matematicaTehnologicAnul 2025Sesiunea Iunie (Vară)

Bacalaureat 2025 - Matematică Tehnologic - Sesiunea Iunie (Vară)

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Examenul Național de Bacalaureat 2025

Proba E. c) Matematică M_tehnologic

Sesiunea Iunie (Vară) - Varianta 1

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcule cu Fracții (5p)

Arătați că:

\frac{1}{10} + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = 1

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Efectuarea scăderii din paranteză

Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun $10$ :

\frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}

Înlocuim în expresia inițială:

\frac{1}{10} + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10}

(3 puncte)

Pasul 2: Efectuarea înmulțirii și adunării

Efectuăm înmulțirea și apoi adunarea fracțiilor cu același numitor:

\frac{1}{10} + \frac{9}{10} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1

Egalitatea este demonstrată.

(2 puncte)

2. Funcții de Gradul I (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 6x - 3$ . Determinați numărul real $a$ pentru care:

f(2) = a + f(0)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Calculul valorilor $f(2)$ și $f(0)$

Calculăm valorile funcției în punctele date:

f(2) = 6 \cdot 2 - 3 = 12 - 3 = 9

f(0) = 6 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3

(2 puncte)

Pasul 2: Aflarea numărului real $a$

Înlocuim valorile în relația din enunț:

9 = a + (-3) \implies 9 = a - 3 \implies a = 9 + 3 = 12

(3 puncte)

3. Ecuație Exponențială (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

5^{2x} = 5^{3 - x}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Egalarea exponenților

Deoarece baza este $5 > 0$ , $5 \neq 1$ , funcția exponențială este strict injectivă. Egalăm exponenții:

2x = 3 - x

(3 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

Trecem termenul cu $x$ în membrul stâng:

2x + x = 3 \implies 3x = 3 \implies x = 1

(2 puncte)

4. Probabilități (5p)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , acesta să verifice inegalitatea:

6n > 25

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Determinarea numărului de cazuri posibile

Mulțimea $A$ are $10$ elemente:

\text{număr cazuri posibile} = 10

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea cazurilor favorabile și calculul probabilității

Rezolvăm inegalitatea pentru $n \in A$ :

6n > 25 \iff n > \frac{25}{6} = 4{,}16...

Numerele din mulțimea $A$ care respectă inegalitatea sunt:

n \in \{5, 6, 7, 8, 9\}

Avem $5$ cazuri favorabile. Calculăm probabilitatea:

p = \frac{\text{număr cazuri favorabile}}{\text{număr cazuri posibile}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

(3 puncte)

5. Geometrie Analitică - Distanța dintre Două Puncte (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2, 0)$ , $B(2, 1)$ și $C(6, 4)$ . Determinați numărul real $a$ pentru care:

BC = a \cdot AB

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Calculul lungimii segmentului $BC$

Folosim formula distanței dintre două puncte:

BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

(2 puncte)

Pasul 2: Calculul lungimii segmentului $AB$ și aflarea numărului $a$

Calculăm lungimea segmentului $AB$ :

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1

Înlocuim valorile în egalitatea $BC = a \cdot AB$ :

5 = a \cdot 1 \implies a = 5

(3 puncte)

6. Geometrie Plană - Triunghi Dreptunghic (5p)

Se consideră triunghiul $MNP$ , dreptunghic în $M$ , cu $MN = 4 \cdot MP$ și $MN = 8$ . Arătați că aria triunghiului $MNP$ este egală cu $8$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei $MP$

Din relația dată în ipoteză:

MN = 4 \cdot MP \implies 8 = 4 \cdot MP \implies MP = \frac{8}{4} = 2

(2 puncte)

Pasul 2: Calculul ariei triunghiului dreptunghic

Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor sale:

\mathcal{A}_{\triangle MNP} = \frac{MN \cdot MP}{2} = \frac{8 \cdot 2}{2} = \frac{16}{2} = 8

Egalitatea este demonstrată.

(3 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (15p)

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ și $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Arătați că $\det A = 1$ .

b) Determinați numărul real $x$ pentru care $3A - 5I_2 = xB$ .

c) Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $\det(A \cdot (B - A) + x I_2) \le 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul determinantului matricei $A$

Scriem formula determinantului de ordin $2$ :

\det A = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 2

(3 puncte)

Efectuăm calculul:

\det A = 5 - 4 = 1

(2 puncte)

b) Determinarea numărului real $x$

Calculăm matricele $3A$ și $5I_2$ :

3A = 3 \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}

5I_2 = 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

Efectuăm scăderea:

3A - 5I_2 = \begin{pmatrix} 15 - 5 & 6 - 0 \\ 6 - 0 & 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}

(3 puncte)

Observăm că factorul comun al elementelor este $2$ :

\begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = 2B

Egalitatea devine:

2B = xB \implies x = 2

(2 puncte)

c) Rezolvarea inecuației cu determinanți

Calculăm mai întâi diferența $B - A$ :

B - A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 5 & 3 - 2 \\ 3 - 2 & -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

Efectuăm produsul $A \cdot (B - A)$ :

A \cdot (B - A) = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 5 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Adunăm matricea $x I_2 = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}$ :

A \cdot (B - A) + x I_2 = \begin{pmatrix} 2 + x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}

Calculăm determinantul:

\det(A \cdot (B - A) + x I_2) = \begin{vmatrix} 2 + x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = (2 + x)x - 1 \cdot 1 = x^2 + 2x - 1

(3 puncte)

Scriem inegalitatea:

x^2 + 2x - 1 \le 2 \iff x^2 + 2x - 3 \le 0

Găsim rădăcinile ecuației $x^2 + 2x - 3 = 0$ :

\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16

x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1

Trinomul de gradul al doilea are semnul contrar coeficientului lui $x^2$ (negativ) între rădăcini. Așadar:

x \in [-3, 1]

(2 puncte)

2. Polinoame (15p)

Se consideră polinomul $f = X^3 - 3X^2 + X + m$ , unde $m$ este număr real.

a) Pentru $m = 1$ , arătați că $f(1) = 0$ .

b) Determinați numărul real $m$ pentru care $2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 1 + x_1 x_2 x_3$ , unde $x_1$ , $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

c) Știind că restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X - 2$ este $-5$ , arătați că $f$ este divizibil cu polinomul $X^2 + 1$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Verificarea valorii $f(1)$ pentru $m = 1$

Pentru $m = 1$ , polinomul este $f = X^3 - 3X^2 + X + 1$ .

Calculăm $f(1)$ înlocuind $X$ cu $1$ :

f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 1 + 1

(3 puncte)

Efectuăm calculele:

f(1) = 1 - 3 + 1 + 1 = 0

(2 puncte)

b) Determinarea numărului real $m$

Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul $f = X^3 - 3X^2 + X + m$ :

\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{-3}{1} = 3 \\ x_1 x_2 x_3 = -\frac{m}{1} = -m \end{cases}

Relația dată se rescrie dând factor comun pe $2$ :

2(x_1 + x_2 + x_3) = 1 + x_1 x_2 x_3

Înlocuim valorile din relațiile lui Viète:

2 \cdot 3 = 1 + (-m) \implies 6 = 1 - m

(3 puncte)

Aflăm valoarea parametrului $m$ :

m = 1 - 6 \implies m = -5

(2 puncte)

c) Divizibilitatea polinomului $f$ cu $X^2 + 1$

Conform teoremei restului, restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul de gradul întâi $X - 2$ este valoarea numerică $f(2)$ :

f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 + m = 8 - 3 \cdot 4 + 2 + m = 8 - 12 + 2 + m = m - 2

Deoarece restul este egal cu $-5$ , avem:

m - 2 = -5 \implies m = -3

(3 puncte)

Pentru $m = -3$ , polinomul $f$ devine:

f = X^3 - 3X^2 + X - 3

Descompunem polinomul în factori prin grupare de termeni:

f = X^2(X - 3) + 1(X - 3) = (X - 3)(X^2 + 1)

Cum $f$ se scrie ca produsul dintre polinomul $(X - 3)$ și $(X^2 + 1)$ , rezultă că polinomul $f$ este divizibil cu $X^2 + 1$ .

(2 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Funcții Derivabile (15p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \frac{x - 2}{e^x}$ .

a) Arătați că $f'(x) = \frac{3 - x}{e^x}$ , $x \in \mathbb{R}$ .

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .

c) Demonstrați că $-\frac{1}{e} \le \frac{x - 2}{e^x} \le \frac{1}{e^3}$ , pentru orice $x \in [1, 4]$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul derivatei $f'(x)$

Funcția $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ ca raport de funcții derivabile. Aplicăm formula de derivare a câtului $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ :

f'(x) = \frac{(x - 2)' \cdot e^x - (x - 2) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{1 \cdot e^x - (x - 2)e^x}{(e^x)^2}

(3 puncte)

Dăm factor comun pe $e^x$ la numărător și simplificăm:

f'(x) = \frac{e^x(1 - (x - 2))}{(e^x)^2} = \frac{1 - x + 2}{e^x} = \frac{3 - x}{e^x}

pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

(2 puncte)

b) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x = 0$

Calculăm valoarea funcției și valoarea derivatei în punctul $x_0 = 0$ :

f(0) = \frac{0 - 2}{e^0} = \frac{-2}{1} = -2

f'(0) = \frac{3 - 0}{e^0} = \frac{3}{1} = 3

(2 puncte)

Ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0 = 0$ este:

y - f(0) = f'(0)(x - 0)

Înlocuim valorile:

y - (-2) = 3(x - 0) \implies y + 2 = 3x \implies y = 3x - 2

(3 puncte)

c) Demonstrarea dublei inegalități pe intervalul $[1, 4]$

Aflăm punctele critice rezolvând ecuația $f'(x) = 0$ :

\frac{3 - x}{e^x} = 0 \iff 3 - x = 0 \iff x = 3 \in [1, 4]

Deoarece $e^x > 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$ , semnul derivatei depinde exclusiv de factorul $3 - x$ :

Pentru orice $x \in [1, 3]$ , avem $3 - x \ge 0 \implies f'(x) \ge 0$ , deci funcția $f$ este crescătoare pe $[1, 3]$ .
Pentru orice $x \in [3, 4]$ , avem $3 - x \le 0 \implies f'(x) \le 0$ , deci funcția $f$ este descrescătoare pe $[3, 4]$ .

(2 puncte)

Punctul $x = 3$ este punct de maxim global pe intervalul $[1, 4]$ . Valoarea maximă este:

f(3) = \frac{3 - 2}{e^3} = \frac{1}{e^3}

Calculăm valorile la capetele intervalului:

f(1) = \frac{1 - 2}{e^1} = -\frac{1}{e}

f(4) = \frac{4 - 2}{e^4} = \frac{2}{e^4}

Deoarece $f(1) = -\frac{1}{e} < 0 < \frac{2}{e^4} = f(4)$ , valoarea minimă a funcției pe $[1, 4]$ este $f(1) = -\frac{1}{e}$ .

Astfel, pentru orice $x \in [1, 4]$ , avem:

f(1) \le f(x) \le f(3) \implies -\frac{1}{e} \le \frac{x - 2}{e^x} \le \frac{1}{e^3}

(3 puncte)

2. Analiză Matematică - Integrale (15p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 + 4x + 8$ .

a) Arătați că $\int_0^1 (f(x) - x^2 - 8)\, dx = 2$ .

b) Arătați că $\int_0^8 \frac{x}{f(x) - 4x}\, dx = \ln 3$ .

c) Determinați $a \in (0, +\infty)$ pentru care $\int_0^a \frac{1}{f(x) - 4}\, dx = \frac{1}{4}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul integralei $\int_0^1 (f(x) - x^2 - 8)\, dx$

Înlocuim $f(x) = x^2 + 4x + 8$ :

f(x) - x^2 - 8 = (x^2 + 4x + 8) - x^2 - 8 = 4x

Integrala devine:

\int_0^1 (f(x) - x^2 - 8)\, dx = \int_0^1 4x\, dx = \left( 2x^2 \right) \Bigg|_0^1

(3 puncte)

Calculăm conform formulei Leibniz-Newton:

2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 0^2 = 2 - 0 = 2

(2 puncte)

b) Calculul integralei $\int_0^8 \frac{x}{f(x) - 4x}\, dx$

Exprimăm numitorul fracției:

f(x) - 4x = (x^2 + 4x + 8) - 4x = x^2 + 8

Integrala devine:

\int_0^8 \frac{x}{x^2 + 8}\, dx = \frac{1}{2} \int_0^8 \frac{2x}{x^2 + 8}\, dx = \frac{1}{2} \int_0^8 \frac{(x^2 + 8)'}{x^2 + 8}\, dx

Integrând, obținem:

\frac{1}{2} \ln(x^2 + 8) \Bigg|_0^8

(3 puncte)

Calculăm valorile la capete:

\frac{1}{2} (\ln(8^2 + 8) - \ln(0^2 + 8)) = \frac{1}{2} (\ln(64 + 8) - \ln 8) = \frac{1}{2} (\ln 72 - \ln 8)

Folosind proprietățile logaritmilor:

\frac{1}{2} \ln\left( \frac{72}{8} \right) = \frac{1}{2} \ln 9 = \frac{1}{2} \ln(3^2) = \frac{1}{2} \cdot 2\ln 3 = \ln 3

(2 puncte)

c) Determinarea valorii lui $a \in (0, +\infty)$

Exprimăm numitorul integralei:

f(x) - 4 = (x^2 + 4x + 8) - 4 = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2

Integrala se scrie:

\int_0^a \frac{1}{f(x) - 4}\, dx = \int_0^a \frac{1}{(x + 2)^2}\, dx = \left( -\frac{1}{x + 2} \right) \Bigg|_0^a

Calculăm valoarea integralei:

-\frac{1}{a + 2} - \left( -\frac{1}{0 + 2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{a + 2}

(3 puncte)

Egalăm rezultatul cu valoarea dată în enunț:

\frac{1}{2} - \frac{1}{a + 2} = \frac{1}{4} \implies \frac{1}{a + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

De aici rezultă:

a + 2 = 4 \implies a = 2

Cum $2 \in (0, +\infty)$ , soluția este $a = 2$ .

(2 puncte)

Examenul Național de Bacalaureat 2025

Proba E. c) Matematică M_tehnologic

Sesiunea Iunie (Vară) - Varianta 1

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcule cu Fracții (5p)

Pasul 1: Efectuarea scăderii din paranteză

Pasul 2: Efectuarea înmulțirii și adunării

2. Funcții de Gradul I (5p)

Pasul 1: Calculul valorilor f(2)f(2)f(2) și f(0)f(0)f(0)

Pasul 2: Aflarea numărului real aaa

3. Ecuație Exponențială (5p)

Pasul 1: Egalarea exponenților

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

4. Probabilități (5p)

Pasul 1: Determinarea numărului de cazuri posibile

Pasul 2: Determinarea cazurilor favorabile și calculul probabilității

5. Geometrie Analitică - Distanța dintre Două Puncte (5p)

Pasul 1: Calculul lungimii segmentului BCBCBC

Pasul 2: Calculul lungimii segmentului ABABAB și aflarea numărului aaa

6. Geometrie Plană - Triunghi Dreptunghic (5p)

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei MPMPMP

Pasul 2: Calculul ariei triunghiului dreptunghic

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (15p)

a) Calculul determinantului matricei AAA

b) Determinarea numărului real xxx

c) Rezolvarea inecuației cu determinanți

2. Polinoame (15p)

a) Verificarea valorii f(1)f(1)f(1) pentru m=1m = 1m=1

b) Determinarea numărului real mmm

c) Divizibilitatea polinomului fff cu X2+1X^2 + 1X2+1

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Funcții Derivabile (15p)

a) Calculul derivatei f′(x)f'(x)f′(x)

b) Ecuația tangentei în punctul de abscisă x=0x = 0x=0

c) Demonstrarea dublei inegalități pe intervalul [1,4][1, 4][1,4]

2. Analiză Matematică - Integrale (15p)

a) Calculul integralei ∫01(f(x)−x2−8) dx\int_0^1 (f(x) - x^2 - 8)\, dx∫01​(f(x)−x2−8)dx

b) Calculul integralei ∫08xf(x)−4x dx\int_0^8 \frac{x}{f(x) - 4x}\, dx∫08​f(x)−4xx​dx

c) Determinarea valorii lui a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty)a∈(0,+∞)

Pasul 1: Calculul valorilor $f(2)$ și $f(0)$

Pasul 2: Aflarea numărului real $a$

Pasul 1: Calculul lungimii segmentului $BC$

Pasul 2: Calculul lungimii segmentului $AB$ și aflarea numărului $a$

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei $MP$

a) Calculul determinantului matricei $A$

b) Determinarea numărului real $x$

a) Verificarea valorii $f(1)$ pentru $m = 1$

b) Determinarea numărului real $m$

c) Divizibilitatea polinomului $f$ cu $X^2 + 1$

a) Calculul derivatei $f'(x)$

b) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x = 0$

c) Demonstrarea dublei inegalități pe intervalul $[1, 4]$

a) Calculul integralei $\int_0^1 (f(x) - x^2 - 8)\, dx$

b) Calculul integralei $\int_0^8 \frac{x}{f(x) - 4x}\, dx$

c) Determinarea valorii lui $a \in (0, +\infty)$