matematicaȘtiințele Naturii (M2)Anul 2026Subiect de Rezervă

Bacalaureat 2026 - Matematică Științele Naturii (M2) - Subiect de Rezervă

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Numere Complexe (5p)

Arătați că:

i(6 - i) + 3(3 - 2i) = 10

unde $i^2 = -1$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Efectuarea înmulțirilor
$i(6 - i) + 3(3 - 2i) = 6i - i^2 + 9 - 6i$
(3 puncte)
Folosirea relației $i^2 = -1$ și finalizarea calculului

Termenii imaginari se reduc: $6i - 6i = 0$ , iar $-i^2 = -(-1) = 1$ :
$1 + 9 = 10$
(2 puncte)

2. Puncte de Intersecție cu Axa $Ox$ (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - 4x$ . Determinați abscisele punctelor de intersecție ale graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Ecuația de intersecție cu axa $Ox$

Punctele de intersecție cu axa $Ox$ au ordonata $y = 0$ , deci $f(x) = 0$ :
$x^2 - 4x = 0$
(3 puncte)
Aflarea absciselor

Dând factor comun pe $x$ :
$x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0 \quad \text{și} \quad x_2 = 4$
Abscisele căutate sunt $0$ și $4$ .

(2 puncte)

3. Ecuație Exponențială (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

7^{3x - 2} = 7^{-x} \cdot 49

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Scrierea termenilor ca puteri cu aceeași bază

Scriem $49 = 7^2$ :
$7^{3x - 2} = 7^{-x} \cdot 7^2 \iff 7^{3x - 2} = 7^{-x + 2}$
(3 puncte)
Egalarea exponenților și rezolvarea ecuației

Deoarece funcția exponențială de bază $7$ este injectivă, egalăm exponenții:
$3x - 2 = -x + 2 \iff 4x = 4 \iff x = 1$
(2 puncte)

4. Numere Impare de Două Cifre Distincte (5p)

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A = \{2, 3, 4, 5, 8, 9\}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Alegerea cifrei unităților

Pentru ca numărul să fie impar, cifra unităților trebuie să fie impară. Din mulțimea $A$ , cifrele impare sunt $\{3, 5, 9\}$ , deci sunt $3$ moduri de alegere a cifrei unităților:
$3 \text{ moduri}$
(2 puncte)
Alegerea cifrei zecilor și calculul totalului

Cifra zecilor poate fi oricare dintre celelalte $5$ cifre rămase din $A$ (deoarece cifrele trebuie să fie distincte). Numărul total este:
$3 \cdot 5 = 15 \text{ numere}$
(3 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,2)$ , $B(7,4)$ și $C$ , astfel încât $A$ este mijlocul segmentului $BC$ . Determinați lungimea segmentului $OC$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Determinarea coordonatelor punctului $C$

Deoarece $A$ este mijlocul segmentului $BC$ :
$x_A = \frac{x_B + x_C}{2} \iff 5 = \frac{7 + x_C}{2} \implies 7 + x_C = 10 \implies x_C = 3$ $y_A = \frac{y_B + y_C}{2} \iff 2 = \frac{4 + y_C}{2} \implies 4 + y_C = 4 \implies y_C = 0$
Punctul este $C(3,0)$ .

(2 puncte)
Calculul lungimii segmentului $OC$
$OC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{9} = 3$
(3 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 2$ și $BC = 4$ . Arătați că $AD = \sqrt{3}$ , unde $AD$ este înălțime a triunghiului $ABC$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul lungimii catetei $AC$

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$ :
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
(3 puncte)
Calculul înălțimii $AD$

Formula înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este $AD = \frac{AB \cdot AC}{BC}$ :
$AD = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$
(2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți

Se consideră matricele:

I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad A(x) = \begin{pmatrix} 2x - 1 & x - 3 \\ x - 4 & x + 4 \end{pmatrix}

unde $x$ este număr real.

a) Calcul determinant (5p)

Arătați că $\det(A(2)) = 18$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Construirea matricei $A(2)$

Pentru $x = 2$ :
$A(2) = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}$
(3 puncte)
Calculul determinantului
$\det(A(2)) = 0 \cdot 6 - (-3) \cdot 6 = 0 + 18 = 18$
(2 puncte)

b) Inversa matricei (5p)

Se consideră matricea:

B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}

Arătați că matricea $B$ este inversa matricei $A(1)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Scrierea matricelor $A(1)$ și $B$
$A(1) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$
(2 puncte)
Verificarea relațiilor $A(1) \cdot B = I_2$ și $B \cdot A(1) = I_2$
$A(1) \cdot B = \begin{pmatrix} (-1)(5) + (-2)(-3) & (-1)(2) + (-2)(-1) \\ 3(5) + 5(-3) & 3(2) + 5(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$
Așadar, $B = (A(1))^{-1}$ .

