Pasul 1: Efectuarea scăderii din paranteză

Calculăm diferența din paranteză:

Expresia devine:

(2 puncte)

Pasul 2: Efectuarea înmulțirii și a adunării

Efectuăm operațiile în ordinea priorității:

Egalitatea este demonstrată.

(3 puncte)

Pasul 1: Exprimarea valorii funcției $f(m)$

Înlocuim $x = m$ în legea de corespondență a funcției $f$:

(2 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

Egalăm valoarea obținută cu $10$:

(3 puncte)

Pasul 1: Condiția de existență și ridicarea la pătrat

Condiția de existență a radicalului este:

Ridicăm ambele părți ale ecuației la pătrat:

(3 puncte)

Pasul 2: Aflarea soluției și verificarea

Rezolvăm ecuația liniară obținută:

Verificăm dacă soluția respectă condiția: $5 \le \frac{16}{3} = 5{,}33...$, ceea ce este adevărat (sau prin verificare directă: $\sqrt{16 - 3 \cdot 5} = \sqrt{1} = 1$).

Deci soluția este $x = 5$, care convine.

(2 puncte)

Pasul 1: Notarea prețului inițial și formularea ecuației

Fie $x$ prețul obiectului înainte de scumpire ($x > 0$).

Scumpirea de $60\%$ se adaugă la prețul inițial:

(3 puncte)

Pasul 2: Determinarea valorii lui $x$

Împărțim prin $1{,}6$:

Prețul obiectului înainte de scumpire a fost de $200$ de lei.

(2 puncte)

Pasul 1: Determinarea abscisei $a$

Coordonatele mijlocului unui segment sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor:

Înlocuim valorile $x_B = 3$ și $x_A = 3$:

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea ordonatei $b$

Pentru ordonată, aplicăm aceeași formulă:

Înlocuim valorile $y_B = 2$ și $y_A = 0$:

Așadar, $a = 3$ și $b = 4$.

(3 puncte)

Pasul 1: Identificarea valorilor trigonometrice remarcabile

Scriem valorile funcțiilor trigonometrice din tabelele de valori uzuale:

(3 puncte)

Pasul 2: Înlocuirea și calculul algebric

Înlocuim aceste valori în membrul stâng al egalității:

Efectuăm calculele:

Egalitatea este verificată.

(2 puncte)

a) Calculul determinantului $\det(A(5))$

Pentru $x = 5$, matricea $A(5)$ este:

Calculăm determinantul matricei:

(3 puncte)

Finalizăm calculul numeric:

(2 puncte)

b) Verificarea egalității $2A(-1) + A(5) = 3A(1)$

Determinăm matricele $A(-1)$ și $A(1)$:

Calculăm membrul stâng:

Adunăm matricea $A(5) = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}$:

(3 puncte)

Calculăm membrul drept:

Deoarece ambele părți conduc la aceeași matrice $\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -3 & -6 \end{pmatrix}$, egalitatea este demonstrată:

(2 puncte)

c) Determinarea valorilor lui $x$ pentru care $\det(A(x) \cdot A(-x) - x^2 I_2) \ge 0$

Scriem matricea $A(-x)$:

Efectuăm produsul $A(x) \cdot A(-x)$:

Scădem matricea $x^2 I_2 = \begin{pmatrix} x^2 & 0 \\ 0 & x^2 \end{pmatrix}$:

Calculăm determinantul:

(3 puncte)

Inegalitatea din enunț devine:

Soluția acestei inecuații de gradul al doilea este intervalul:

(2 puncte)

a) Demonstrarea că $f(1) = 0$

Calculăm valoarea polinomului în punctul $1$, înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$:

(3 puncte)

Efectuăm reducerile de termeni:

Egalitatea este adevărată pentru orice număr real $m$.

