Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Calcul Aritmetic cu Fracții (5p)
Arătați că:
1 4 + 3 ⋅ ( 3 2 − 1 4 ) = 4 \frac{1}{4} + 3 \cdot \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) = 4 4 1 + 3 ⋅ ( 2 3 − 4 1 ) = 4
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Calculul diferenței din paranteză
Aducem la numitor comun în paranteză (numitorul comun este 4 4 4
3 2 − 1 4 = 6 4 − 1 4 = 5 4 \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} 2 3 − 4 1 = 4 6 − 4 1 = 4 5 Expresia devine:
1 4 + 3 ⋅ 5 4 = 1 4 + 15 4 \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + \frac{15}{4} 4 1 + 3 ⋅ 4 5 = 4 1 + 4 15 (3 puncte)
Finalizarea calculului
1 + 15 4 = 16 4 = 4 \frac{1 + 15}{4} = \frac{16}{4} = 4 4 1 + 15 = 4 16 = 4 (2 puncte)
2. Funcție Liniară (5p)
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 4 x − 9 f(x) = 4x - 9 f ( x ) = 4 x − 9 a a a f ( a ) = a f(a) = a f ( a ) = a
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Scrierea ecuației
Calculăm valoarea funcției în punctul a a a
f ( a ) = 4 a − 9 f(a) = 4a - 9 f ( a ) = 4 a − 9 Ecuația f ( a ) = a f(a) = a f ( a ) = a
4 a − 9 = a 4a - 9 = a 4 a − 9 = a (2 puncte)
Rezolvarea ecuației de gradul I
Trecem termenii cu necunoscuta în membrul stâng:
4 a − a = 9 ⟺ 3 a = 9 ⟺ a = 3 4a - a = 9 \iff 3a = 9 \iff a = 3 4 a − a = 9 ⟺ 3 a = 9 ⟺ a = 3 (3 puncte)
3. Ecuație Irațională (5p)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:
2 x − 1 = x \sqrt{2x - 1} = x 2 x − 1 = x
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Condiții de existență și ridicarea la pătrat
Deoarece membrul stâng este un radical de ordin par, impunem:
2 x − 1 ≥ 0 ⟹ x ≥ 1 2 2x - 1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2} 2 x − 1 ≥ 0 ⟹ x ≥ 2 1 x ≥ 0 x \ge 0 x ≥ 0
Ridicăm ambii membri la pătrat:
2 x − 1 = x 2 ⟺ x 2 − 2 x + 1 = 0 2x - 1 = x^2 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 2 x − 1 = x 2 ⟺ x 2 − 2 x + 1 = 0 (3 puncte)
Rezolvarea ecuației de gradul al II-lea
Recunoaștem pătratul unui binom:
( x − 1 ) 2 = 0 ⟹ x = 1 (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1 ( x − 1 ) 2 = 0 ⟹ x = 1 Verificare: 2 ⋅ 1 − 1 = 1 = 1 \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt{1} = 1 2 ⋅ 1 − 1 = 1 = 1
(2 puncte)
4. Probabilități (5p)
Se consideră mulțimea A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } n n n A A A n ( n + 1 ) n(n + 1) n ( n + 1 ) 10 10 10
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Numărul cazurilor posibile
Mulțimea A A A 8 8 8
nr. cazuri posibile = 8 \text{nr. cazuri posibile} = 8 nr. cazuri posibile = 8 (2 puncte)
Numărul cazurilor favorabile și calculul probabilității
Evaluăm produsul n ( n + 1 ) n(n+1) n ( n + 1 ) n ∈ A n \in A n ∈ A