(3 puncte)

c) Ecuație matriceală (5p)

Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care:

X \cdot A(1) = A(3)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Izolarea matricei $X$ prin înmulțire la dreapta cu $(A(1))^{-1}$

Deoarece $A(1)$ este inversabilă cu inversa $B$ :
$X = A(3) \cdot (A(1))^{-1} = A(3) \cdot B$
unde:
$A(3) = \begin{pmatrix} -6 & 5 \\ 15 & 9 \end{pmatrix}$
(2 puncte)
Efectuarea produsului de matrice
$X = \begin{pmatrix} -11 & -4 \\ 28 & 9 \end{pmatrix}$
(3 puncte)

2. Polinoame

Se consideră polinomul $f = X^3 + 2X^2 + mX + 4$ , unde $m$ este număr real.

a) Verificare valoare pentru $m = 2$ (5p)

Pentru $m = 2$ , arătați că $f(-2) = 0$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Forma polinomului și înlocuirea lui $X$ cu $-2$

Pentru $m = 2$ , $f = X^3 + 2X^2 + 2X + 4$ :
$f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + 2(-2) + 4$
(3 puncte)
Calculul numeric
$f(-2) = -8 + 8 - 4 + 4 = 0$
(2 puncte)

b) Restul împărțirii pentru $m = 1$ (5p)

Pentru $m = 1$ , determinați restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X + 1$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Aplicarea teoremei restului

Restul împărțirii lui $f$ la $X + 1$ este $R = f(-1)$ . Pentru $m = 1$ :
$f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 1(-1) + 4$
(3 puncte)
Finalizarea calculului
$R = -1 + 2 - 1 + 4 = 4$
(2 puncte)

c) Rădăcinile polinomului (5p)

Determinați rădăcinile polinomului $f$ , știind că produsul a două dintre acestea este egal cu $1$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Aflarea celei de-a treia rădăcini prin relațiile lui Viète

Fie $x_1x_2 = 1$ . Din relația lui Viète pentru produsul rădăcinilor:
$x_1x_2x_3 = -4 \implies 1 \cdot x_3 = -4 \implies x_3 = -4$
(2 puncte)
Determinarea celorlalte două rădăcini

Din suma rădăcinilor:
$x_1 + x_2 + x_3 = -2 \implies x_1 + x_2 - 4 = -2 \implies x_1 + x_2 = 2$
Având $x_1 + x_2 = 2$ și $x_1x_2 = 1$ , $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $t^2 - 2t + 1 = 0 \iff (t - 1)^2 = 0$ :
$x_1 = 1, \quad x_2 = 1$
Rădăcinile polinomului sunt $x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = -4$ .

(3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial

Se consideră funcția $f: (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \frac{x^2 + 3x + 1}{x + 1}$ .

a) Calculul derivatei (5p)

Arătați că $f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2}$ , pentru orice $x \in (-1,+\infty)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Derivarea raportului
$f'(x) = \frac{(x^2 + 3x + 1)'(x + 1) - (x^2 + 3x + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(2x + 3)(x + 1) - (x^2 + 3x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}$
(3 puncte)
Reducerea termenilor asemenea
$f'(x) = \frac{2x^2 + 5x + 3 - x^2 - 3x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2}$
pentru orice $x \in (-1,+\infty)$ .

(2 puncte)

b) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x = 0$ (5p)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul valorilor $f(0)$ și $f'(0)$
$f(0) = \frac{0 + 0 + 1}{0 + 1} = 1$ $f'(0) = \frac{0 + 0 + 2}{(0 + 1)^2} = 2$
(2 puncte)
Scrierea ecuației tangentei

Formula tangentei este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$ :
$y - 1 = 2(x - 0) \iff y = 2x + 1$
(3 puncte)

c) Concavitatea funcției (5p)

Demonstrați că funcția $f$ este concavă.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul derivatei de ordinul al doilea

Rescriem $f'(x) = \frac{(x + 1)^2 + 1}{(x + 1)^2} = 1 + (x + 1)^{-2}$ , deci:
$f''(x) = -\frac{2}{(x + 1)^3}$
(3 puncte)
Studiul semnului derivatei a doua

Pentru orice $x \in (-1,+\infty)$ , avem $x + 1 > 0$ , deci $(x + 1)^3 > 0$ :
$f''(x) = -\frac{2}{(x + 1)^3} < 0$
Rezultă că funcția $f$ este concavă pe intervalul $(-1,+\infty)$ .

