\infty} (x \cdot f(x)) = 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Formarea expresiei raționale
$x \cdot f(x) = \frac{x(2x + 1)}{x^2 + 6} = \frac{2x^2 + x}{x^2 + 6}$
Limita devine:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + x}{x^2 + 6} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1 + \frac{6}{x^2}\right)}$
(3 puncte)
Calculul limitei

Simplificând prin $x^2$ :
$= \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{6}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2$
(2 puncte)

c) Panta tangentei la grafic (5p)

Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = a$ , situat pe graficul funcției $f$ , are panta egală cu $0$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Semnificația geometrică a derivatei

Panta tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = a$ este egală cu $f'(a)$ .

Condiția ca panta să fie $0$ este:
$f'(a) = 0$
(2 puncte)
Rezolvarea ecuației derivatei

Folosind forma factorizată a derivatei:
$\frac{2(a + 3)(2 - a)}{(a^2 + 6)^2} = 0 \iff (a + 3)(2 - a) = 0$
De unde obținem:
$a + 3 = 0 \implies a = -3 \quad \text{sau} \quad 2 - a = 0 \implies a = 2$
Valorile căutate sunt $a \in \{-3, 2\}$ .

(3 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral (5p)

Se consideră funcția $f: (-4, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \frac{4x}{\sqrt{x + 4}}$ .

a) Calcul integrală simplă (5p)

Arătați că:

\int_0^2 f(x) \cdot \sqrt{x + 4} \, dx = 8

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Simplificarea integrandului
$f(x) \cdot \sqrt{x + 4} = \frac{4x}{\sqrt{x + 4}} \cdot \sqrt{x + 4} = 4x$
Integrala devine:
$\int_0^2 4x \, dx = \left[ 2x^2 \right]_0^2$
(3 puncte)
Calculul numeric
$\left[ 2x^2 \right]_0^2 = 2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 0^2 = 2 \cdot 4 = 8$
(2 puncte)

b) Calcul integrală prin schimbare de variabilă (5p)

Arătați că:

\int_5^{12} \frac{1}{2x} \cdot f(x) \, dx = 4

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Simplificarea expresiei de sub integrală
$\frac{1}{2x} \cdot f(x) = \frac{1}{2x} \cdot \frac{4x}{\sqrt{x + 4}} = \frac{2}{\sqrt{x + 4}}$
Scriem integrala sub formă direct integrabilă:
$\int_5^{12} \frac{2}{\sqrt{x + 4}} \, dx = 4 \int_5^{12} \frac{(x + 4)'}{2\sqrt{x + 4}} \, dx = \left[ 4\sqrt{x + 4} \right]_5^{12}$
(3 puncte)
Evaluarea limitelor de integrare
$= 4\sqrt{12 + 4} - 4\sqrt{5 + 4} = 4\sqrt{16} - 4\sqrt{9} = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$
(2 puncte)

c) Volumul corpului de rotație (5p)

Se consideră $a \in (0, +\infty)$ și funcția $g: [a, a + 8] \to \mathbb{R}$ , $g(x) = \frac{f(x)}{4\sqrt{x}}$ . Determinați numărul real $a \in (0, +\infty)$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g$ în jurul axei $Ox$ este egal cu $4\pi(2 - \ln 2)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Exprimarea funcției $g$ și a formulei volumului

Avem:
$g(x) = \frac{f(x)}{4\sqrt{x}} = \frac{4x}{4\sqrt{x}\sqrt{x + 4}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 4}}$
Pătratul funcției este:
$g^2(x) = \frac{x}{x + 4} = \frac{x + 4 - 4}{x + 4} = 1 - \frac{4}{x + 4}$
Formula volumului este:
$V = \pi \int_a^{a + 8} g^2(x) \, dx = \pi \int_a^{a + 8} \left( 1 - \frac{4}{x + 4} \right) \, dx$
Calculăm primitiva:
$V = \pi \left[ x - 4\ln(x + 4) \right]_a^{a + 8} = \pi \left( (a + 8 - a) - 4(\ln(a + 12) - \ln(a + 4)) \right)$ $= \pi \left( 8 - 4\ln\frac{a + 12}{a + 4} \right) = 4\pi \left( 2 - \ln\frac{a + 12}{a + 4} \right)$
(3 puncte)
Identificarea parametrului $a$

Egalăm cu valoarea dată în enunț:
$4\pi \left( 2 - \ln\frac{a + 12}{a + 4} \right) = 4\pi (2 - \ln 2)$
Împărțind prin $4\pi$ :
$2 - \ln\frac{a + 12}{a + 4} = 2 - \ln 2 \iff \ln\frac{a + 12}{a + 4} = \ln 2 \iff \frac{a + 12}{a + 4} = 2$
Rezolvând ecuația rațională:
$a + 12 = 2(a + 4) \iff a + 12 = 2a + 8 \iff a = 4$
Cum $4 \in (0, +\infty)$ , soluția este $a = 4$ .

(2 puncte)

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcul cu Fracții (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Ecuație Liniară (5p)

Barem și Etape de Calcul:

3. Ecuație Exponențială (5p)

Barem și Etape de Calcul:

4. Calcul Procentual (5p)

Barem și Etape de Calcul:

5. Geometrie Analitică (5p)

Barem și Etape de Calcul:

6. Geometrie și Trigonometrie (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (5p)

a) Determinantul matricei A(1)A(1)A(1) (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Identitate liniară matriceală (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Ecuație cu produse de matrice (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Polinoame (5p)

a) Verificare pentru a=5a = 5a=5 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Relațiile lui Viète pentru a=3a = 3a=3 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Resturi de împărțire polinomială (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial (5p)

a) Calculul derivatei (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Calculul limitei la +∞+\infty+∞ (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Panta tangentei la grafic (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Analiză Matematică - Calcul Integral (5p)

a) Calcul integrală simplă (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Calcul integrală prin schimbare de variabilă (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Volumul corpului de rotație (5p)

Barem și Etape de Calcul:

a) Determinantul matricei $A(1)$ (5p)

a) Verificare pentru $a = 5$ (5p)

b) Relațiile lui Viète pentru $a = 3$ (5p)

b) Calculul limitei la $+\infty$ (5p)