matematicaȘtiințele Naturii (M2)Anul 2026Sesiunea Iunie (Vară)

Bacalaureat 2026 - Matematică Științele Naturii (M2) - Sesiunea Iunie (Vară)

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcule cu Numere Zecimale (5p)

Arătați că:

(4,9 - 3,4) : 3 + 2,5 = 3

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Efectuarea scăderii și împărțirii

Efectuăm operația din paranteză:
$4,9 - 3,4 = 1,5$
apoi împărțirea:
$1,5 : 3 = 0,5$
(2 puncte)
Efectuarea adunării finale
$0,5 + 2,5 = 3$
(3 puncte)

2. Punct pe Graficul Funcției (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x - 21$ . Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(-3a, a)$ aparține graficului funcției $f$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Condiția de apartenență a punctului la grafic

Punctul $A(-3a, a) \in G_f \iff f(-3a) = a$ :
$f(-3a) = 2(-3a) - 21 = -6a - 21$
(2 puncte)
Calculul valorii lui $a$

Egalăm cu ordonata punctului:
$-6a - 21 = a \iff -7a = 21 \iff a = -3$
(3 puncte)

3. Ecuație Logaritmică (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

\log_7(1 + 2x - x^2) = \log_7(3 - x)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Condiții de existență și egalarea argumentelor

Condițiile de existență impun $1 + 2x - x^2 > 0$ și $3 - x > 0 \iff x < 3$ . Deoarece funcția logaritmică este injectivă, egalăm argumentele:
$1 + 2x - x^2 = 3 - x \iff x^2 - 3x + 2 = 0$
(2 puncte)
Aflarea soluțiilor și verificarea condițiilor

Rezolvând ecuația de gradul al doilea:
$(x - 1)(x - 2) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 2$
Verificăm condițiile de existență:
- Pentru $x = 1$ : $1 + 2(1) - 1^2 = 2 > 0$ și $3 - 1 = 2 > 0$ (convine).
- Pentru $x = 2$ : $1 + 2(2) - 2^2 = 1 > 0$ și $3 - 2 = 1 > 0$ (convine).
Soluțiile ecuației sunt $x = 1$ și $x = 2$ .

(3 puncte)

4. Probabilități (5p)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de $11$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Numărul cazurilor posibile

Mulțimea numerelor de două cifre are:
$99 - 10 + 1 = 90 \text{ cazuri posibile}$
(2 puncte)
Numărul cazurilor favorabile și probabilitatea

Multiplii de două cifre ai lui $11$ sunt $11 \cdot k$ , unde $k \in \{1, 2, \dots, 9\}$ . Dintre aceștia, cei impari corespund lui $k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ : $\{11, 33, 55, 77, 99\}$ . Sunt $5$ cazuri favorabile.
$p = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$
(3 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ , $B(2,0)$ și $C(4,2)$ . Arătați că triunghiul $ADC$ este isoscel, unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Coordonatele punctului $D$ și distanța $AD$

Mijlocul segmentului $BC$ are coordonatele:
$x_D = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad y_D = \frac{0 + 2}{2} = 1 \implies D(3,1)$
Calculăm distanța $AD$ :
$AD = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
(3 puncte)
Calculul distanței $AC$ și concluzia
$AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
Deoarece $AD = AC = 5$ , triunghiul $ADC$ este isoscel.

(2 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $\operatorname{tg} B = \frac{1}{3}$ și aria egală cu $24$ . Arătați că $AC = 4$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Relația dintre catete prin tangenta unghiului $B$

În triunghiul dreptunghic în $A$ :
$\operatorname{tg} B = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{3} \implies AB = 3AC$
(2 puncte)
Folosirea formulei ariei triunghiului dreptunghic
$\text{Aria} = \frac{AB \cdot AC}{2} \iff 24 = \frac{3AC \cdot AC}{2} \iff 3AC^2 = 48 \iff AC^2 = 16$
Cum lungimea laturii este pozitivă, obținem:
$AC = 4$
(3 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți

Se consideră matricele:

I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad A(a) = \begin{pmatrix} 2a + 2 & -a \\ a - 3 & 1 \end{pmatrix}

unde $a$ este număr real.

a) Calcul determinant (5p)