(2 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 3x^2 + 4 + e^x$ .

a) Calcul integrală simplă (5p)

Arătați că:

\int_0^1 (f(x) - 3x^2) \, dx = e + 3

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Simplificarea integrandului
$f(x) - 3x^2 = 4 + e^x \implies \int_0^1 (4 + e^x) \, dx = \left[ 4x + e^x \right]_0^1$
(3 puncte)
Evaluarea numerică
$(4 \cdot 1 + e^1) - (4 \cdot 0 + e^0) = 4 + e - 1 = e + 3$
(2 puncte)

b) Calcul integrală logaritmică (5p)

Arătați că:

\int_0^2 \frac{x}{f(x) - e^x} \, dx = \frac{\ln 2}{3}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Determinarea primitivei prin recunoașterea formei $\frac{u'}{u}$

Numitorul este $f(x) - e^x = 3x^2 + 4$ , a cărui derivată este $(3x^2 + 4)' = 6x$ :
$\int_0^2 \frac{x}{3x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{6} \int_0^2 \frac{(3x^2 + 4)'}{3x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{6} \left[ \ln(3x^2 + 4) \right]_0^2$
(3 puncte)
Calculul numeric
$\frac{1}{6} (\ln(3 \cdot 4 + 4) - \ln(3 \cdot 0 + 4)) = \frac{1}{6} (\ln 16 - \ln 4) = \frac{1}{6} \ln \frac{16}{4} = \frac{\ln 4}{6} = \frac{2\ln 2}{6} = \frac{\ln 2}{3}$
(2 puncte)

c) Determinarea valorii $G(1)$ (5p)

Se consideră $G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , o primitivă a funcției $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $g(x) = f(x^2) - 3x^4$ . Știind că $\int_0^1 G(x) \, dx = \frac{1 - e}{2}$ , arătați că $G(1) = 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Exprimarea funcției $g(x)$ și integrarea prin părți

Deoarece $f(t) = 3t^2 + 4 + e^t$ , pentru $t = x^2$ avem $f(x^2) = 3x^4 + 4 + e^{x^2}$ . Rezultă că $g(x) = f(x^2) - 3x^4 = 4 + e^{x^2}$ . Folosind integrarea prin părți pentru primitiva $G(x)$ :
$\int_0^1 G(x) \, dx = \int_0^1 x' G(x) \, dx = \left[ xG(x) \right]_0^1 - \int_0^1 xG'(x) \, dx = G(1) - \int_0^1 (4x + xe^{x^2}) \, dx$
(3 puncte)
Calculul integralei și determinarea lui $G(1)$

Calculăm integrala:
$\int_0^1 (4x + xe^{x^2}) \, dx = \left[ 2x^2 + \frac{1}{2} e^{x^2} \right]_0^1 = \left( 2 + \frac{e}{2} \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \right) = \frac{e + 3}{2}$
Înlocuind în relația obținută:
$G(1) - \frac{e + 3}{2} = \frac{1 - e}{2} \implies G(1) = \frac{1 - e}{2} + \frac{e + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
(2 puncte)

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Numere Complexe (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Puncte de Intersecție cu Axa OxOxOx (5p)

Barem și Etape de Calcul:

3. Ecuație Exponențială (5p)

Barem și Etape de Calcul:

4. Numere Impare de Două Cifre Distincte (5p)

Barem și Etape de Calcul:

5. Geometrie Analitică (5p)

Barem și Etape de Calcul:

6. Trigonometrie (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți

a) Calcul determinant (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Inversa matricei (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Ecuație matriceală (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Polinoame

a) Verificare valoare pentru m=2m = 2m=2 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Restul împărțirii pentru m=1m = 1m=1 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Rădăcinile polinomului (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial

a) Calculul derivatei (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Ecuația tangentei în punctul de abscisă x=0x = 0x=0 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Concavitatea funcției (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Analiză Matematică - Calcul Integral

a) Calcul integrală simplă (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Calcul integrală logaritmică (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Determinarea valorii G(1)G(1)G(1) (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Puncte de Intersecție cu Axa $Ox$ (5p)

a) Verificare valoare pentru $m = 2$ (5p)

b) Restul împărțirii pentru $m = 1$ (5p)

b) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x = 0$ (5p)

c) Determinarea valorii $G(1)$ (5p)