matematicaȘtiințele Naturii (M2)Anul 2026Sesiunea August (Toamnă)

Bacalaureat 2026 - Matematică Științele Naturii (M2) - Sesiunea August (Toamnă)

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Numere Complexe (5p)

Se consideră numerele complexe $z_1 = 2 - 3i$ și $z_2 = 1 - 2i$ . Arătați că:

iz_1 + z_2 = 4

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul produsului $iz_1$ și adunarea cu $z_2$
$iz_1 + z_2 = i(2 - 3i) + (1 - 2i) = 2i - 3i^2 + 1 - 2i$
(2 puncte)
Finalizarea calculului folosind $i^2 = -1$

Deoarece $i^2 = -1$ :
$-3i^2 + 1 + (2i - 2i) = 3 + 1 + 0 = 4$
(3 puncte)

2. Ecuație cu Funcții (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x + 3$ . Determinați numărul real $a$ pentru care:

f(a + 2) = a + f(a)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul valorilor funcției
$f(a + 2) = (a + 2) + 3 = a + 5$ $f(a) = a + 3$
(2 puncte)
Rezolvarea ecuației

Înlocuind în ecuație:
$a + 5 = a + a + 3 \iff a + 5 = 2a + 3 \iff a = 2$
(3 puncte)

3. Ecuație Exponențială (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

2^{x^2} = 2^{2 - x}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Injectivitatea funcției exponențiale

Egalăm exponenții:
$x^2 = 2 - x \iff x^2 + x - 2 = 0$
(2 puncte)
Determinarea soluțiilor

Descompunem ecuația de gradul doi:
$(x - 1)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -2$
care sunt soluții reale convenabile.

(3 puncte)

4. Probabilități (5p)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $3n^2 > 100$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Numărul cazurilor posibile

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ și conține:
$10 \text{ cazuri posibile}$
(2 puncte)
Identificarea cazurilor favorabile și calculul probabilității

Inegalitatea devine:
$3n^2 > 100 \iff n^2 > \frac{100}{3} \approx 33{,}33$
Cum $n \in \{0, 1, \dots, 9\}$ , valorile convenabile sunt $n \in \{6, 7, 8, 9\}$ (deoarece $5^2 = 25 \le 33$ , iar $6^2 = 36 > 33$ ). Sunt $4$ cazuri favorabile, de unde:
$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
(3 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,0)$ , $B(8,2)$ și $C(1,9)$ . Determinați distanța dintre punctul $C$ și mijlocul segmentului $AB$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $AB$
$x_M = \frac{6 + 8}{2} = 7, \quad y_M = \frac{0 + 2}{2} = 1 \implies M(7,1)$
(3 puncte)
Calculul distanței $CM$
$CM = \sqrt{(7 - 1)^2 + (1 - 9)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
(2 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Se consideră triunghiul $ABC$ , cu $AC = 9$ și $B = \frac{\pi}{3}$ . Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $3\sqrt{3}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Aplicarea teoremei sinusurilor

În orice triunghi $ABC$ :
$\frac{AC}{\sin B} = 2R \implies R = \frac{AC}{2\sin B}$
(3 puncte)
Calculul numeric al razei $R$

Cum $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ :
$R = \frac{9}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$
(2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți

Se consideră matricea:

A(x,y) = \begin{pmatrix} x + y & xy \\ 4 & x + y \end{pmatrix}

unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

a) Calcul determinant (5p)

Arătați că $\det(A(1,2)) = 1$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Construirea matricei $A(1,2)$

Pentru $x = 1, y = 2$ :
$A(1,2) = \begin{pmatrix} 1 + 2 & 1 \cdot 2 \\ 4 & 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
(3 puncte)
Calculul determinantului
$\det(A(1,2)) = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$
(2 puncte)

b) Inversabilitate (5p)

Arătați că matricea $A(x,y)$ este inversabilă, pentru orice numere reale distincte $x$ și $y$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul determinantului general
$\det(A(x,y)) = (x + y)^2 - 4xy = x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
(3 puncte)
Condiția de inversabilitate

Deoarece $x \neq y$ , avem $x - y \neq 0$ , deci $(x - y)^2 > 0$ :
$\det(A(x,y)) \neq 0 \implies A(x,y) \text{ este inversabilă}$
(2 puncte)

c) Sistem de matrice (5p)

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care:

A(x,2) \cdot A(x,2) = 4A(y,0)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul produsului $A(x,2) \cdot A(x,2)$ și al matricei $4A(y,0)$

Calculăm cele două matrice:
$A(x,2) = \begin{pmatrix} x + 2 & 2x \\ 4 & x + 2 \end{pmatrix}$ $4A(y,0) = \begin{pmatrix} 4y & 0 \\ 16 & 4y \end{pmatrix}$
Efectuând produsul și egalând elementele corespondente:

(3 puncte)
Identificarea soluțiilor

Din elementul din dreapta-sus: $2x(x + 2) + 2x(x + 2) = 0 \implies x = 0$ . Pentru $x = 0$ , obținem:
$A(0,2) \cdot A(0,2) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 16 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4y & 0 \\ 16 & 4y \end{pmatrix}$
de unde:
$4y = 4 \implies y = 1$
Soluțiile sunt $x = 0$ și $y = 1$ .

(2 puncte)

2. Legi de Compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:

x * y = 5 - \frac{x + y}{2} + xy

a) Calcul numeric (5p)

Arătați că $1 * 3 = 6$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Înlocuirea valorilor în lege
$1 * 3 = 5 - \frac{1 + 3}{2} + 1 \cdot 3$
(3 puncte)
Finalizarea calculului
$1 * 3 = 5 - 2 + 3 = 6$
(2 puncte)

b) Ecuație cu legea de compoziție (5p)

Determinați numărul real $x$ pentru care $x * 5 = 2x$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Scrierea expresiei $x * 5$
$x * 5 = 5 - \frac{x + 5}{2} + 5x = 5 - \frac{5}{2} - \frac{x}{2} + 5x = \frac{5}{2} + \frac{9x}{2} = \frac{9x + 5}{2}$
(3 puncte)
Rezolvarea ecuației
$\frac{9x + 5}{2} = 2x \iff 9x + 5 = 4x \iff 5x = -5 \iff x = -1$
(2 puncte)

c) Perechi de numere naturale (5p)

Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care:

(m - n) * (m + n) = m^2

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Prelucrarea ecuației algebrice

Aplicăm legea pentru $x = m - n$ și $y = m + n$ :
$(m - n) * (m + n) = 5 - \frac{(m - n) + (m + n)}{2} + (m - n)(m + n) = 5 - m + m^2 - n^2$
Egalitatea devine:
$5 - m + m^2 - n^2 = m^2 \iff n^2 + m = 5$
(2 puncte)
Aflarea soluțiilor naturale

Deoarece $m, n \in \mathbb{N}$ :
- Dacă $n = 0 \implies m = 5$ , obținem perechea $(5, 0)$ .
- Dacă $n = 1 \implies 1 + m = 5 \implies m = 4$ , obținem perechea $(4, 1)$ .
- Dacă $n = 2 \implies 4 + m = 5 \implies m = 1$ , obținem perechea $(1, 2)$ .
- Dacă $n \ge 3 \implies n^2 \ge 9 > 5$ , nu există soluții în $\mathbb{N}$ .
Perechile căutate sunt $(5, 0)$ , $(4, 1)$ și $(1, 2)$ .

(3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \frac{x^2 + 8x - 2}{x^2 + 2}$ .

a) Calculul derivatei (5p)

Arătați că $f'(x) = \frac{8(x + 1)(2 - x)}{(x^2 + 2)^2}$ , pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Aplicarea formulei derivatei câtului
$f'(x) = \frac{(x^2 + 8x - 2)'(x^2 + 2) - (x^2 + 8x - 2)(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2}$ $= \frac{(2x + 8)(x^2 + 2) - (x^2 + 8x - 2)(2x)}{(x^2 + 2)^2}$
(3 puncte)
Desfacerea parantezelor și factorizarea
$= \frac{2x^3 + 4x + 8x^2 + 16 - (2x^3 + 16x^2 - 4x)}{(x^2 + 2)^2}$ $= \frac{-8x^2 + 8x + 16}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-8(x^2 - x - 2)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{8(x + 1)(2 - x)}{(x^2 + 2)^2}$
pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

(2 puncte)

b) Asimptota orizontală spre $+\infty$ (5p)

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul limitei la $+\infty$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 8x - 2}{x^2 + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1 + \frac{8}{x} - \frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{2}{x^2}\right)} = 1$
(3 puncte)
Concluzia

Dreapta de ecuație $y = 1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

(2 puncte)

c) Margini și inegalitate pe intervalul $[-4,0]$ (5p)

Demonstrați că $-2 \le f(x) - f(y) \le 2$ , pentru orice $x, y \in [-4,0]$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Monotonia funcției $f$ pe intervalul $[-4,0]$