n = 1 ⟹ 1 ⋅ 2 = 2 n = 1 \implies 1 \cdot 2 = 2 n = 1 ⟹ 1 ⋅ 2 = 2 n = 2 ⟹ 2 ⋅ 3 = 6 n = 2 \implies 2 \cdot 3 = 6 n = 2 ⟹ 2 ⋅ 3 = 6 n = 3 ⟹ 3 ⋅ 4 = 12 n = 3 \implies 3 \cdot 4 = 12 n = 3 ⟹ 3 ⋅ 4 = 12 n = 4 ⟹ 4 ⋅ 5 = 20 n = 4 \implies 4 \cdot 5 = 20 n = 4 ⟹ 4 ⋅ 5 = 20 10 10 10 n = 5 ⟹ 5 ⋅ 6 = 30 n = 5 \implies 5 \cdot 6 = 30 n = 5 ⟹ 5 ⋅ 6 = 30 10 10 10 n = 6 ⟹ 6 ⋅ 7 = 42 n = 6 \implies 6 \cdot 7 = 42 n = 6 ⟹ 6 ⋅ 7 = 42 n = 7 ⟹ 7 ⋅ 8 = 56 n = 7 \implies 7 \cdot 8 = 56 n = 7 ⟹ 7 ⋅ 8 = 56 n = 8 ⟹ 8 ⋅ 9 = 72 n = 8 \implies 8 \cdot 9 = 72 n = 8 ⟹ 8 ⋅ 9 = 72
Numerele care convin sunt n ∈ { 4 , 5 } n \in \{4, 5\} n ∈ { 4 , 5 } 2 2 2
Probabilitatea cerută este:
p = nr. cazuri favorabile nr. cazuri posibile = 2 8 = 1 4 p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} p = nr. cazuri posibile nr. cazuri favorabile = 8 2 = 4 1 (3 puncte)
5. Geometrie Analitică (5p)
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 6 , 8 ) A(6,8) A ( 6 , 8 ) B ( 8 , 4 ) B(8,4) B ( 8 , 4 ) M M M O A OA O A O B M OBM O B M
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Coordonatele punctului M M M O M OM O M
Originea reperului este O ( 0 , 0 ) O(0,0) O ( 0 , 0 ) M M M O A OA O A
x M = x O + x A 2 = 0 + 6 2 = 3 , y M = y O + y A 2 = 0 + 8 2 = 4 ⟹ M ( 3 , 4 ) x_M = \frac{x_O + x_A}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3, \quad y_M = \frac{y_O + y_A}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4 \implies M(3,4) x M = 2 x O + x A = 2 0 + 6 = 3 , y M = 2 y O + y A = 2 0 + 8 = 4 ⟹ M ( 3 , 4 ) Calculăm distanța O M OM O M
O M = ( 3 − 0 ) 2 + ( 4 − 0 ) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 OM = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 O M = ( 3 − 0 ) 2 + ( 4 − 0 ) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 (3 puncte)
Calculul lungimii B M BM B M
Calculăm distanța B M BM B M
B M = ( 8 − 3 ) 2 + ( 4 − 4 ) 2 = 5 2 + 0 2 = 5 BM = \sqrt{(8 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5 B M = ( 8 − 3 ) 2 + ( 4 − 4 ) 2 = 5 2 + 0 2 = 5 Deoarece O M = B M = 5 OM = BM = 5 O M = B M = 5 O B M OBM O B M O M OM O M B M BM B M
(2 puncte)
6. Trigonometrie și Geometrie (5p)
Se consideră triunghiul A B C ABC A B C A A A A C = 6 AC = 6 A C = 6 A C = 3 A B AC = 3AB A C = 3 A B B C = 2 10 BC = 2\sqrt{10} B C = 2 10
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Aflarea lungimii catetei A B AB A B
Din relația A C = 3 A B AC = 3AB A C = 3 A B
A B = A C 3 = 6 3 = 2 AB = \frac{AC}{3} = \frac{6}{3} = 2 A B = 3 A C = 3 6 = 2 (2 puncte)
Aplicarea teoremei lui Pitagora
În triunghiul dreptunghic A B C ABC A B C ∢ A = 90 ∘ \sphericalangle A = 90^\circ ∢ A = 9 0 ∘
B C 2 = A B 2 + A C 2 = 2 2 + 6 2 = 4 + 36 = 40 BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40 B C 2 = A B 2 + A C 2 = 2 2 + 6 2 = 4 + 36 = 40 De unde:
B C = 40 = 4 ⋅ 10 = 2 10 BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} B C = 40 = 4 ⋅ 10 = 2 10 (3 puncte)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Matrice (5p)
Se consideră matricea:
M ( a ) = ( a + 1 4 − 1 a − 4 ) M(a) = \begin{pmatrix} a + 1 & 4 \\ -1 & a - 4 \end{pmatrix} M ( a ) = ( a + 1 − 1 4 a − 4 ) unde a a a
a) Calculul determinantului lui M ( 0 ) M(0) M ( 0 )
Arătați că det ( M ( 0 ) ) = 0 \det(M(0)) = 0 det ( M ( 0 )) = 0
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Determinarea matricei M ( 0 ) M(0) M ( 0 )
Pentru a = 0 a = 0 a = 0
M ( 0 ) = ( 0 + 1 4 − 1 0 − 4 ) = ( 1 4 − 1 − 4 ) M(0) = \begin{pmatrix} 0 + 1 & 4 \\ -1 & 0 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} M ( 0 ) = ( 0 + 1 − 1 4 0 − 4 ) = ( 1 − 1 4 − 4 ) Determinantul este:
det ( M ( 0 ) ) = ∣ 1 4 − 1 − 4 ∣ = 1 ⋅ ( − 4 ) − 4 ⋅ ( − 1 ) \det(M(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) - 4 \cdot (-1) det ( M ( 0 )) = 1 − 1 4 − 4 = 1 ⋅ ( − 4 ) − 4 ⋅ ( − 1 ) (3 puncte)
Calculul numeric
det ( M ( 0 ) ) = − 4 − ( − 4 ) = − 4 + 4 = 0 \det(M(0)) = -4 - (-4) = -4 + 4 = 0 det ( M ( 0 )) = − 4 − ( − 4 ) = − 4 + 4 = 0 (2 puncte)
b) Relație liniară de matrice (5p)
Arătați că M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = 3 M ( 1 ) M(3) + 2M(0) = 3M(1) M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = 3 M ( 1 )
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Calculul membrului stâng
Avem:
M ( 3 ) = ( 4 4 − 1 − 1 ) , M ( 0 ) = ( 1 4 − 1 − 4 ) M(3) = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad M(0) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} M ( 3 ) = ( 4 − 1 4 − 1 ) , M ( 0 ) = ( 1 − 1 4 − 4 ) 2 M ( 0 ) = ( 2 8 − 2 − 8 ) 2M(0) = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ -2 & -8 \end{pmatrix} 2 M ( 0 ) = ( 2 − 2 8 − 8 ) Însumând:
M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = ( 4 + 2 4 + 8 − 1 − 2 − 1 − 8 ) = ( 6 12 − 3 − 9 ) M(3) + 2M(0) = \begin{pmatrix} 4 + 2 & 4 + 8 \\ -1 - 2 & -1 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ -3 & -9 \end{pmatrix} M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = ( 4 + 2 − 1 − 2 4 + 8 − 1 − 8 ) = ( 6 − 3 12 − 9 ) (3 puncte)
Calculul membrului drept și concluzia
Determinăm M ( 1 ) M(1) M ( 1 )
M ( 1 ) = ( 2 4 − 1 − 3 ) M(1) = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} M ( 1 ) = ( 2 − 1 4 − 3 ) Înmulțim cu scalarul 3 3 3
3 M ( 1 ) = 3 ( 2 4 − 1 − 3 ) = ( 6 12 − 3 − 9 ) 3M(1) = 3 \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ -3 & -9 \end{pmatrix} 3 M ( 1 ) = 3 ( 2 − 1 4 − 3 ) = ( 6 − 3 12 − 9 ) Deoarece ambii membri conduc la aceeași matrice, egalitatea este demonstrată.
