BACEduHub
matematicaȘtiințele Naturii (M2)Anul 2026Sesiune Specială (Olimpici)

Bacalaureat 2026 - Matematică Științele Naturii (M2) - Sesiune Specială (Olimpici)

Descarcă Subiect PDFDescarcă Barem PDF
Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Radicali și Numere Reale (5p)

Arătați că:

22(3+2)+3(1−22)=72\sqrt{2}(3 + \sqrt{2}) + 3(1 - 2\sqrt{2}) = 7
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Efectuarea înmulțirilor

    22(3+2)+3(1−22)=62+2⋅2+3−622\sqrt{2}(3 + \sqrt{2}) + 3(1 - 2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} + 2 \cdot 2 + 3 - 6\sqrt{2}

    (3 puncte)

  2. Reducerea termenilor asemenea

    Termenii cu radical se reduc (62−62=06\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 0):

    4+3=74 + 3 = 7

    (2 puncte)

2. Ecuații cu Funcții (5p)

Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−10f(x) = 3x - 10. Determinați numărul real aa pentru care:

f(2a)=f(a)−3f(2a) = f(a) - 3
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Exprimarea valorilor funcției

    Calculăm f(2a)f(2a) și f(a)f(a):

    f(2a)=3(2a)−10=6a−10f(2a) = 3(2a) - 10 = 6a - 10 f(a)=3a−10f(a) = 3a - 10

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Înlocuim în relația dată:

    6a−10=(3a−10)−3  ⟺  6a−10=3a−13  ⟺  3a=−3  ⟺  a=−16a - 10 = (3a - 10) - 3 \iff 6a - 10 = 3a - 13 \iff 3a = -3 \iff a = -1

    (3 puncte)

3. Ecuație Irațională (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

4x2−6x+5=x3\sqrt{4x^2 - 6x + 5} = x\sqrt{3}
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Condiția de existență și ridicarea la pătrat

    Deoarece membrul stâng este un radical de ordin par, se impune x3≥0  ⟺  x≥0x\sqrt{3} \ge 0 \iff x \ge 0. Ridicând la pătrat ambii membri:

    4x2−6x+5=3x2  ⟺  x2−6x+5=04x^2 - 6x + 5 = 3x^2 \iff x^2 - 6x + 5 = 0

    (3 puncte)

  2. Aflarea soluțiilor și verificarea condiției

    Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:

    (x−1)(x−5)=0  ⟹  x1=1,x2=5(x - 1)(x - 5) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 5

    Ambele valori verifică condiția x≥0x \ge 0, deci soluțiile ecuației sunt x=1x = 1 și x=5x = 5.

    (2 puncte)

4. Probabilități (5p)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor cel mult egală cu 33.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Numărul cazurilor posibile

    Mulțimea numerelor de două cifre are:

    99−10+1=90 cazuri posibile99 - 10 + 1 = 90 \text{ cazuri posibile}

    (2 puncte)

  2. Numărul cazurilor favorabile și probabilitatea

    Numerele de două cifre ab‾\overline{ab} cu a+b≤3a + b \le 3 (a∈{1,2,…,9},b∈{0,1,…,9}a \in \{1,2,\ldots,9\}, b \in \{0,1,\dots,9\}):

    • a=1  ⟹  b∈{0,1,2}  ⟹  10,11,12a = 1 \implies b \in \{0, 1, 2\} \implies 10, 11, 12 (33 numere)
    • a=2  ⟹  b∈{0,1}  ⟹  20,21a = 2 \implies b \in \{0, 1\} \implies 20, 21 (22 numere)
    • a=3  ⟹  b∈{0}  ⟹  30a = 3 \implies b \in \{0\} \implies 30 (11 număr)

    În total sunt 3+2+1=63 + 2 + 1 = 6 cazuri favorabile.

    p=690=115p = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}

    (3 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,3)A(0,3), B(1,5)B(1,5) și C(6,0)C(6,0). Arătați că triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul pantei dreptei ABAB

    mAB=yB−yAxB−xA=5−31−0=21=2m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 3}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2

    (2 puncte)

  2. Calculul pantei dreptei ACAC și condiția de perpendicularitate

    mAC=yC−yAxC−xA=0−36−0=−36=−12m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{0 - 3}{6 - 0} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}

    Deoarece:

    mAB⋅mAC=2⋅(−12)=−1m_{AB} \cdot m_{AC} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

    dreptele ABAB și ACAC sunt perpendiculare, deci triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA.

