BACEduHub
matematicaTehnologicAnul 2026Simulare Națională

Bacalaureat 2026 - Matematică Tehnologic - Simulare Națională

Descarcă Subiect PDFDescarcă Barem PDF
Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcul Aritmetic cu Fracții (5p)

Arătați că:

(3+35):4+110=1\left(3 + \frac{3}{5}\right) : 4 + \frac{1}{10} = 1
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Efectuarea operațiilor din paranteză și a împărțirii

    Calculăm suma din paranteză și efectuăm împărțirea:

    (3+35):4+110=185:4+110=185⋅14+110=1820+110\left(3 + \frac{3}{5}\right) : 4 + \frac{1}{10} = \frac{18}{5} : 4 + \frac{1}{10} = \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{10} = \frac{18}{20} + \frac{1}{10}

    (3 puncte)

  2. Finalizarea calculului

    910+110=1\frac{9}{10} + \frac{1}{10} = 1

    (2 puncte)

2. Compunere de Funcții Liniare (5p)

Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+6f(x) = 3x + 6. Determinați numărul real aa pentru care f(1)+f(a)=2f(0)f(1) + f(a) = 2f(0).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul valorilor funcției

    f(0)=6,f(1)=3⋅1+6=9,f(a)=3a+6f(0) = 6, \quad f(1) = 3 \cdot 1 + 6 = 9, \quad f(a) = 3a + 6

    pentru orice număr real aa.

    (3 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Ecuația f(1)+f(a)=2f(0)f(1) + f(a) = 2f(0) devine:

    9+3a+6=2⋅6  ⟺  3a+15=12  ⟺  3a=−3  ⟹  a=−19 + 3a + 6 = 2 \cdot 6 \iff 3a + 15 = 12 \iff 3a = -3 \implies a = -1

    (2 puncte)

3. Ecuație Iradicală (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

4x−x2=3x\sqrt{4x - x^2} = \sqrt{3x}
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Egalarea expresiilor de sub radicali

    Ridicăm ambii membri la pătrat:

    4x−x2=3x  ⟹  x2−x=04x - x^2 = 3x \implies x^2 - x = 0

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Factorizăm:

    x(x−1)=0  ⟹  x=0saux=1x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 1

    Ambele soluții convin (verificare: pentru x=0x = 0: 0=00 = 0 ✓; pentru x=1x = 1: 3=3\sqrt{3} = \sqrt{3} ✓).

    (3 puncte)

4. Probabilități – Pătrate Perfecte (5p)

Se consideră mulțimea A={0,1,2,…,26}A = \{0, 1, 2, \ldots, 26\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea AA, acesta să fie pătratul unui număr natural.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Determinarea cazurilor posibile

    Mulțimea AA are 2727 de elemente, deci sunt 2727 de cazuri posibile.

    (2 puncte)

  2. Determinarea cazurilor favorabile și a probabilității

    În mulțimea AA sunt 66 numere care sunt pătrate ale unor numere naturale: 0,1,4,9,16,250, 1, 4, 9, 16, 25, deci sunt 66 cazuri favorabile.

    p=627=29p = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}

    (3 puncte)

5. Geometrie Analitică – Triunghi Dreptunghic Isoscel (5p)

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,4)A(0, 4), B(3,0)B(3, 0) și C(4,7)C(4, 7). Arătați că triunghiul ABCABC este dreptunghic isoscel.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul lungimilor laturilor

    AB=(3−0)2+(0−4)2=9+16=25=5AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 AC=(4−0)2+(7−4)2=16+9=25=5AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

    (2 puncte)

  2. Verificarea proprietăților triunghiului

    BC=(4−3)2+(7−0)2=1+49=50BC = \sqrt{(4 - 3)^2 + (7 - 0)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}

    Verificăm dacă triunghiul este dreptunghic:

    BC2=50=25+25=AB2+AC2BC^2 = 50 = 25 + 25 = AB^2 + AC^2

    Relația BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2 (reciproca teoremei lui Pitagora) confirmă că triunghiul ABCABC este dreptunghic (cu ipotenuza BCBC), iar AB=AC=5AB = AC = 5 arată că este și isoscel.

    (3 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Arătați că:

2sin⁡60°+3sin⁡30°−3cos⁡30°=02\sin 60° + \sqrt{3}\sin 30° - 3\cos 30° = 0
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Identificarea valorilor tabelare

    sin⁡60°=32,sin⁡30°=12,cos⁡30°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    Înlocuim valorile în expresie:

    2⋅32+3⋅12−3⋅32=3+32−332=23+3−332=33−332=02 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} = 0

    (2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți (15p)

Se consideră matricele:

I2=(1001),M(a)=(2aaaa−2)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad M(a) = \begin{pmatrix} 2a & a \\ a & a - 2 \end{pmatrix}

unde aa este număr real.

a) Determinantul matricei M(4)M(4) (5p)

Arătați că det⁡(M(4))=0\det(M(4)) = 0.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Scrierea matricei M(4)M(4) și calculul determinantului

    Pentru a=4a = 4:

    M(4)=(8442)  ⟹  det⁡(M(4))=∣8442∣=8⋅2−4⋅4M(4) = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \implies \det(M(4)) = \begin{vmatrix} 8 & 4 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 8 \cdot 2 - 4 \cdot 4

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    det⁡(M(4))=16−16=0\det(M(4)) = 16 - 16 = 0

    (2 puncte)

b) Produs matriceal (5p)

Arătați că M(1)⋅M(1)−M(1)=3I2M(1) \cdot M(1) - M(1) = 3I_2.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul matricei M(1)M(1) și al produsului M(1)⋅M(1)M(1) \cdot M(1)

    M(1)=(211−1)M(1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} M(1)⋅M(1)=(211−1)(211−1)=(4+12−12−11+1)=(5112)M(1) \cdot M(1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 1 & 2 - 1 \\ 2 - 1 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Calculul diferenței

    M(1)⋅M(1)−M(1)=(5112)−(211−1)=(3003)=3I2M(1) \cdot M(1) - M(1) = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3I_2

    (2 puncte)

c) Număr natural impar (5p)

Demonstrați că numărul N=det⁡ ⁣(M(n)−3(M(1))−1)N = \det\!\left(M(n) - 3(M(1))^{-1}\right) este natural impar, pentru orice număr natural nenul nn, unde (M(1))−1(M(1))^{-1} este inversa matricei M(1)M(1).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul inversei 3(M(1))−13(M(1))^{-1} și al diferenței

    Deoarece det⁡(M(1))=2⋅(−1)−1⋅1=−3\det(M(1)) = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -3, inversa este:

    (M(1))−1=1−3(−1−1−12)  ⟹  3(M(1))−1=3−3(−1−1−12)=(111−2)(M(1))^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \implies 3(M(1))^{-1} = \frac{3}{-3}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} M(n)−3(M(1))−1=(2nnnn−2)−(111−2)=(2n−1n−1n−1n)M(n) - 3(M(1))^{-1} = \begin{pmatrix} 2n & n \\ n & n - 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2n - 1 & n - 1 \\ n - 1 & n \end{pmatrix}

    Calculăm determinantul:

    N=(2n−1)⋅n−(n−1)2=2n2−n−n2+2n−1=n2+n−1N = (2n - 1) \cdot n - (n - 1)^2 = 2n^2 - n - n^2 + 2n - 1 = n^2 + n - 1

    pentru orice număr natural nenul nn.

    (3 puncte)

  2. Demonstrarea imparității

    N=n2+n−1=n(n+1)−1N = n^2 + n - 1 = n(n + 1) - 1

    Cum nn și n+1n + 1 sunt numere naturale nenule de parități diferite, produsul n(n+1)n(n + 1) este par. Deci N=n(n+1)−1N = n(n + 1) - 1 este un număr impar.

    Mai mult, n(n+1)≥2n(n + 1) \geq 2 pentru n≥1n \geq 1, deci N≥1>0N \geq 1 > 0, ceea ce confirmă că NN este natural impar pentru orice număr natural nenul nn.

    (2 puncte)

2. Legi de Compoziție (15p)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:

x∗y=xy−3x−3y+12x * y = xy - 3x - 3y + 12

a) Calcul direct (5p)

Arătați că 2∗5=12 * 5 = 1.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Înlocuirea în legea de compoziție

    Pentru x=2x = 2 și y=5y = 5:

    2∗5=2⋅5−3⋅2−3⋅5+122 * 5 = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 12

    (3 puncte)

  2. Finalizarea calculelor

    2∗5=10−6−15+12=12 * 5 = 10 - 6 - 15 + 12 = 1

    (2 puncte)

b) Element neutru (5p)

Arătați că e=4e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul expresiei x∗4x * 4

    x∗4=4x−3x−12+12=xx * 4 = 4x - 3x - 12 + 12 = x

    pentru orice număr real xx.