(2 puncte)
c) Ecuație matriceală (5p)
Determinați numărul real a a a M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = 3 M ( 0 ) M(a) \cdot M(0) = 3M(0) M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = 3 M ( 0 )
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Calculul produsului M ( a ) ⋅ M ( 0 ) M(a) \cdot M(0) M ( a ) ⋅ M ( 0 )
Efectuăm înmulțirea matricelor:
M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = ( a + 1 4 − 1 a − 4 ) ( 1 4 − 1 − 4 ) M(a) \cdot M(0) = \begin{pmatrix} a + 1 & 4 \\ -1 & a - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = ( a + 1 − 1 4 a − 4 ) ( 1 − 1 4 − 4 ) Calculăm elementele produsului:
Rândul 1, Coloana 1: ( a + 1 ) ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 1 ) = a + 1 − 4 = a − 3 (a + 1) \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = a + 1 - 4 = a - 3 ( a + 1 ) ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 1 ) = a + 1 − 4 = a − 3
Rândul 1, Coloana 2: ( a + 1 ) ⋅ 4 + 4 ⋅ ( − 4 ) = 4 a + 4 − 16 = 4 a − 12 (a + 1) \cdot 4 + 4 \cdot (-4) = 4a + 4 - 16 = 4a - 12 ( a + 1 ) ⋅ 4 + 4 ⋅ ( − 4 ) = 4 a + 4 − 16 = 4 a − 12
Rândul 2, Coloana 1: ( − 1 ) ⋅ 1 + ( a − 4 ) ⋅ ( − 1 ) = − 1 − a + 4 = 3 − a (-1) \cdot 1 + (a - 4) \cdot (-1) = -1 - a + 4 = 3 - a ( − 1 ) ⋅ 1 + ( a − 4 ) ⋅ ( − 1 ) = − 1 − a + 4 = 3 − a
Rândul 2, Coloana 2: ( − 1 ) ⋅ 4 + ( a − 4 ) ⋅ ( − 4 ) = − 4 − 4 a + 16 = 12 − 4 a (-1) \cdot 4 + (a - 4) \cdot (-4) = -4 - 4a + 16 = 12 - 4a ( − 1 ) ⋅ 4 + ( a − 4 ) ⋅ ( − 4 ) = − 4 − 4 a + 16 = 12 − 4 a
Obținem:
M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = ( a − 3 4 a − 12 3 − a 12 − 4 a ) M(a) \cdot M(0) = \begin{pmatrix} a - 3 & 4a - 12 \\ 3 - a & 12 - 4a \end{pmatrix} M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = ( a − 3 3 − a 4 a − 12 12 − 4 a ) (3 puncte)
Egalarea cu 3 M ( 0 ) 3M(0) 3 M ( 0 ) a a a
Membrul drept este:
3 M ( 0 ) = 3 ( 1 4 − 1 − 4 ) = ( 3 12 − 3 − 12 ) 3M(0) = 3 \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -3 & -12 \end{pmatrix} 3 M ( 0 ) = 3 ( 1 − 1 4 − 4 ) = ( 3 − 3 12 − 12 ) Egalând elementele corespondente:
a − 3 = 3 ⟹ a = 6 a - 3 = 3 \implies a = 6 a − 3 = 3 ⟹ a = 6 Verificăm celelalte ecuații: 4 ( 6 ) − 12 = 12 4(6) - 12 = 12 4 ( 6 ) − 12 = 12 3 − 6 = − 3 3 - 6 = -3 3 − 6 = − 3 12 − 4 ( 6 ) = − 12 12 - 4(6) = -12 12 − 4 ( 6 ) = − 12 a = 6 a = 6 a = 6
(2 puncte)
2. Legi de Compoziție (5p)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:
x ∘ y = x y + 4 ( x + y ) x \circ y = xy + 4(x + y) x ∘ y = x y + 4 ( x + y ) a) Calcul direct (5p)
Arătați că 1 ∘ 2 = 14 1 \circ 2 = 14 1 ∘ 2 = 14
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Înlocuirea valorilor în lege
1 ∘ 2 = 1 ⋅ 2 + 4 ( 1 + 2 ) 1 \circ 2 = 1 \cdot 2 + 4(1 + 2) 1 ∘ 2 = 1 ⋅ 2 + 4 ( 1 + 2 ) (3 puncte)
Efectuarea operațiilor
= 2 + 4 ⋅ 3 = 2 + 12 = 14 = 2 + 4 \cdot 3 = 2 + 12 = 14 = 2 + 4 ⋅ 3 = 2 + 12 = 14 (2 puncte)
b) Rezolvarea ecuației x ∘ 3 = x x \circ 3 = x x ∘ 3 = x
Determinați numărul real x x x x ∘ 3 = x x \circ 3 = x x ∘ 3 = x
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Dezvoltarea expresiei x ∘ 3 x \circ 3 x ∘ 3
Aplicăm definiția legii:
x ∘ 3 = x ⋅ 3 + 4 ( x + 3 ) = 3 x + 4 x + 12 = 7 x + 12 x \circ 3 = x \cdot 3 + 4(x + 3) = 3x + 4x + 12 = 7x + 12 x ∘ 3 = x ⋅ 3 + 4 ( x + 3 ) = 3 x + 4 x + 12 = 7 x + 12 (3 puncte)
Rezolvarea ecuației
Ecuația devine:
7 x + 12 = x ⟺ 7 x − x = − 12 ⟺ 6 x = − 12 ⟺ x = − 2 7x + 12 = x \iff 7x - x = -12 \iff 6x = -12 \iff x = -2 7 x + 12 = x ⟺ 7 x − x = − 12 ⟺ 6 x = − 12 ⟺ x = − 2 (2 puncte)
c) Ecuație cu exponențiale (5p)
Determinați numărul real x x x 2 x ∘ 4 = 2 x + 4 2^x \circ 4 = 2^{x+4} 2 x ∘ 4 = 2 x + 4
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Exprimarea membrului stâng
Aplicăm legea de compoziție pentru 2 x 2^x 2 x 4 4 4
2 x ∘ 4 = 2 x ⋅ 4 + 4 ( 2 x + 4 ) = 4 ⋅ 2 x + 4 ⋅ 2 x + 16 = 8 ⋅ 2 x + 16 2^x \circ 4 = 2^x \cdot 4 + 4(2^x + 4) = 4 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x + 16 = 8 \cdot 2^x + 16 2 x ∘ 4 = 2 x ⋅ 4 + 4 ( 2 x + 4 ) = 4 ⋅ 2 x + 4 ⋅ 2 x + 16 = 8 ⋅ 2 x + 16 Observăm că 8 = 2 3 8 = 2^3 8 = 2 3 8 ⋅ 2 x = 2 x + 3 8 \cdot 2^x = 2^{x+3} 8 ⋅ 2 x = 2 x + 3
2 x + 3 + 16 2^{x+3} + 16 2 x + 3 + 16 (2 puncte)
Rezolvarea ecuației exponențiale
Ecuația este:
2 x + 3 + 16 = 2 x + 4 2^{x+3} + 16 = 2^{x+4} 2 x + 3 + 16 = 2 x + 4 Scriem 2 x + 4 = 2 ⋅ 2 x + 3 2^{x+4} = 2 \cdot 2^{x+3} 2 x + 4 = 2 ⋅ 2 x + 3
2 ⋅ 2 x + 3 − 2 x + 3 = 16 ⟺ 2 x + 3 = 16 2 \cdot 2^{x+3} - 2^{x+3} = 16 \iff 2^{x+3} = 16 2 ⋅ 2 x + 3 − 2 x + 3 = 16 ⟺ 2 x + 3 = 16 Deoarece 16 = 2 4 16 = 2^4 16 = 2 4
x + 3 = 4 ⟺ x = 1 x + 3 = 4 \iff x = 1 x + 3 = 4 ⟺ x = 1 (3 puncte)
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial (5p)
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 1 x 2 + 4 x + 5 f(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 5} f ( x ) = x 2 + 4 x + 5 1
a) Calculul derivatei (5p)
Arătați că f ′ ( x ) = − 2 ( x + 2 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 f'(x) = \frac{-2(x + 2)}{(x^2 + 4x + 5)^2} f ′ ( x ) = ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 − 2 ( x + 2 ) x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Aplicarea formulei de derivare