    (3 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Se consideră expresia E(x)=cos⁡x⋅sin⁡3x−sin⁡2xE(x) = \cos x \cdot \sin 3x - \sin 2x, unde xx este număr real. Arătați că E(π6)=0E\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul valorilor trigonometrice pentru x=π6x = \frac{\pi}{6}

    cos⁡π6=32,sin⁡(3⋅π6)=sin⁡π2=1,sin⁡(2⋅π6)=sin⁡π3=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1, \quad \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    (3 puncte)

  2. Înlocuirea în expresie

    E(π6)=32⋅1−32=0E\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0

    (2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți

Se consideră matricele:

I2=(1001)șiA(x)=(2x+104xx+1)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad A(x) = \begin{pmatrix} 2x + 1 & 0 \\ 4x & x + 1 \end{pmatrix}

unde xx este număr real.

a) Calcul determinant (5p)

Arătați că det⁡(A(1))=6\det(A(1)) = 6.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Construirea matricei A(1)A(1)

    A(1)=(2⋅1+104⋅11+1)=(3042)A(1) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 & 0 \\ 4 \cdot 1 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Calculul determinantului

    det⁡(A(1))=3⋅2−0⋅4=6−0=6\det(A(1)) = 3 \cdot 2 - 0 \cdot 4 = 6 - 0 = 6

    (2 puncte)

b) Ecuație matriceală (5p)

Determinați numărul real xx pentru care:

(A(1)−2I2)⋅(A(−2)−4I2)=A(x)(A(1) - 2I_2) \cdot (A(-2) - 4I_2) = A(x)
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul parantezelor și al produsului

    Calculăm matricele paranteză:

    A(1)−2I2=(1040)A(1) - 2I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} A(−2)−4I2=(−70−8−5)A(-2) - 4I_2 = \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ -8 & -5 \end{pmatrix}

    Produsul celor două matrice este:

    (A(1)−2I2)⋅(A(−2)−4I2)=(−130−28−6)=A(−7)(A(1) - 2I_2) \cdot (A(-2) - 4I_2) = \begin{pmatrix} -13 & 0 \\ -28 & -6 \end{pmatrix} = A(-7)

    (2 puncte)

  2. Identificarea valorii lui xx

    Din forma matricei A(x)A(x):

    A(x)=(2x+104xx+1)A(x) = \begin{pmatrix} 2x + 1 & 0 \\ 4x & x + 1 \end{pmatrix} 2x+1=−13  ⟹  2x=−14  ⟹  x=−72x + 1 = -13 \implies 2x = -14 \implies x = -7

    (3 puncte)

c) Inegalitate determinant (5p)

Demonstrați că:

det⁡(A(x)+A(1x)−2I2)≥8\det\left(A(x) + A\left(\frac{1}{x}\right) - 2I_2\right) \ge 8

pentru orice număr real nenul xx.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul matricei sumă și al determinantului

    A(x)+A(1x)−2I2=(2(x+1x)04(x+1x)x+1x)A(x) + A\left(\frac{1}{x}\right) - 2I_2 = \begin{pmatrix} 2\left(x + \frac{1}{x}\right) & 0 \\ 4\left(x + \frac{1}{x}\right) & x + \frac{1}{x} \end{pmatrix}

    Determinantul este:

    det⁡(A(x)+A(1x)−2I2)=2(x+1x)2\det\left(A(x) + A\left(\frac{1}{x}\right) - 2I_2\right) = 2\left(x + \frac{1}{x}\right)^2

    (2 puncte)

  2. Demonstrarea inegalității

    Pentru orice număr real nenul xx, ∣x+1x∣≥2\left|x + \frac{1}{x}\right| \ge 2, deci (x+1x)2≥4\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 \ge 4:

    2(x+1x)2=2(x−1x)2+8≥82\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 2\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 8 \ge 8

    (3 puncte)

2. Legi de Compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:

x∗y=x2−xy−2x+2y+1x * y = x^2 - xy - 2x + 2y + 1

a) Verificare calcul (5p)

Arătați că 1∗1=11 * 1 = 1.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Înlocuirea în formulă

    1∗1=12−1⋅1−2⋅1+2⋅1+11 * 1 = 1^2 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1

    (3 puncte)