Rădăcina derivatei în interval este $x = -1$ :
- Pe $[-4, -1]$ , $f'(x) \le 0 \implies f$ este descrescătoare.
- Pe $[-1, 0]$ , $f'(x) \ge 0 \implies f$ este crescătoare.
(2 puncte)
Evaluarea valorilor extreme și deducerea inegalității

Calculând valorile: $f(-4) = -1$ , $f(-1) = -3$ , $f(0) = -1$ . Așadar, pentru orice $t \in [-4,0]$ :
$-3 \le f(t) \le -1$
Pentru $x, y \in [-4,0]$ , diferența $f(x) - f(y)$ satisface:
$-1 - (-3) = 2 \quad \text{și} \quad -3 - (-1) = -2 \implies -2 \le f(x) - f(y) \le 2$
(3 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral

Se consideră funcția $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 5x^2 - 3 + \ln x$ .

a) Calcul integrală simplă (5p)

Arătați că:

\int_1^2 (f(x) - \ln x) \, dx = \frac{26}{3}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Simplificarea integrandului
$f(x) - \ln x = 5x^2 - 3 \implies \int_1^2 (5x^2 - 3) \, dx = \left[ \frac{5x^3}{3} - 3x \right]_1^2$
(3 puncte)
Calculul numeric
$\left( \frac{5 \cdot 8}{3} - 3 \cdot 2 \right) - \left( \frac{5 \cdot 1}{3} - 3 \cdot 1 \right) = \left( \frac{40}{3} - 6 \right) - \left( \frac{5}{3} - 3 \right) = \frac{35}{3} - 3 = \frac{26}{3}$
(2 puncte)

b) Calcul integrală rațională (5p)

Arătați că:

\int_1^e \frac{1}{x} \cdot (f(x) - 5x^2 + 3) \, dx = \frac{1}{2}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Determinarea primitivei prin schimbare de variabilă

Deoarece $f(x) - 5x^2 + 3 = \ln x$ :
$\int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx = \int_1^e \ln x \cdot (\ln x)' \, dx = \left[ \frac{\ln^2 x}{2} \right]_1^e$
(3 puncte)
Evaluarea limitelor de integrare
$\frac{\ln^2 e - \ln^2 1}{2} = \frac{1^2 - 0}{2} = \frac{1}{2}$
(2 puncte)

c) Aflarea constantei $m$ (5p)

Determinați numărul real $m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ , $g(x) = \frac{f(x) + 3}{\sqrt{x}}$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = 4$ este egală cu $58 + m\ln 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul ariei prin integrare

Avem $g(x) = \frac{5x^2 + \ln x}{\sqrt{x}} = 5x^{3/2} + \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ :
$\int_1^4 5x^{3/2} \, dx = 5 \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_1^4 = 2(4^{5/2} - 1) = 2(32 - 1) = 62$
Integrând prin părți $\int_1^4 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx$ :
$\int_1^4 x^{-1/2} \ln x \, dx = \left[ 2\sqrt{x} \ln x \right]_1^4 - \int_1^4 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx = 4\ln 4 - \left[ 4\sqrt{x} \right]_1^4 = 8\ln 2 - (8 - 4) = 8\ln 2 - 4$
Aria totală este $\mathcal{A} = 62 + 8\ln 2 - 4 = 58 + 8\ln 2$ .

(3 puncte)
Identificarea valorii lui $m$

Egalând cu $58 + m\ln 2$ :
$58 + 8\ln 2 = 58 + m\ln 2 \implies m = 8$
(2 puncte)

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Numere Complexe (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Ecuație cu Funcții (5p)

Barem și Etape de Calcul:

3. Ecuație Exponențială (5p)

Barem și Etape de Calcul:

4. Probabilități (5p)

Barem și Etape de Calcul:

5. Geometrie Analitică (5p)

Barem și Etape de Calcul:

6. Trigonometrie (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți

a) Calcul determinant (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Inversabilitate (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Sistem de matrice (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Legi de Compoziție

a) Calcul numeric (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Ecuație cu legea de compoziție (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Perechi de numere naturale (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial

a) Calculul derivatei (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Asimptota orizontală spre +∞+\infty+∞ (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Margini și inegalitate pe intervalul [−4,0][-4,0][−4,0] (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Analiză Matematică - Calcul Integral

a) Calcul integrală simplă (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Calcul integrală rațională (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Aflarea constantei mmm (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Asimptota orizontală spre $+\infty$ (5p)

c) Margini și inegalitate pe intervalul $[-4,0]$ (5p)

c) Aflarea constantei $m$ (5p)