Folosind formula ( 1 u ) ′ = − u ′ u 2 \left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2} ( u 1 ) ′ = − u 2 u ′
f ′ ( x ) = − ( x 2 + 4 x + 5 ) ′ ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 = − 2 x + 4 ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 f'(x) = -\frac{(x^2 + 4x + 5)'}{(x^2 + 4x + 5)^2} = -\frac{2x + 4}{(x^2 + 4x + 5)^2} f ′ ( x ) = − ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 ( x 2 + 4 x + 5 ) ′ = − ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 2 x + 4 (2 puncte)
Factorizarea numărătorului
Dând factor comun pe − 2 -2 − 2
f ′ ( x ) = − 2 ( x + 2 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 , ∀ x ∈ R f'(x) = \frac{-2(x + 2)}{(x^2 + 4x + 5)^2}, \quad \forall x \in \mathbb{R} f ′ ( x ) = ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 − 2 ( x + 2 ) , ∀ x ∈ R (3 puncte)
b) Calculul limitei la + ∞ +\infty + ∞
Arătați că lim x → + ∞ ( x 2 − 1 ) ⋅ f ( x ) = 1 \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 1) \cdot f(x) = 1 lim x → + ∞ ( x 2 − 1 ) ⋅ f ( x ) = 1
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Formarea funcției raționale
( x 2 − 1 ) ⋅ f ( x ) = x 2 − 1 x 2 + 4 x + 5 (x^2 - 1) \cdot f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 5} ( x 2 − 1 ) ⋅ f ( x ) = x 2 + 4 x + 5 x 2 − 1 Limita devine:
lim x → + ∞ x 2 − 1 x 2 + 4 x + 5 = lim x → + ∞ x 2 ( 1 − 1 x 2 ) x 2 ( 1 + 4 x + 5 x 2 ) \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}\right)} x → + ∞ lim x 2 + 4 x + 5 x 2 − 1 = x → + ∞ lim x 2 ( 1 + x 4 + x 2 5 ) x 2 ( 1 − x 2 1 ) (3 puncte)
Calculul limitei
Simplificând prin x 2 x^2 x 2
= lim x → + ∞ 1 − 1 x 2 1 + 4 x + 5 x 2 = 1 − 0 1 + 0 + 0 = 1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0 + 0} = 1 = x → + ∞ lim 1 + x 4 + x 2 5 1 − x 2 1 = 1 + 0 + 0 1 − 0 = 1 (2 puncte)
c) Demonstrarea inegalității (5p)
Demonstrați că 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 5f(x) + f(-x) \le 2 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 x ∈ [ 0 , + ∞ ) x \in [0, +\infty) x ∈ [ 0 , + ∞ )
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Studiul monotoniei funcției f f f
Ecuația f ′ ( x ) = 0 ⟺ x = − 2 f'(x) = 0 \iff x = -2 f ′ ( x ) = 0 ⟺ x = − 2
Pentru x ∈ ( − ∞ , − 2 ] x \in (-\infty, -2] x ∈ ( − ∞ , − 2 ] x + 2 ≤ 0 ⟹ f ′ ( x ) ≥ 0 x + 2 \le 0 \implies f'(x) \ge 0 x + 2 ≤ 0 ⟹ f ′ ( x ) ≥ 0 f f f ( − ∞ , − 2 ] (-\infty, -2] ( − ∞ , − 2 ]
Pentru x ∈ [ − 2 , + ∞ ) x \in [-2, +\infty) x ∈ [ − 2 , + ∞ ) x + 2 ≥ 0 ⟹ f ′ ( x ) ≤ 0 x + 2 \ge 0 \implies f'(x) \le 0 x + 2 ≥ 0 ⟹ f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ − 2 , + ∞ ) [-2, +\infty) [ − 2 , + ∞ )