(2 puncte)

b) Verificarea rădăcinii $3$ pentru $m = -3$

Pentru $m = -3$, scriem forma polinomului $f$:

Calculăm valoarea $f(3)$:

(3 puncte)

Efectuăm calculele:

Cum $f(3) = 0$, rezultă că numărul $3$ este rădăcină a polinomului $f$.

(2 puncte)

c) Determinarea parametrului real $m$

Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul $f = X^3 + mX^2 - X - m$:

(3 puncte)

Înlocuim aceste expresii în relația dată în enunț:

Rezolvăm ecuația:

(2 puncte)

a) Calculul derivatei $f'(x)$

Funcția $f$ este derivabilă pe $(0, +\infty)$ ca sumă de funcții elementare. Calculăm derivata:

(3 puncte)

Aducem la numitor comun:

pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

(2 puncte)

b) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x = 2$

Calculăm valoarea funcției și a derivatei în punctul $x_0 = 2$:

(2 puncte)

Ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0 = 2$ este:

Înlocuim valorile obținute:

(3 puncte)

c) Demonstrarea dublei inegalități pe intervalul $\left[ \frac{1}{4}, 4 \right]$

Studiem semnul derivatei $f'(x) = \frac{4(x^3 - 1)}{x^2}$ pe domeniul $(0, +\infty)$:

• Deoarece $x > 0$, numitorul $x^2$ este strict pozitiv, deci semnul derivatei este dat de factorul $x^3 - 1$.
• $f'(x) = 0 \iff x^3 - 1 = 0 \iff x = 1$.
• Pentru $x \in \left[ \frac{1}{4}, 1 \right]$, avem $x \le 1 \implies x^3 - 1 \le 0 \implies f'(x) \le 0$, deci funcția $f$ este strict descrescătoare pe acest interval.
• Pentru $x \in [1, 4]$, avem $x \ge 1 \implies x^3 - 1 \ge 0 \implies f'(x) \ge 0$, deci funcția $f$ este strict crescătoare pe acest interval.

(2 puncte)

Punctul $x = 1$ este punct de minim global pe intervalul $\left[ \frac{1}{4}, 4 \right]$. Calculăm valoarea minimă:

Valorile la capetele intervalului sunt:

Maximul funcției pe intervalul $\left[ \frac{1}{4}, 4 \right]$ este $\max\left( f\left( \frac{1}{4} \right), f(4) \right) = \max\left( \frac{121}{8}, 32 \right) = 32$.

Prin urmare, pentru orice $x \in \left[ \frac{1}{4}, 4 \right]$ avem:

Adunând $1$ în toți termenii inegalității, obținem:

pentru orice $x \in \left[ \frac{1}{4}, 4 \right]$.

(3 puncte)

a) Calculul integralei $\int_1^3 (f(x) - 2\ln x)\, dx$

Exprimăm diferența $f(x) - 2\ln x$:

Integrala devine:

(3 puncte)

Calculăm valoarea folosind formula Leibniz-Newton:

(2 puncte)

b) Calculul integralei $\int_1^e \frac{f(x) - x + 1}{x}\, dx$

Exprimăm numărătorul fracției:

Integrala se rescrie sub forma:

(3 puncte)

Folosind formula $\int u(x) \cdot u'(x)\, dx = \frac{u^2(x)}{2} + \mathcal{C}$ (sau prin substituția $t = \ln x$):

(2 puncte)

c) Determinarea numărului real $a$

Determinăm mai întâi expresia funcției $g(x)$:

Pentru $x \in [1, 3]$, avem $x \ge 1$, deci $\ln x \ge 0$, ceea ce implică $g(x) \ge 0$. Aria $\mathcal{A}$ a suprafeței plane delimitate este dată de:

Calculăm prima integrală:

Pentru a doua integrală, integrăm prin părți observând că $6x = (3x^2)'$:

(3 puncte)

Adunăm cele două rezultate pentru a obține aria totală:

Conform enunțului, aria este egală cu $a + 27\ln 3$:

(2 puncte)