  2. Calculul final

    1∗1=1−1−2+2+1=11 * 1 = 1 - 1 - 2 + 2 + 1 = 1

    (2 puncte)

b) Ecuație cu legea de compoziție (5p)

Determinați numerele reale xx pentru care x∘(2x)=1x \circ (2x) = 1.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul compunerii x∘(2x)x \circ (2x)

    Înlocuim y=2xy = 2x în legea de compoziție:

    x∘(2x)=x2−x(2x)−x+2(2x)+1=x2−2x2−x+4x+1=−x2+3x+1x \circ (2x) = x^2 - x(2x) - x + 2(2x) + 1 = x^2 - 2x^2 - x + 4x + 1 = -x^2 + 3x + 1

    (3 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Egalitatea devine:

    −x2+3x+1=1  ⟺  −x2+3x=0  ⟺  x(3−x)=0-x^2 + 3x + 1 = 1 \iff -x^2 + 3x = 0 \iff x(3 - x) = 0

    de unde obținem soluțiile x=0x = 0 sau x=3x = 3.

    (2 puncte)

c) Perechi de numere naturale (5p)

Determinați perechile (m,n)(m,n) de numere naturale pentru care m∗n=mm * n = m.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Rescrierea ecuației

    m2−mn−2m+2n+1=m  ⟺  m2−mn−3m+2n+1=0m^2 - mn - 2m + 2n + 1 = m \iff m^2 - mn - 3m + 2n + 1 = 0

    Grupând termenii:

    (m−2)(m−n−1)=−1  ⟺  (m−2)(n−m+1)=1(m - 2)(m - n - 1) = -1 \iff (m - 2)(n - m + 1) = 1

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea în mulțimea numerelor naturale N\mathbb{N}

    Deoarece m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, divizorii întregi posibili sunt ±1\pm 1:

    • m−2=−1  ⟹  m=1m - 2 = -1 \implies m = 1, iar n−1+1=−1  ⟹  n=0  ⟹  (1,0)n - 1 + 1 = -1 \implies n = 0 \implies (1,0)
    • m−2=1  ⟹  m=3m - 2 = 1 \implies m = 3, iar n−3+1=1  ⟹  n=4  ⟹  (3,4)n - 3 + 1 = 1 \implies n = 4 \implies (3,4)

    Perechile căutate sunt (1,0)(1,0) și (3,4)(3,4).

    (3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf: (0,+\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(x−1)x+2xf(x) = (x - 1)\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}.

a) Calculul derivatei (5p)

Arătați că f′(x)=3x2−x−22xxf'(x) = \frac{3x^2 - x - 2}{2x\sqrt{x}}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0,+\infty).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul derivatei funcției

    Rescriem f(x)=x3/2−x1/2+2x−1/2f(x) = x^{3/2} - x^{1/2} + 2x^{-1/2}:

    f′(x)=32x1/2−12x−1/2−x−3/2=3x2−12x−1xxf'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-1/2} - x^{-3/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x\sqrt{x}}

    (3 puncte)

  2. Aducerea la numitorul comun 2xx2x\sqrt{x}

    f′(x)=3x2−x−22xxf'(x) = \frac{3x^2 - x - 2}{2x\sqrt{x}}

    pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0,+\infty).

    (2 puncte)

b) Calcul de limită (5p)

Arătați că:

lim⁡x→1x⋅f′(x)5x−5=12\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \cdot f'(x)}{5x - 5} = \frac{1}{2}
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Substituirea derivatei și factorizarea numărătorului

    Deoarece x⋅f′(x)=3x2−x−22x\sqrt{x} \cdot f'(x) = \frac{3x^2 - x - 2}{2x} și 3x2−x−2=(x−1)(3x+2)3x^2 - x - 2 = (x - 1)(3x + 2):

    x⋅f′(x)5x−5=(x−1)(3x+2)2x⋅5(x−1)=3x+210x\frac{\sqrt{x} \cdot f'(x)}{5x - 5} = \frac{(x - 1)(3x + 2)}{2x \cdot 5(x - 1)} = \frac{3x + 2}{10x}

    (3 puncte)

  2. Calculul limitei

    lim⁡x→13x+210x=3(1)+210(1)=510=12\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{10x} = \frac{3(1) + 2}{10(1)} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

    (2 puncte)

c) Imaginea funcției (5p)

Determinați imaginea funcției ff.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Punctul de extrem și monotonia funcției

    f′(x)=(x−1)(3x+2)2xx=0  ⟺  x=1f'(x) = \frac{(x - 1)(3x + 2)}{2x\sqrt{x}} = 0 \iff x = 1 (deoarece x>0x > 0):

    • Pentru x∈(0,1]x \in (0, 1], f′(x)≤0f'(x) \le 0, deci funcția ff este strict descrescătoare.
    • Pentru x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \ge 0, deci funcția ff este strict crescătoare.