(2 puncte)
Evaluarea pe intervalul [ 0 , + ∞ ) [0, +\infty) [ 0 , + ∞ )
Pentru x ∈ [ 0 , + ∞ ) x \in [0, +\infty) x ∈ [ 0 , + ∞ ) f f f
f ( x ) ≤ f ( 0 ) = 1 0 2 + 4 ⋅ 0 + 5 = 1 5 f(x) \le f(0) = \frac{1}{0^2 + 4 \cdot 0 + 5} = \frac{1}{5} f ( x ) ≤ f ( 0 ) = 0 2 + 4 ⋅ 0 + 5 1 = 5 1 Dacă x ∈ [ 0 , + ∞ ) x \in [0, +\infty) x ∈ [ 0 , + ∞ ) − x ∈ ( − ∞ , 0 ] -x \in (-\infty, 0] − x ∈ ( − ∞ , 0 ] f f f R \mathbb{R} R x = − 2 x = -2 x = − 2
f ( − 2 ) = 1 ( − 2 ) 2 + 4 ( − 2 ) + 5 = 1 4 − 8 + 5 = 1 1 = 1 f(-2) = \frac{1}{(-2)^2 + 4(-2) + 5} = \frac{1}{4 - 8 + 5} = \frac{1}{1} = 1 f ( − 2 ) = ( − 2 ) 2 + 4 ( − 2 ) + 5 1 = 4 − 8 + 5 1 = 1 1 = 1 Prin urmare, f ( − x ) ≤ f ( − 2 ) = 1 f(-x) \le f(-2) = 1 f ( − x ) ≤ f ( − 2 ) = 1 x ∈ [ 0 , + ∞ ) x \in [0, +\infty) x ∈ [ 0 , + ∞ )
Însumând:
5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 5 ⋅ 1 5 + 1 = 1 + 1 = 2 5f(x) + f(-x) \le 5 \cdot \frac{1}{5} + 1 = 1 + 1 = 2 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 5 ⋅ 5 1 + 1 = 1 + 1 = 2 pentru orice x ∈ [ 0 , + ∞ ) x \in [0, +\infty) x ∈ [ 0 , + ∞ )
(3 puncte)
2. Analiză Matematică - Calcul Integral (5p)
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 1 f(x) = 5x^2 + 2x + 1 f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 1
a) Calcul integrală simplă (5p)
Arătați că:
∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = 8 3 \int_0^1 (f(x) - 2x) \, dx = \frac{8}{3} ∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = 3 8
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Simplificarea integrandului și găsirea primitivei
f ( x ) − 2 x = 5 x 2 + 2 x + 1 − 2 x = 5 x 2 + 1 f(x) - 2x = 5x^2 + 2x + 1 - 2x = 5x^2 + 1 f ( x ) − 2 x = 5 x 2 + 2 x + 1 − 2 x = 5 x 2 + 1 Integrala devine:
∫ 0 1 ( 5 x 2 + 1 ) d x = [ 5 x 3 3 + x ] 0 1 \int_0^1 (5x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{5x^3}{3} + x \right]_0^1 ∫ 0 1 ( 5 x 2 + 1 ) d x = [ 3 5 x 3 + x ] 0 1 (3 puncte)
Calculul numeric
= ( 5 ⋅ 1 3 3 + 1 ) − 0 = 5 3 + 1 = 8 3 = \left( \frac{5 \cdot 1^3}{3} + 1 \right) - 0 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3} = ( 3 5 ⋅ 1 3 + 1 ) − 0 = 3 5 + 1 = 3 8 (2 puncte)
b) Calcul integrală rațională (5p)
Arătați că:
∫ 0 2 1 f ( x ) − 5 x 2 d x = ln 5 2 \int_0^2 \frac{1}{f(x) - 5x^2} \, dx = \frac{\ln 5}{2} ∫ 0 2 f ( x ) − 5 x 2 1 d x = 2 ln 5
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Determinarea numitorului și a primitivei
f ( x ) − 5 x 2 = 5 x 2 + 2 x + 1 − 5 x 2 = 2 x + 1 f(x) - 5x^2 = 5x^2 + 2x + 1 - 5x^2 = 2x + 1 f ( x ) − 5 x 2 = 5 x 2 + 2 x + 1 − 5 x 2 = 2 x + 1 Integrala devine:
∫ 0 2 1 2 x + 1 d x = 1 2 ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) ′ 2 x + 1 d x = [ 1 2 ln ( 2 x + 1 ) ] 0 2 \int_0^2 \frac{1}{2x + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 \frac{(2x + 1)'}{2x + 1} \, dx = \left[ \frac{1}{2} \ln(2x + 1) \right]_0^2 ∫ 0 2 2 x + 1 1 d x = 2 1 ∫ 0 2 2 x + 1 ( 2 x + 1 ) ′ d x = [ 2 1 ln ( 2 x + 1 ) ] 0 2 (3 puncte)
Evaluarea limitelor de integrare
= 1 2 ( ln ( 2 ⋅ 2 + 1 ) − ln ( 2 ⋅ 0 + 1 ) ) = 1 2 ( ln 5 − ln 1 ) = ln 5 2 = \frac{1}{2} (\ln(2 \cdot 2 + 1) - \ln(2 \cdot 0 + 1)) = \frac{1}{2} (\ln 5 - \ln 1) = \frac{\ln 5}{2} = 2 1 ( ln ( 2 ⋅ 2 + 1 ) − ln ( 2 ⋅ 0 + 1 )) = 2 1 ( ln 5 − ln 1 ) = 2 ln 5 (2 puncte)
c) Determinarea primitivei cu condiție inițială (5p)
Determinați primitiva G : ( 0 , + ∞ ) → R G: (0, +\infty) \to \mathbb{R} G : ( 0 , + ∞ ) → R g : ( 0 , + ∞ ) → R g: (0, +\infty) \to \mathbb{R} g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = f ( x ) − 2 x x g(x) = \frac{f(x) - 2x}{\sqrt{x}} g ( x ) = x f ( x ) − 2 x G ( 1 ) = 5 G(1) = 5 G ( 1 ) = 5
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Barem și Etape de Calcul:
Exprimarea funcției g g g
g ( x ) = 5 x 2 + 1 x = 5 x 2 x + 1 x = 5 x x + 1 x = 5 x 3 / 2 + x − 1 / 2 g(x) = \frac{5x^2 + 1}{\sqrt{x}} = \frac{5x^2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 5x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 5x^{3/2} + x^{-1/2} g ( x ) = x 5 x 2 + 1 = x 5 x 2 + x 1 = 5 x x + x 1 = 5 x 3/2 + x − 1/2 Calculăm integrala nedefinită:
∫ g ( x ) d x = 5 ∫ x 3 / 2 d x + ∫ x − 1 / 2 d x = 5 ⋅ x 5 / 2 5 / 2 + x 1 / 2 1 / 2 + c \int g(x) \, dx = 5 \int x^{3/2} \, dx + \int x^{-1/2} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + c ∫ g ( x ) d x = 5 ∫ x 3/2 d x + ∫ x − 1/2 d x = 5 ⋅ 5/2 x 5/2 + 1/2 x 1/2 + c = 2 x 5 / 2 + 2 x 1 / 2 + c = 2 x 2 x + 2 x + c = 2x^{5/2} + 2x^{1/2} + c = 2x^2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + c = 2 x 5/2 + 2 x 1/2 + c = 2 x 2 x + 2 x + c unde c ∈ R c \in \mathbb{R} c ∈ R
(3 puncte)
Determinarea constantei c c c
Din condiția G ( 1 ) = 5 G(1) = 5 G ( 1 ) = 5
G ( 1 ) = 2 ⋅ 1 2 1 + 2 1 + c = 2 + 2 + c = 4 + c = 5 ⟹ c = 1 G(1) = 2 \cdot 1^2 \sqrt{1} + 2\sqrt{1} + c = 2 + 2 + c = 4 + c = 5 \implies c = 1 G ( 1 ) = 2 ⋅ 1 2 1 + 2 1 + c = 2 + 2 + c = 4 + c = 5 ⟹ c = 1 Așadar, primitiva căutată este:
G ( x ) = 2 x 2 x + 2 x + 1 , x ∈ ( 0 , + ∞ ) G(x) = 2x^2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 1, \quad x \in (0, +\infty) G ( x ) = 2 x 2 x + 2 x + 1 , x ∈ ( 0 , + ∞ ) (2 puncte)