    (2 puncte)

  2. Calculul expresiei 4∗x4 * x și concluzia

    4∗x=4x−12−3x+12=x4 * x = 4x - 12 - 3x + 12 = x

    pentru orice număr real xx, deci e=4e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”.

    (3 puncte)

c) Determinarea parametrului (5p)

Determinați numărul real aa pentru care (a−x)∗(a−x)=(a+x)∗(a+x)(a - x) * (a - x) = (a + x) * (a + x), pentru orice număr real xx.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul fiecărei compuneri

    (a−x)∗(a−x)=(a−x)2−6(a−x)+12(a - x) * (a - x) = (a - x)^2 - 6(a - x) + 12 (a+x)∗(a+x)=(a+x)2−6(a+x)+12(a + x) * (a + x) = (a + x)^2 - 6(a + x) + 12

    pentru orice număr real xx.

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Egalitatea impune:

    (a−x)2−6(a−x)+12=(a+x)2−6(a+x)+12(a - x)^2 - 6(a - x) + 12 = (a + x)^2 - 6(a + x) + 12

    Simplificând:

    (a−x)2−6(a−x)=(a+x)2−6(a+x)(a - x)^2 - 6(a - x) = (a + x)^2 - 6(a + x)

    Dezvoltăm:

    a2−2ax+x2−6a+6x=a2+2ax+x2−6a−6xa^2 - 2ax + x^2 - 6a + 6x = a^2 + 2ax + x^2 - 6a - 6x −2ax+6x=2ax−6x  ⟺  −4ax+12x=0  ⟺  4x(a−3)=0-2ax + 6x = 2ax - 6x \iff -4ax + 12x = 0 \iff 4x(a - 3) = 0

    Pentru ca egalitatea să aibă loc pentru orice număr real xx, trebuie a−3=0a - 3 = 0, de unde a=3a = 3.

    (3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică – Funcție Rațională (15p)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x3f(x) = \dfrac{x^2 - 3}{x^3}.

a) Derivata funcției (5p)

Arătați că f′(x)=9−x2x4f'(x) = \dfrac{9 - x^2}{x^4}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aplicarea formulei de derivare a câtului

    f′(x)=(x2−3)′⋅x3−(x2−3)⋅(x3)′(x3)2=2x⋅x3−(x2−3)⋅3x2x6f'(x) = \frac{(x^2 - 3)' \cdot x^3 - (x^2 - 3) \cdot (x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{2x \cdot x^3 - (x^2 - 3) \cdot 3x^2}{x^6}

    (3 puncte)

  2. Simplificarea expresiei

    f′(x)=x2(2x2−3x2+9)x6=−x2+9x4=9−x2x4,x∈(0,+∞)f'(x) = \frac{x^2(2x^2 - 3x^2 + 9)}{x^6} = \frac{-x^2 + 9}{x^4} = \frac{9 - x^2}{x^4}, \quad x \in (0, +\infty)

    (2 puncte)

b) Ecuația tangentei (5p)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul valorilor f(1)f(1) și f′(1)f'(1)

    f(1)=1−31=−2,f′(1)=9−11=8f(1) = \frac{1 - 3}{1} = -2, \quad f'(1) = \frac{9 - 1}{1} = 8

    (2 puncte)

  2. Scrierea ecuației tangentei

    Ecuația tangentei în punctul (1,f(1))(1, f(1)) este:

    y−f(1)=f′(1)(x−1)  ⟹  y−(−2)=8(x−1)  ⟹  y=8x−10y - f(1) = f'(1)(x - 1) \implies y - (-2) = 8(x - 1) \implies y = 8x - 10

    (3 puncte)

c) Inegalitate cu funcții (5p)

Demonstrați că 9f(2x)−f(x)≤49f(2x) - f(x) \leq 4, pentru orice x∈[1,2]x \in [1, 2].

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Studiul monotoniei funcției ff

    Din f′(x)=9−x2x4f'(x) = \dfrac{9 - x^2}{x^4}:

    • f′(x)=0  ⟹  x=3f'(x) = 0 \implies x = 3 (pe (0,+∞)(0, +\infty))
    • Pentru x∈(0,3)x \in (0, 3): f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare pe (0,3](0, 3]
    • Pentru x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty): f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este descrescătoare pe [3,+∞)[3, +\infty)

    (2 puncte)

  2. Demonstrarea inegalității

    Pentru x∈[1,2]x \in [1, 2], avem 2x∈[2,4]2x \in [2, 4].

