Barem și Etape de Calcul:

1. Distribuirea factorului $\sqrt{2}$ și efectuarea produselor

   Înmulțim fiecare termen din paranteză cu $\sqrt{2}$:

   $$(3 + 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3(\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} + 3 \cdot 2 = 3\sqrt{2} + 6$$

   Înlocuim în expresia dată:

   $$(3 + 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4 = 3\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{2} + 4$$

   (2 puncte)

2. Reducerea termenilor asemenea și obținerea rezultatului final

   Termenii irationali $3\sqrt{2}$ și $-3\sqrt{2}$ se reduc:

   $$3\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{2} + 4 = 6 + 4 = 10$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul valorilor $f(0)$ și $f(2)$

   $$f(0) = 3 \cdot 0 + 6 = 6$$ $$f(2) = 3 \cdot 2 + 6 = 6 + 6 = 12$$

   Suma lor este:

   $$f(0) + f(2) = 6 + 12 = 18$$

   (2 puncte)

2. Calculul valorii $f(4)$ și concluzia

   $$f(4) = 3 \cdot 4 + 6 = 12 + 6 = 18$$

   Deoarece $f(0) + f(2) = 18$ și $f(4) = 18$, rezultă că:

   $$f(0) + f(2) = f(4)$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiția de existență și izolarea radicalului

   Condiția de existență a radicalului este:

   $$2x - 1 \ge 0 \iff 2x \ge 1 \iff x \ge \frac{1}{2}$$

   Izolăm radicalul:

   $$\sqrt{2x - 1} = 3$$

   Ridicăm ambele părți la pătrat:

   $$2x - 1 = 3^2 \iff 2x - 1 = 9$$

   (3 puncte)

2. Aflarea soluției și verificarea

   Rezolvăm ecuația liniară:

   $$2x = 10 \implies x = 5$$

   Deoarece $5 \ge \frac{1}{2}$ (sau verificând direct $\sqrt{2 \cdot 5 - 1} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$), soluția convine.

   Soluția este $x = 5$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul reducerii de preț

   Ieftinirea reprezintă $25\%$ din prețul inițial:

   $$\frac{25}{100} \cdot 400 = \frac{1}{4} \cdot 400 = 100\text{ de lei}$$

   (2 puncte)

2. Determinarea noului preț

   Prețul obiectului după ieftinire este diferența dintre prețul inițial și valoarea ieftinirii:

   $$400 - 100 = 300\text{ de lei}$$

   (3 puncte)

💡 Metodă Alternativă:

După o reducere de $25\%$, prețul final reprezintă $100\% - 25\% = 75\%$ din cel inițial:

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul lungimii segmentului $AC$

   Folosim formula distanței dintre două puncte:

   $$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$$ $$AC = \sqrt{(6 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$

   (2 puncte)

2. Calculul lungimii segmentului $BC$ și concluzia

   $$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(6 - 5)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$

   Deoarece $AC = BC = \sqrt{17}$, triunghiul $ABC$ are două laturi congruente, așadar este isoscel (cu vârful în $C$).

   (3 puncte)

💡 Notă Didactică:

Lungimea celei de-a treia laturi este $AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \neq \sqrt{17}$, ceea ce confirmă că triunghiul este isoscel și nu echilateral.

Barem și Etape de Calcul:

1. Utilizarea definiției cosinusului în triunghiul dreptunghic

   În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cosinusul unghiului $C$ este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză:

   $$\cos C = \frac{AC}{BC}$$

   Știind că $m(\angle C) = 60^\circ$, avem $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

   $$\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$$

   (3 puncte)

2. Determinarea ipotenuzei $BC$

   Înlocuim lungimea catetei $AC = 4$:

   $$\frac{4}{BC} = \frac{1}{2} \implies BC = 4 \cdot 2 = 8$$

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă (Teorema unghiului de $30^\circ$):

Măsura unghiului $B$ este $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Conform teoremei unghiului de $30^\circ$, cateta opusă unghiului de $30^\circ$ ($AC$) este jumătate din ipotenuză ($BC$):

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul determinantului $\det(A(3))$

1. Scrierea matricei $A(3)$ și aplicarea formulei determinantului

   Înlocuim $x = 3$ în matricea $A(x)$:

   $$A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

   Determinantul este:

   $$\det(A(3)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2$$

   (3 puncte)

2. Finalizarea calculului

   $$\det(A(3)) = 3 - 2 = 1$$

   (2 puncte)

b) Relația $A(2) + A(6) = 2 A(4)$

1. Calculul sumei $A(2) + A(6)$

   Scriem matricele $A(2)$ și $A(6)$:

   $$A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad A(6) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$$

   Efectuăm adunarea:

   $$A(2) + A(6) = \begin{pmatrix} 1 + 1 & 1 + 1 \\ 2 + 2 & 2 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$$

   (3 puncte)

2. Darea factorului comun și identificarea matricei $2 A(4)$

   Scoatem factor comun scalarul $2$:

   $$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 2 A(4)$$

   Așadar, $A(2) + A(6) = 2 A(4)$.

   (2 puncte)

c) Determinarea lui $x$ pentru care $A(x) \cdot A(x) = 3 I_2$

1. Calculul produsului matricial $A(x) \cdot A(x)$

   Folosind regula de înmulțire „linie pe coloană”:

   $$A(x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot x \\ 2 \cdot 1 + x \cdot 2 & 2 \cdot 1 + x \cdot x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 + x \\ 2 + 2x & 2 + x^2 \end{pmatrix}$$

   pentru orice număr real $x$.

   (3 puncte)

2. Identificarea cu matricea $3 I_2$ și rezolvarea sistemului

   Matricea $3 I_2$ este:

   $$3 I_2 = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

   Egalăm elementele corespunzătoare:

   $$\begin{pmatrix} 3 & 1 + x \\ 2 + 2x & 2 + x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

   Obținem sistemul de ecuații:

   $$\begin{cases} 1 + x = 0 \\ 2 + 2x = 0 \\ 2 + x^2 = 3 \end{cases}$$

   Din primele două ecuații găsim $x = -1$.
   Verificăm în a treia ecuație: $2 + (-1)^2 = 2 + 1 = 3$, adevărat.
   Prin urmare, numărul real căutat este $x = -1$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul compoziției $1 * (-3)$

1. Substituirea valorilor în legea de compoziție

   Înlocuim $x = 1$ și $y = -3$:

   $$1 * (-3) = 1 + (-3) + 6 = 1 - 3 + 6$$

   (3 puncte)

2. Finalizarea calculului

   $$1 - 3 + 6 = -2 + 6 = 4$$

   (2 puncte)

b) Rezolvarea ecuației $x * 2 = 3x$

1. Exprimarea membrului stâng al ecuației

   Aplicăm definiția legii pentru elementele $x$ și $2$:

   $$x * 2 = x + 2 + 6 = x + 8$$

   pentru orice număr real $x$.

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației de gradul întâi

   Ecuația devine:

   $$x + 8 = 3x \iff 3x - x = 8 \iff 2x = 8 \implies x = 4$$

   Numărul real căutat este $x = 4$.

   (2 puncte)

c) Demonstrarea inegalității $(x^2 + 2) * (1 - 6x) \ge 0$

1. Calculul compoziției termenilor

   Aplicăm legea de compoziție pentru termenii $x^2 + 2$ și $1 - 6x$:

   $$(x^2 + 2) * (1 - 6x) = (x^2 + 2) + (1 - 6x) + 6$$

   Reducem termenii asemenea:

   $$(x^2 + 2) * (1 - 6x) = x^2 - 6x + 2 + 1 + 6 = x^2 - 6x + 9$$

   (2 puncte)

2. Restrângerea la pătrat perfect și concluzia

   Recunoaștem formula binomului la pătrat:

   $$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$

   Deoarece pătratul oricărui număr real este nenegativ:

   $$(x - 3)^2 \ge 0, \quad \text{pentru orice } x \in \mathbb{R}$$

   Rezultă că $(x^2 + 2) * (1 - 6x) \ge 0$, pentru orice număr real $x$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul derivatei $f'(x)$

1. Aplicarea regulii de derivare a raportului

   Folosim formula $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

   $$f'(x) = \frac{(5x - 2)'(x - 1) - (5x - 2)(x - 1)'}{(x - 1)^2}$$

   (3 puncte)

2. Calculul derivatelor factorilor și simplificarea

   Cum $(5x - 2)' = 5$ și $(x - 1)' = 1$, avem:

   $$f'(x) = \frac{5(x - 1) - (5x - 2) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{5x - 5 - 5x + 2}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2} = -\frac{3}{(x - 1)^2}$$

   pentru orice $x \in (1, +\infty)$.

   (2 puncte)

b) Ecuația tangentei în $x = 2$

1. Calculul valorilor funcției și derivatei în punctul $x = 2$

   $$f(2) = \frac{5 \cdot 2 - 2}{2 - 1} = \frac{10 - 2}{1} = 8$$ $$f'(2) = -\frac{3}{(2 - 1)^2} = -\frac{3}{1^2} = -3$$

   (2 puncte)

2. Scrierea și aducerea la forma canonică a ecuației tangentei

   Formula generală a tangentei la grafic în punctul $(x_0, f(x_0))$ este:

   $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

   Pentru $x_0 = 2$:

   $$y - f(2) = f'(2)(x - 2) \implies y - 8 = -3(x - 2)$$

   Desfacem paranteza:

   $$y - 8 = -3x + 6 \implies y = -3x + 14$$

   Ecuația căutată este $y = -3x + 14$ (sau $3x + y - 14 = 0$).