Arătați că $\det(A(1)) = 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Construirea matricei $A(1)$

Pentru $a = 1$ :
$A(1) = \begin{pmatrix} 2(1) + 2 & -1 \\ 1 - 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
(3 puncte)
Calculul determinantului
$\det(A(1)) = 4 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2) = 4 - 2 = 2$
(2 puncte)

b) Ecuație matriceală (5p)

Determinați numărul real $x$ pentru care:

A(0) \cdot (6I_2 - A(2) - A(-2)) = xI_2

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul matricelor și al produsului

Avem:
$A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad A(2) = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A(-2) = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$
Calculăm termenul din paranteză:
$6I_2 - A(2) - A(-2) = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$
Efectuând produsul:
$A(0) \cdot (6I_2 - A(2) - A(-2)) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 4I_2$
(3 puncte)
Aflarea valorii lui $x$
$4I_2 = xI_2 \implies x = 4$
(2 puncte)

c) Aflarea matricei $X$ (5p)

Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care:

A(1) \cdot X \cdot A(1) = 4I_2

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Exprimarea matricei $X$ prin inversabilitate

Deoarece $\det(A(1)) = 2 \neq 0$ , matricea $A(1)$ este inversabilă. Înmulțind egalitatea la stânga și la dreapta cu $(A(1))^{-1}$ :
$X = 4(A(1))^{-1} \cdot (A(1))^{-1}$
(2 puncte)
Calculul inversei și al matricei $X$

Avem matricea:
$A(1) = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
Inversa sa este:
$(A(1))^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
Efectuând calculul:
$X = 4 \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 10 & 18 \end{pmatrix}$
(3 puncte)

2. Polinoame

Se consideră polinomul $f = X^3 - aX + 2 + a$ , unde $a$ este număr real.

a) Valoarea în $1$ (5p)

Arătați că $f(1) = 3$ , pentru orice număr real $a$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Înlocuirea nedeterminatei cu $1$
$f(1) = 1^3 - a \cdot 1 + 2 + a = 1 - a + 2 + a$
(3 puncte)
Reducerea termenilor asemenea
$f(1) = 1 + 2 = 3$
pentru orice număr real $a$ .

(2 puncte)

b) Divizibilitatea cu $X + 2$ (5p)

Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Condiția de divizibilitate prin teorema restului

Polinomul $f$ este divizibil cu $X + 2 \iff f(-2) = 0$ :
$f(-2) = (-2)^3 - a(-2) + 2 + a = -8 + 2a + 2 + a = 3a - 6$
(3 puncte)
Rezolvarea ecuației
$3a - 6 = 0 \iff 3a = 6 \iff a = 2$
(2 puncte)

c) Relație între rădăcini (5p)

Determinați numărul real $a$ pentru care:

x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3

unde $x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Relațiile lui Viète

Pentru polinomul $f = X^3 + 0 \cdot X^2 - aX + (2 + a)$ , relațiile lui Viète sunt:
$x_1 + x_2 + x_3 = 0, \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -a$
(2 puncte)
Calculul sumei cuburilor și determinarea lui $a$

Deoarece $f(x_i) = 0$ , avem $x_i^3 = ax_i - (2 + a)$ pentru fiecare rădăcină $x_i$ ( $i \in \{1, 2, 3\}$ ). Însumând aceste relații:
$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = a(x_1 + x_2 + x_3) - 3(2 + a) = a \cdot 0 - 6 - 3a = -3a - 6$
Egalitatea din enunț devine:
$-3a - 6 = -a \iff -2a = 6 \iff a = -3$
(3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = e^x(2x^2 - 3x)$ .

a) Calculul derivatei (5p)

Arătați că $f'(x) = e^x(2x + 3)(x - 1)$ , pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Derivarea produsului
$f'(x) = (e^x)'(2x^2 - 3x) + e^x(2x^2 - 3x)' = e^x(2x^2 - 3x) + e^x(4x - 3)$
(3 puncte)
Factorizarea expresiei derivatei
$f'(x) = e^x(2x^2 - 3x + 4x - 3) = e^x(2x^2 + x - 3) = e^x(2x + 3)(x - 1)$
pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

(2 puncte)

b) Calcul de limită (5p)