    Pe intervalul [1,2]⊂(0,3][1, 2] \subset (0, 3], funcția ff este crescătoare, deci:

    f(x)≥f(1)=−2f(x) \geq f(1) = -2

    Pe intervalul [2,4][2, 4], maximul funcției ff se atinge în x=3x = 3:

    f(2x)≤f(3)=9−327=627=29f(2x) \leq f(3) = \frac{9 - 3}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}

    Deci:

    9f(2x)−f(x)≤9⋅29−(−2)=2+2=49f(2x) - f(x) \leq 9 \cdot \frac{2}{9} - (-2) = 2 + 2 = 4

    pentru orice x∈[1,2]x \in [1, 2].

    (3 puncte)

2. Analiză Matematică – Funcție cu Radicali (15p)

Se consideră funcția f:(−3,+∞)→Rf: (-3, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+2+2x+3f(x) = x + 2 + \dfrac{2}{\sqrt{x + 3}}.

a) Integrală definită (5p)

Arătați că:

∫04(f(x)−2x+3)dx=16\int_0^4 \left(f(x) - \frac{2}{\sqrt{x + 3}}\right) dx = 16
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Simplificarea integrandului

    Deoarece f(x)−2x+3=x+2f(x) - \dfrac{2}{\sqrt{x + 3}} = x + 2:

    ∫04(f(x)−2x+3)dx=∫04(x+2) dx=x22+2x∣04\int_0^4 \left(f(x) - \frac{2}{\sqrt{x + 3}}\right) dx = \int_0^4 (x + 2)\, dx = \left.\frac{x^2}{2} + 2x \right|_0^4

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    (162+8)−(0+0)=8+8=16\left(\frac{16}{2} + 8\right) - (0 + 0) = 8 + 8 = 16

    (2 puncte)

b) Integrală cu substituție (5p)

Arătați că:

∫16(f(x)−x−2)dx=4\int_1^6 \left(f(x) - x - 2\right) dx = 4
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Simplificarea integrandului și calculul primitivei

    Deoarece f(x)−x−2=2x+3f(x) - x - 2 = \dfrac{2}{\sqrt{x + 3}}:

    ∫162x+3 dx=4∫16(x+3)′2x+3 dx=4x+3∣16\int_1^6 \frac{2}{\sqrt{x + 3}}\, dx = 4 \int_1^6 \frac{(x + 3)'}{2\sqrt{x + 3}}\, dx = 4\left.\sqrt{x + 3}\right|_1^6

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    4(9−4)=4(3−2)=44\left(\sqrt{9} - \sqrt{4}\right) = 4(3 - 2) = 4

    (2 puncte)

c) Ecuație cu integrală (5p)

Determinați numărul real aa pentru care:

∫−21f′(x)(1+1f(x))dx=ln⁡(2ea)\int_{-2}^1 f'(x) \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right) dx = \ln(2e^a)
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Descompunerea integralei

    ∫−21f′(x)(1+1f(x))dx=∫−21f′(x) dx+∫−21f′(x)f(x) dx\int_{-2}^1 f'(x) \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right) dx = \int_{-2}^1 f'(x)\, dx + \int_{-2}^1 \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx

    Calculăm fiecare integrală:

    ∫−21f′(x) dx=f(x)∣−21=f(1)−f(−2)\int_{-2}^1 f'(x)\, dx = \left.f(x)\right|_{-2}^1 = f(1) - f(-2) f(1)=1+2+24=4,f(−2)=−2+2+21=2f(1) = 1 + 2 + \frac{2}{\sqrt{4}} = 4, \quad f(-2) = -2 + 2 + \frac{2}{\sqrt{1}} = 2 ∫−21f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣∣−21=ln⁡4−ln⁡2=ln⁡2\int_{-2}^1 \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \left.\ln|f(x)|\right|_{-2}^1 = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2

    Deci:

    ∫−21f′(x)(1+1f(x))dx=(4−2)+ln⁡2=2+ln⁡2\int_{-2}^1 f'(x) \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right) dx = (4 - 2) + \ln 2 = 2 + \ln 2

    (3 puncte)

  2. Determinarea parametrului aa

    Ecuația devine:

    2+ln⁡2=ln⁡(2ea)=ln⁡2+a2 + \ln 2 = \ln(2e^a) = \ln 2 + a

    Deci a=2a = 2.

    (2 puncte)