Barem și Etape de Calcul:

1. Aflarea rației progresiei aritmetice

   Într-o progresie aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$, rația $r$ este dată de diferența a doi termeni consecutivi:

   $$r = a_2 - a_1 = 9 - 3 = 6$$

   (3 puncte)

2. Calculul termenului $a_3$

   Folosim relația de recurență $a_3 = a_2 + r$:

   $$a_3 = 9 + 6 = 15$$

   (sau formula termenului general $a_3 = a_1 + 2r = 3 + 2 \cdot 6 = 15$).

   (2 puncte)

💡 Explicație Didactică:

Termenii consecutivi cresc cu rația $r = 6$:

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul valorilor funcției în fiecare punct

   Calculăm valorile $f(3)$, $f(2)$ și $f(0)$:

   $$f(3) = 3 \cdot 3 - 5 = 9 - 5 = 4$$ $$f(2) = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$$ $$f(0) = 3 \cdot 0 - 5 = 0 - 5 = -5$$

   (3 puncte)

2. Efectuarea sumei valorilor

   Însumăm rezultatele obținute:

   $$f(3) + f(2) + f(0) = 4 + 1 + (-5) = 5 - 5 = 0$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiția de existență a radicalului și ridicarea la pătrat

   Pentru existența radicalului de ordin par, cantitatea de sub radical trebuie să fie nenegativă:

   $$9x - 5 \ge 0 \implies 9x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{9}$$

   Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat:

   $$(\sqrt{9x - 5})^2 = 2^2 \implies 9x - 5 = 4$$

   (3 puncte)

2. Aflarea soluției și verificarea

   Rezolvăm ecuația de gradul întâi:

   $$9x = 4 + 5 \implies 9x = 9 \implies x = 1$$

   Deoarece $1 \ge \frac{5}{9}$ (sau prin verificare directă: $\sqrt{9 \cdot 1 - 5} = \sqrt{4} = 2$), soluția este validă:

   $$x = 1$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea relației dintre prețul inițial și prețul final

   Notăm cu $x$ prețul obiectului înainte de ieftinire ($x > 0$).
   O ieftinire cu $30\%$ înseamnă o scădere cu $\frac{30}{100}x$.
   Prețul final este:

   $$x - \frac{30}{100}x = 56 \iff \frac{70}{100}x = 56 \iff \frac{7}{10}x = 56$$

   (3 puncte)

2. Calculul prețului inițial

   Aflăm valoarea necunoscutei $x$:

   $$x = \frac{56 \cdot 10}{7} = 8 \cdot 10 = 80 \text{ lei}$$

   Prețul obiectului înainte de ieftinire a fost de $80$ de lei.

   (2 puncte)

💡 Verificare Rapidă:

$30\%$ din $80$ de lei este $\frac{30}{100} \cdot 80 = 24$ de lei.
Prețul după ieftinire este $80 - 24 = 56$ de lei.

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul lungimii segmentului $AB$

   Aplicăm formula distanței dintre două puncte $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$:

   $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(5 - 0)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

   (2 puncte)

2. Calculul lungimii segmentului $AC$ și concluzia

   Calculăm distanța dintre punctele $A(0, 1)$ și $C(7, 2)$:

   $$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(7 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

   Deoarece $AB = 5\sqrt{2}$ și $AC = 5\sqrt{2}$, rezultă că:

   $$AB = AC$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Precizarea valorilor trigonometrice uzuale

   Valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile din tabelul trigonometric sunt:

   $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   (3 puncte)

2. Evaluarea expresiei

   Înlocuim valorile în expresia din enunț:

   $$\sin 30^\circ + 3\cos 60^\circ = \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

   Calculăm pătratul sinusului de $45^\circ$:

   $$\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

   Efectuăm produsul final:

   $$(\sin 30^\circ + 3\cos 60^\circ) \cdot \sin^2 45^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

   (2 puncte)

a) Calculul determinantului matricei $A$

Folosim formula determinantului de ordinul 2:

(3 puncte)

Calculăm rezultatul:

(2 puncte)

b) Verificarea egalității $A + 3I_2 = 2B(1)$

Calculăm membrul stâng:

(3 puncte)

Pentru $x = 1$, matricea $B(1)$ este:

Calculăm membrul drept:

Cum ambii membri sunt egali cu $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$, deducem că $A + 3I_2 = 2B(1)$.

(2 puncte)

c) Determinarea numerelor reale $x$

Construim matricea $B(2x)$:

Calculăm produsul matricelor $B(x)$ și $A$:

Efectuăm diferența $B(2x) - B(x) \cdot A$:

Calculăm determinantul acestei matrice:

pentru orice număr real $x$.

(3 puncte)

Ecuația din enunț devine:

De unde obținem soluțiile reale:

(2 puncte)

a) Calculul direct al compoziției $0 * 1$

Înlocuim $x = 0$ și $y = 1$ în legea de compoziție:

(3 puncte)

Efectuăm calculele:

(2 puncte)

b) Rezolvarea ecuației $x * 2 = 2x$

Exprimăm $x * 2$ conform definiției legii:

pentru orice număr real $x$.

(3 puncte)

Egalăm expresia cu $2x$:

(2 puncte)

c) Aflarea perechilor $(m, n)$ de numere naturale

Observăm că legea de compoziție se poate restrânge prin factorizare:

Pentru $x = 8 + m$ și $y = 8 + n$, avem:

Prin urmare:

pentru orice numere naturale $m$ și $n$.

(2 puncte)

Ecuația din enunț $(8 + m) * (8 + n) = 2$ devine:

Cum $m, n \in \mathbb{N}$ și $m < n$, căutăm divizorii numărului natural $58$: Divizorii lui $58$ sunt $\{1, 2, 29, 58\}$.
Descompunerea în produs de doi factori $m < n$ dă următoarele posibilități:

1. $m = 1 \implies n = 58$, obținând perechea $(1, 58)$;
2. $m = 2 \implies n = 29$, obținând perechea $(2, 29)$.

Perechile căutate sunt:

(3 puncte)

a) Calculul derivatei funcției $f$

Aplicăm regula de derivare a câtului $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

(3 puncte)

Calculăm derivatele factorilor: $(4x + 7)' = 4$ și $(x + 4)' = 1$:

pentru orice $x \in (-4, +\infty)$.

(2 puncte)

b) Aflarea ecuației asimptotei orizontale

Calculăm limita funcției $f$ la $+\infty$:

Cum $\lim_{x \to +\infty} \frac{7}{x} = 0$ și $\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x} = 0$:

(3 puncte)

Deoarece limita este un număr real finit ($y = 4$), dreapta de ecuație:

este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

(2 puncte)

c) Determinarea numărului $a$

Panta tangentei la graficul funcției $f$ într-un punct $A(a, f(a))$ este dată de valoarea derivatei în acel punct, adică $m = f'(a)$.
Din ipoteză, panta este egală cu $1$:

(2 puncte)

Înlocuim expresia derivatei găsite la punctul a):

Extragem rădăcina pătrată sau rezolvăm ecuația algebrică:

Întrucât $a$ trebuie să aparțină domeniului de definiție $(-4, +\infty)$, verificăm condiția:

• Pentru $a = -7$: $-7 \notin (-4, +\infty)$, deci se respinge;
• Pentru $a = -1$: $-1 \in (-4, +\infty)$, care convine.

Așadar, valoarea căutată este:

(3 puncte)

a) Calculul integralei din $f(x) - \sqrt{x + 3}$

Exprimăm diferența de sub integrală:

Calculăm integrala definită:

(3 puncte)

Aplicăm formula Leibniz-Newton:

(2 puncte)

b) Calculul integralei din $\frac{1}{f(x) - 2x}$

Calculăm numitorul:

Integrala devine:

Observăm că $(\sqrt{x + 3})' = \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}$, așadar o primitivă a funcției $\frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ este $2\sqrt{x + 3}$:

(3 puncte)

Înlocuim limitele de integrare:

(2 puncte)

c) Calculul volumului corpului de rotație

Funcția $g : [0, 6] \to \mathbb{R}$ este:

Formula volumului corpului de rotație obținut prin rotirea graficului funcției $g$ în jurul axei $Ox$ este:

Calculăm pătratul funcției $g(x)$:

Deci:

(2 puncte)

Efectuăm împărțirea algebrică a polinoamelor (sau adunăm și scădem $9$ la numărător):

Integrăm termen cu termen pe intervalul $[0, 6]$:

Calculăm valorile în capetele intervalului:

• Pentru limita superioară $x = 6$: $$\frac{6^2}{2} - 3 \cdot 6 + 9\ln(6 + 3) = \frac{36}{2} - 18 + 9\ln 9 = 18 - 18 + 9\ln(3^2) = 18\ln 3$$
• Pentru limita inferioară $x = 0$: $$\frac{0^2}{2} - 3 \cdot 0 + 9\ln(0 + 3) = 0 - 0 + 9\ln 3 = 9\ln 3$$

Diferența dă:

Înmulțind cu factorul $\pi$, obținem volumul:

(3 puncte)