Barem și Etape de Calcul:

1. Aflarea rației progresiei aritmetice

   Folosim formula termenului general $a_3 = a_1 + 2r$:

   $$2r = a_3 - a_1 \iff 2r = 14 - 2 = 12 \implies r = 6$$

   unde $r$ este rația progresiei aritmetice.

   (3 puncte)

2. Calcularea termenului $a_4$

   $$a_4 = a_3 + r = 14 + 6 = 20$$

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă:

Folosind formula generală direct din primul termen: $a_4 = a_1 + 3r = 2 + 3 \cdot 6 = 2 + 18 = 20$.

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calcularea valorilor funcției

   Calculăm valoarea în origine și funcția compusă:

   $$f(0) = a \cdot 0 + 3 = 3$$ $$(f \circ f)(0) = f(f(0)) = f(3) = 3a + 3$$

   pentru orice număr real $a$.

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației

   Înlocuim în relația dată:

   $$(3a + 3) + 3 = 0 \iff 3a + 6 = 0 \implies 3a = -6 \implies a = -2$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Darea factorului comun

   Scriem $5^x = 5^{x-2} \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^{x-2}$ și dăm factor comun pe $5^{x-2}$:

   $$5^{x-2}(25 - 4) = 105 \iff 21 \cdot 5^{x-2} = 105$$

   (3 puncte)

2. Determinarea soluției

   Împărțim prin $21$:

   $$5^{x-2} = \frac{105}{21} = 5 \iff 5^{x-2} = 5^1 \implies x - 2 = 1 \implies x = 3$$

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă:

Notăm $5^{x-2} = t > 0$. Ecuația devine $25t - 4t = 105 \implies 21t = 105 \implies t = 5 \implies 5^{x-2} = 5 \implies x = 3$.

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Alegerea cifrei unităților

   Fie numărul $\overline{abc}$ cu cifre distincte din $A = \{1, 2, 3, 9\}$.

   Numărul este impar dacă și numai dacă cifra unităților $c$ este impară. Cifrele impare din mulțimea $A$ sunt $1, 3, 9$.

   Așadar, cifra unităților se poate alege în $3$ moduri.

   (2 puncte)

2. Alegerea celorlalte cifre și calculul totalului

   Pentru fiecare alegere a cifrei unităților $c$:

   • Cifra sutelor $a$ se poate alege din cele $3$ cifre rămase în mulțimea $A \setminus \{c\}$ ($3$ moduri);
   • Cifra zecilor $b$ se poate alege din cele $2$ cifre rămase în mulțimea $A \setminus \{a, c\}$ ($2$ moduri).

   Conform regulii produsului, numărul total de astfel de numere este:

   $$N = 3 \times 3 \times 2 = 18$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Coordonatele mijlocului segmentului $AB$

   Fie $M$ mijlocul segmentului $AB$:

   $$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$ $$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2$$

   Deci $M(3, 2)$ este mijlocul segmentului $AB$.

   (3 puncte)

2. Apartenența la dreaptă

   Punctul $M$ aparține dreptei $d$ dacă și numai dacă coordonatele sale verifică ecuația dreptei:

   $$2 \cdot 3 + a \cdot 2 = 0 \iff 6 + 2a = 0 \implies 2a = -6 \implies a = -3$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Aflarea laturilor triunghiului dreptunghic

   În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\angle C = 30^\circ$:

   $$AB = BC \cdot \sin C = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$ $$AC = BC \cdot \cos C = 12 \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$

   (2 puncte)

2. Calculul lungimii $BM$

   Din $3AM = AC$ rezultă:

   $$AM = \frac{AC}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

   Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $\triangle ABM$:

   $$BM^2 = AB^2 + AM^2 = 6^2 + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 12 = 48$$ $$BM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul determinantului $\det(A(1))$

1. Scrierea matricei $A(1)$

   Pentru $a = 1$:

   $$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

   (3 puncte)

2. Calcularea determinantului

   $$\det(A(1)) = 1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) = 0 + 1 = 1$$

   (2 puncte)

b) Demonstrarea identității matriceale

1. Calculul produsului $A(a)A(b)$

   $$A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ -a & 1 - a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & b \\ -b & 1 - b \end{pmatrix}$$ $$A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 1 - ab & b + a(1 - b) \\ -a - b(1 - a) & -ab + (1 - a)(1 - b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - ab & a + b - ab \\ -(a + b - ab) & 1 - a - b \end{pmatrix}$$

   (3 puncte)

2. Scăderea din $A(a + b)$ și factorizarea

   Matricea $A(a + b)$ este:

   $$A(a + b) = \begin{pmatrix} 1 & a + b \\ -(a + b) & 1 - (a + b) \end{pmatrix}$$

   Obținem:

   $$A(a + b) - A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 1 - (1 - ab) & (a + b) - (a + b - ab) \\ -(a + b) - (-(a + b - ab)) & 1 - a - b - (1 - a - b) \end{pmatrix}$$ $$A(a + b) - A(a)A(b) = \begin{pmatrix} ab & ab \\ -ab & 0 \end{pmatrix} = ab \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = ab A(1)$$

   pentru orice numere reale $a$ și $b$.

   (2 puncte)

c) Rezolvarea ecuației matriceale

1. Aplicarea identității demonstrate la subpunctul b)

   Folosind relația $A(x + y) - A(x)A(y) = xy A(1)$:

   • Pentru $x = a, y = a$:
   $$A(2a) - A(a)A(a) = a \cdot a A(1) = a^2 A(1)$$
   • Pentru $x = 1, y = 2a - 1$, avem $x + y = 1 + (2a - 1) = 2a$, deci:
   $$A(2a) - A(1)A(2a - 1) = 1 \cdot (2a - 1) A(1) = (2a - 1)A(1)$$

   Membrul stâng al ecuației devine:

   $$(A(2a) - A(a)A(a)) - (A(2a) - A(1)A(2a - 1)) = a^2 A(1) + (2a - 1)A(1) = (a^2 + 2a - 1)A(1)$$

   (2 puncte)

2. Identificarea coeficienților și găsirea rădăcinilor

   Ecuația devine:

   $$(a^2 + 2a - 1)A(1) = 2A(1)$$

   Deoarece $A(1) \neq O_2$, egalitatea are loc dacă și numai dacă scalarii sunt egali:

   $$a^2 + 2a - 1 = 2 \iff a^2 + 2a - 3 = 0$$ $$(a + 3)(a - 1) = 0 \implies a = -3 \quad \text{sau} \quad a = 1$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul direct

1. Înlocuirea valorilor în lege

   $$7 * 8 = \frac{1}{6}(7 - 5)(8 - 5) + 5$$

   (3 puncte)

2. Finalizarea calculului

   $$7 * 8 = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 3 + 5 = \frac{6}{6} + 5 = 1 + 5 = 6$$

   (2 puncte)

b) Rezolvarea ecuației $x * (6x - 1) = 10$

1. Exprimarea membrului stâng

   Observăm că $(6x - 1) - 5 = 6x - 6 = 6(x - 1)$:

   $$x * (6x - 1) = \frac{1}{6}(x - 5)(6x - 6) + 5 = \frac{1}{6}(x - 5) \cdot 6(x - 1) + 5$$ $$= (x - 5)(x - 1) + 5 = x^2 - 6x + 5 + 5 = x^2 - 6x + 10$$

   pentru orice număr real $x$.

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea

   $$x^2 - 6x + 10 = 10 \iff x^2 - 6x = 0 \iff x(x - 6) = 0$$

   Obținem soluțiile reale:

   $$x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 6$$

   (2 puncte)

c) Determinarea numerelor $n$ cu simetrice naturale pare

1. Determinarea formulei simetricului $n'$

   Elementul neutru este $e = 11$. Fie $n'$ simetricul lui $n$:

   $$n * n' = 11 \iff \frac{1}{6}(n - 5)(n' - 5) + 5 = 11 \iff \frac{1}{6}(n - 5)(n' - 5) = 6$$ $$(n - 5)(n' - 5) = 36 \implies n' = 5 + \frac{36}{n - 5}$$

   (2 puncte)

2. Analiza parității și determinarea valorilor lui $n$

   Cum $n, n' \in \mathbb{N}$, $n \neq 5$, raportul $\frac{36}{n - 5}$ trebuie să fie număr întreg cu $n' = 5 + \frac{36}{n - 5} \ge 0$.

   Pentru ca $n'$ să fie număr par, termenul $\frac{36}{n - 5}$ trebuie să fie impar (deoarece $5 + \text{impar} = \text{par}$).

   Divizorii $d = n - 5$ ai lui $36$ pentru care $\frac{36}{d}$ este impar sunt divizorii multipli de $4$ (deoarece $36 = 4 \times 9$):

   $$d \in \{\pm 4, \pm 12, \pm 36\}$$

   Analizăm fiecare caz:

   • $n - 5 = 4 \implies n = 9 \in \mathbb{N}$, iar $n' = 5 + 9 = 14$ (par, convine);
   • $n - 5 = -4 \implies n = 1 \in \mathbb{N}$, dar $n' = 5 - 9 = -4 \notin \mathbb{N}$ (nu convine);
   • $n - 5 = 12 \implies n = 17 \in \mathbb{N}$, iar $n' = 5 + 3 = 8$ (par, convine);
   • $n - 5 = -12 \implies n = -7 \notin \mathbb{N}$ (nu convine);
   • $n - 5 = 36 \implies n = 41 \in \mathbb{N}$, iar $n' = 5 + 1 = 6$ (par, convine);
   • $n - 5 = -36 \implies n = -31 \notin \mathbb{N}$ (nu convine).

   Așadar, numerele naturale căutate sunt:

   $$n \in \{9, 17, 41\}$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul derivatei $f'(x)$

1. Derivarea termen cu termen

   $$f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' - (1)' + 4(\ln(x + 3))' = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x + 3}$$

   (3 puncte)

2. