Barem și Etape de Calcul:

1. Aflarea rației progresiei aritmetice

   Într-o progresie aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$, rația $r$ este diferența dintre oricare doi termeni consecutivi:

   $$r = a_2 - a_1 = 10 - 3 = 7$$

   (3 puncte)

2. Calculul termenului $a_3$

   Folosind relația de recurență $a_3 = a_2 + r$:

   $$a_3 = 10 + 7 = 17$$

   (sau aplicând formula termenului general $a_3 = a_1 + 2r = 3 + 2 \cdot 7 = 17$).

   (2 puncte)

💡 Explicație Didactică:

Progresia aritmetică crește pas cu pas cu valoarea constantă a rației $r = 7$:

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul valorilor funcțiilor în punctele date

   Calculăm mai întâi valoarea funcției $g$ în punctul $x = 2$:

   $$g(2) = 2 + 2 = 4$$

   Exprimăm valoarea funcției $f$ în punctul $a$:

   $$f(a) = 3a - 4$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației în necunoscuta $a$

   Înlocuim valorile în relația din enunț $f(a) = a + g(2)$:

   $$3a - 4 = a + 4$$

   Separăm termenii care conțin necunoscuta $a$ în membrul stâng:

   $$3a - a = 4 + 4 \implies 2a = 8 \implies a = 4$$

   (2 puncte)

💡 Verificare Rapidă:

Pentru $a = 4$: $f(4) = 3(4) - 4 = 8$, iar $a + g(2) = 4 + 4 = 8$. Egalitatea se verifică.

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiția de existență a logaritmului și aplicarea definiției

   Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv:

   $$10x - 1 > 0 \implies 10x > 1 \implies x > \frac{1}{10}$$

   Din definiția logaritmului ($\log_b A = c \iff A = b^c$), ecuația devine:

   $$10x - 1 = 3^2 \implies 10x - 1 = 9$$

   (3 puncte)

2. Determinarea soluției și verificarea condiției

   Rezolvăm ecuația de gradul întâi obținută:

   $$10x = 9 + 1 \implies 10x = 10 \implies x = 1$$

   Deoarece $1 > \frac{1}{10}$, soluția aparține domeniului de existență și este validă.

   $$x = 1 \in \left(\frac{1}{10}, +\infty\right)$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea ecuației problemei

   Notăm cu $x$ prețul inițial al produsului (în lei), unde $x > 0$.
   Ieftinirea cu $45\%$ reprezintă $45\% \cdot x = \frac{45}{100}x$.
   Noul preț după ieftinire este:

   $$x - \frac{45}{100}x = 110 \iff \frac{55}{100}x = 110$$

   (3 puncte)

2. Aflarea prețului inițial

   Izolăm necunoscuta $x$:

   $$x = \frac{110 \cdot 100}{55} = \frac{110}{55} \cdot 100 = 2 \cdot 100 = 200 \text{ lei}$$

   Așadar, prețul inițial al produsului a fost de $200$ de lei.

   (2 puncte)

💡 Verificare Rapidă:

Ieftinirea cu $45\%$ din $200$ lei este $0{,}45 \cdot 200 = 90$ lei.
Prețul final este $200 - 90 = 110$ lei, exact valoarea din enunț.

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul lungimii segmentului $AB$

   Folosim formula distanței dintre două puncte:

   $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$$

   (2 puncte)

2. Determinarea coordonatelor punctului $M$ și a lungimii $AM$

   Punctul $M$ fiind mijlocul segmentului $BC$, coordonatele sale sunt mediile aritmetice ale coordonatelor extremităților:

   $$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4, \quad y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \implies M(4, 1)$$

   Calculăm distanța $AM$:

   $$AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

   Deoarece $AB = 5$ și $AM = 5$, deducem că:

   $$AB = AM$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Aflarea lungimii ipotenuzei $BC$

   Triunghiul $ABC$ fiind dreptunghic în $A$ ($m(\angle A) = 90^\circ$), ipotenuza este $BC$. Aplicăm teorema lui Pitagora:

   $$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ $$BC = \sqrt{100} = 10$$

   (2 puncte)

2. Calculul sinusului unghiului $C$

   Conform definiției funcției sinus într-un triunghi dreptunghic (raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză):

   $$\sin C = \frac{AB}{BC}$$

   Înlocuind valorile numerice:

   $$\sin C = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

   (3 puncte)

a) Calculul determinantului matricei $A(2)$

Substituim $a = 2$ în formula matricei $A(a)$:

(3 puncte)

Calculăm determinantul de ordinul 2:

(2 puncte)

b) Determinarea numărului real $x$

Pentru $a = 1$, matricea $A(1)$ este:

Calculăm produsul $A(1) \cdot A(1)$:

Adunăm matricea $2I_2$:

(3 puncte)

Ecuația matriceală devine:

Cum matricea $A(1)$ este nenulă, deducem direct:

(2 puncte)

c) Aflarea matricei $X$

Din punctul a), $\det(A(2)) = 2 \neq 0$, deci matricea $A(2)$ este inversabilă.
Inversa unei matrice de ordinul 2, $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, este $M^{-1} = \frac{1}{\det M} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Pentru $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$:

Pentru $a = 0$:

Înmulțind ecuația $A(2) \cdot X \cdot A(2) = A(0)$ la stânga și la dreapta cu $(A(2))^{-1}$, obținem:

(2 puncte)

Efectuăm mai întâi primul produs:

Acum calculăm matricea $X$:

(3 puncte)

a) Calculul direct al compoziției $0 * 2$

Aplicăm definiția legii pentru $x = 0$ și $y = 2$:

(3 puncte)

Efectuăm calculele aritmetice:

(2 puncte)

b) Rezolvarea ecuației $x * 2x = 6$

Exprimăm $x * 2x$ folosind legea de compoziție dată:

pentru orice număr real $x$.

(2 puncte)

Egalăm cu $6$:

Dăm factor comun pe $2x$:

Soluțiile reale sunt $x \in \{0, 3\}$.

(3 puncte)

c) Aflarea numărului $x$ cu simetricul egal cu $4$

Prin definiția elementului simetric, un element $x'$ este simetricul lui $x$ dacă:

În cazul nostru, simetricul este dat $x' = 4$, iar elementul neutru este $e = 3$:

Calculăm membrul stâng:

Egalăm cu $3$:

(3 puncte)

Rezolvăm ecuația de gradul I:

(2 puncte)

💡 Formă Canonică Utilă:

Observăm că legea se poate restrânge sub forma:

Atunci $x * 4 = 3 \iff (x - 2)(4 - 2) + 2 = 3 \iff 2(x - 2) = 1 \iff x - 2 = \frac{1}{2} \iff x = \frac{5}{2}$.

a) Calculul derivatei funcției $f$

Derivăm termen cu termen funcția $f$ pe intervalul $(0, +\infty)$:

(3 puncte)

Aducem la numitor comun și descompunem diferența de pătrate:

pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

(2 puncte)

b) Calculul limitei

Exprimăm numărătorul raportului:

Numitorul se factorizează prin:

Pentru $x \neq 1$, simplificăm factorul comun $(x - 1)$:

(3 puncte)

Trecem la limită:

(2 puncte)

c) Demonstrarea inegalității

Rezolvăm ecuația $f'(x) = 0$ pe intervalul $(0, +\infty)$:

Deoarece $x > 0$, avem $x \neq 0$ și $2x + 1 > 0$, deci singura rădăcină este:

Studiem semnul derivatei pe $(0, +\infty)$:

• Pentru $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right]$, avem $2x - 1 \le 0$, deci $f'(x) \le 0$, ceea ce înseamnă că funcția $f$ este strict descrescătoare pe intervalul $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.
• Pentru $x \in \left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$, avem $2x - 1 \ge 0$, deci $f'(x) \ge 0$, ceea ce înseamnă că funcția $f$ este strict crescătoare pe intervalul $\left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$.

(2 puncte)

Deducem că $x = \frac{1}{2}$ este punct de minim global absolut al funcției $f$ pe $(0, +\infty)$, deci:

Calculăm valoarea minimă:

Inegalitatea $f(x) \ge f\left(\frac{1}{2}\right)$ devine:

Trecem termenii logaritmici în membrul drept și constantele în membrul stâng:

pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

(3 puncte)

a) Calculul integralei din $f(x) - 2x$

Exprimăm funcția de sub integrală:

Calculăm integrala definită:

(3 puncte)

Aplicăm formula lui Leibniz-Newton:

(2 puncte)

b) Calculul integralei din $\frac{1}{f(x) - e^x}$

Calculăm numitorul:

Integrala devine:

(3 puncte)

Înlocuim limitele de integrare:

(2 puncte)

c) Determinarea numărului real $a$

Exprimăm integrala:

Separăm integrala în două componente:

Pentru a doua integrală, $I = \int_0^1 (2x + 2)e^{-x}\, dx$, aplicăm metoda integrării prin părți: Fie $u(x) = 2x + 2 \implies u'(x) = 2$
și $v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$.
Formula integrării prin părți dă:

(3 puncte)

Adunăm cele două componente:

Comparând cu forma dată în enunț, $5 + \frac{a}{e}$, obținem:

(2 puncte)