   (3 puncte)

c) Demonstrarea convexității funcției $f$

1. Calculul derivatei de ordinul al doilea $f''(x)$

   Derivăm $f'(x) = -3(x - 1)^{-2}$:

   $$f''(x) = \left(-\frac{3}{(x - 1)^2}\right)' = -3 \cdot \left((x - 1)^{-2}\right)' = -3 \cdot (-2)(x - 1)^{-3} \cdot (x - 1)'$$ $$f''(x) = \frac{6}{(x - 1)^3}$$

   pentru orice $x \in (1, +\infty)$.

   (3 puncte)

2. Studiul semnului derivatei a doua și concluzia

   Deoarece $x \in (1, +\infty)$, avem $x > 1 \implies x - 1 > 0$, deci $(x - 1)^3 > 0$.
   Rezultă că:

   $$f''(x) = \frac{6}{(x - 1)^3} > 0, \quad \text{pentru orice } x \in (1, +\infty)$$

   Cum $f''(x) \ge 0$ pe intervalul $(1, +\infty)$, funcția $f$ este convexă pe $(1, +\infty)$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul integralei $\int_0^1 (f(x) - 3) \, dx$

1. Substituirea funcției și determinarea primitivei

   Avem $f(x) - 3 = (2x + 3) - 3 = 2x$. Integrala devine:

   $$\int_0^1 (f(x) - 3) \, dx = \int_0^1 2x \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \left[ x^2 \right]_0^1$$

   (3 puncte)

2. Aplicarea formulei Leibniz-Newton

   $$\left[ x^2 \right]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1$$

   (2 puncte)

b) Calculul integralei $\int_0^1 e^x f(x) \, dx$

1. Integrarea prin părți

   Înlocuim $f(x) = 2x + 3$:

   $$\int_0^1 e^x f(x) \, dx = \int_0^1 (2x + 3) e^x \, dx$$

   Alegem:

   $$\begin{cases} u(x) = 2x + 3 \implies u'(x) = 2 \\ v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x \end{cases}$$

   Aplicăm formula de integrare prin părți $\int_a^b u v' = [uv]_a^b - \int_a^b u' v$:

   $$\int_0^1 (2x + 3) e^x \, dx = \left[ (2x + 3) e^x \right]_0^1 - \int_0^1 2 e^x \, dx$$

   Calculăm primul termen:

   $$\left[ (2x + 3) e^x \right]_0^1 = (2 \cdot 1 + 3) e^1 - (2 \cdot 0 + 3) e^0 = 5e - 3$$

   (3 puncte)

2. Finalizarea integrării

   Calculăm integrala rămasă:

   $$\int_0^1 2 e^x \, dx = \left[ 2 e^x \right]_0^1 = 2e^1 - 2e^0 = 2e - 2$$

   Scădem cele două expresii:

   $$\int_0^1 e^x f(x) \, dx = (5e - 3) - (2e - 2) = 5e - 3 - 2e + 2 = 3e - 1$$

   (2 puncte)

c) Determinarea valorii parametrului $a \in (0, +\infty)$

1. Recunoașterea derivatei logaritmice și calculul integralei

   Expresia de sub integrală este:

   $$\frac{f(x)}{x(x + 3)} = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}$$

   Observăm că numărătorul este exact derivata numitorului: $(x^2 + 3x)' = 2x + 3$.
   Folosim formula $\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + \mathcal{C}$. Pe intervalul $[1, 2]$, $x^2 + 3x > 0$:

   $$\int_1^2 \frac{2x + 3}{x^2 + 3x} \, dx = \left[ \ln(x^2 + 3x) \right]_1^2$$

   Aplicăm limitele de integrare:

   $$\left[ \ln(x^2 + 3x) \right]_1^2 = \ln(2^2 + 3 \cdot 2) - \ln(1^2 + 3 \cdot 1) = \ln(4 + 6) - \ln(1 + 3) = \ln 10 - \ln 4$$

   Folosind proprietățile logaritmilor $\ln u - \ln v = \ln\frac{u}{v}$:

   $$\ln 10 - \ln 4 = \ln\left(\frac{10}{4}\right) = \ln\left(\frac{5}{2}\right)$$

   (3 puncte)

2. Identificarea cu $\ln\frac{a}{2}$ și concluzia

   Egalăm valoarea integralei cu rezultatul din enunț:

   $$\ln\left(\frac{5}{2}\right) = \ln\left(\frac{a}{2}\right)$$

   Deoarece funcția logaritmică este strict injectivă:

   $$\frac{a}{2} = \frac{5}{2} \implies a = 5$$

   Valoarea $a = 5$ aparține intervalului $(0, +\infty)$, deci convine.

   (2 puncte)