    (2 puncte)

  2. Calculul minimului absolut și al limitelor la capete

    Punctul de minim absolut este x=1x = 1, cu:

    f(1)=(1−1)1+21=0+2=2f(1) = (1 - 1)\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}} = 0 + 2 = 2

    Deoarece lim⁡x→0,x>0f(x)=+∞\lim_{x \to 0, x > 0} f(x) = +\infty și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, iar funcția ff este continuă pe (0,+∞)(0,+\infty), rezultă:

    Im(f)=[2,+∞)\text{Im}(f) = [2, +\infty)

    (3 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral

Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x2+x)exf(x) = (x^2 + x)e^x.

a) Calcul integrală simplă (5p)

Arătați că:

∫01f(x)ex dx=56\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} \, dx = \frac{5}{6}
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Simplificarea fracției de sub integrală

    ∫01(x2+x)exex dx=∫01(x2+x) dx=[x33+x22]01\int_0^1 \frac{(x^2 + x)e^x}{e^x} \, dx = \int_0^1 (x^2 + x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    13+12=2+36=56\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}

    (2 puncte)

b) Calcul integrală prin părți (5p)

Arătați că:

∫12f(x)x dx=e(2e−1)\int_1^2 \frac{f(x)}{x} \, dx = e(2e - 1)
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Simplificarea integrandului

    ∫12(x2+x)exx dx=∫12(x+1)ex dx\int_1^2 \frac{(x^2 + x)e^x}{x} \, dx = \int_1^2 (x + 1)e^x \, dx

    Folosind formula de integrare prin părți sau observând că ((x+1)ex)′=(x+2)ex((x + 1)e^x)' = (x + 2)e^x și ∫(x+1)ex dx=xex\int (x + 1)e^x \, dx = xe^x:

    ∫12(x+1)ex dx=[xex]12\int_1^2 (x + 1)e^x \, dx = \left[ xe^x \right]_1^2

    (3 puncte)

  2. Evaluarea limitelor de integrare

    2e2−1e1=e(2e−1)2e^2 - 1e^1 = e(2e - 1)

    (2 puncte)

c) Determinarea parametrului aa (5p)

Determinați numărul real aa pentru care:

∫24xf(x)f(x−1) dx=ae(5+ln⁡3)\int_2^4 \frac{xf(x)}{f(x - 1)} \, dx = ae(5 + \ln 3)
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Simplificarea raportului integrat

    Deoarece f(x)=x(x+1)exf(x) = x(x + 1)e^x, avem f(x−1)=(x−1)xex−1f(x - 1) = (x - 1)xe^{x - 1}:

    xf(x)f(x−1)=x⋅x(x+1)ex(x−1)xex−1=e⋅x(x+1)x−1=e(x+2+2x−1)\frac{xf(x)}{f(x - 1)} = \frac{x \cdot x(x + 1)e^x}{(x - 1)xe^{x - 1}} = e \cdot \frac{x(x + 1)}{x - 1} = e \left( x + 2 + \frac{2}{x - 1} \right)

    (3 puncte)

  2. Calculul integralei și identificarea valorii lui aa

    Calculăm integrala:

    ∫24(x+2+2x−1) dx=[x22+2x+2ln⁡(x−1)]24=(8+8+2ln⁡3)−(2+4+0)=2(5+ln⁡3)\int_2^4 \left( x + 2 + \frac{2}{x - 1} \right) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x + 2\ln(x - 1) \right]_2^4 = (8 + 8 + 2\ln 3) - (2 + 4 + 0) = 2(5 + \ln 3)

    Rezultă:

    ∫24xf(x)f(x−1) dx=2e(5+ln⁡3)  ⟹  a=2\int_2^4 \frac{xf(x)}{f(x - 1)} \, dx = 2e(5 + \ln 3) \implies a = 2

    (2 puncte)