Arătați că:

\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x}{f(x) + x} = 2

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Împărțirea numărătorului și a numitorului prin $x$

Deoarece $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} e^x(2x - 3) = -3$ :
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x}{f(x) + x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{f(x)}{x} - 1}{\frac{f(x)}{x} + 1}$
(2 puncte)
Evaluarea limitei
$\frac{-3 - 1}{-3 + 1} = \frac{-4}{-2} = 2$
(3 puncte)

c) Puncte cu tangenta orizontală (5p)

Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = a$ , situat pe graficul funcției $f$ , are panta egală cu $0$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Condiția de pantă nulă

Panta tangentei este $m = f'(a) = 0$ :
$e^a(2a + 3)(a - 1) = 0$
(3 puncte)
Determinarea soluțiilor

Cum $e^a > 0$ pentru orice $a \in \mathbb{R}$ :
$2a + 3 = 0 \implies a = -\frac{3}{2} \quad \text{sau} \quad a - 1 = 0 \implies a = 1$
(2 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral

Se consideră funcția $f: (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ , $f(x) = (2x^2 + 4x)\sqrt{x + 1}$ .

a) Calcul integrală simplă (5p)

Arătați că:

\int_0^3 \frac{f(x)}{\sqrt{x + 1}} \, dx = 36

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Simplificarea integrandului
$\int_0^3 \frac{(2x^2 + 4x)\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}} \, dx = \int_0^3 (2x^2 + 4x) \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + 2x^2 \right]_0^3$
(3 puncte)
Calculul numeric
$\left( \frac{2 \cdot 27}{3} + 2 \cdot 9 \right) - 0 = 18 + 18 = 36$
(2 puncte)

b) Calcul integrală rațională (5p)

Arătați că:

\int_3^8 \frac{x^2 + 2x}{f(x)} \, dx = 1

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Simplificarea integrandului și determinarea primitivei

Deoarece $f(x) = 2(x^2 + 2x)\sqrt{x + 1}$ :
$\int_3^8 \frac{x^2 + 2x}{2(x^2 + 2x)\sqrt{x + 1}} \, dx = \int_3^8 \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \, dx = \left[ \sqrt{x + 1} \right]_3^8$
(3 puncte)
Evaluarea limitelor de integrare
$\sqrt{8 + 1} - \sqrt{3 + 1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$
(2 puncte)

c) Aria suprafeței plane (5p)

Se consideră funcția $g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ , $g(x) = \frac{4\sqrt{x + 1}}{f(x)}$ . Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = 4$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Exprimarea funcției $g(x)$ și descompunerea în fracții simple

Avem $g(x) = \frac{4\sqrt{x + 1}}{(2x^2 + 4x)\sqrt{x + 1}} = \frac{2}{x(x + 2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}$ . Aria căutată este:
$\mathcal{A} = \int_1^4 g(x) \, dx = \int_1^4 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}\right) \, dx = \left[ \ln \frac{x}{x + 2} \right]_1^4$
(3 puncte)
Evaluarea numerică
$\ln \frac{4}{6} - \ln \frac{1}{3} = \ln \frac{2}{3} + \ln 3 = \ln \left( \frac{2}{3} \cdot 3 \right) = \ln 2$
(2 puncte)

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcule cu Numere Zecimale (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Punct pe Graficul Funcției (5p)

Barem și Etape de Calcul:

3. Ecuație Logaritmică (5p)

Barem și Etape de Calcul:

4. Probabilități (5p)

Barem și Etape de Calcul:

5. Geometrie Analitică (5p)

Barem și Etape de Calcul:

6. Trigonometrie (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți

a) Calcul determinant (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Ecuație matriceală (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Aflarea matricei XXX (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Polinoame

a) Valoarea în 111 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Divizibilitatea cu X+2X + 2X+2 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Relație între rădăcini (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial

a) Calculul derivatei (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Calcul de limită (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Puncte cu tangenta orizontală (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Analiză Matematică - Calcul Integral

a) Calcul integrală simplă (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Calcul integrală rațională (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Aria suprafeței plane (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Aflarea matricei $X$ (5p)

a) Valoarea în $1$ (5p)

b) Divizibilitatea cu $X + 2$ (5p)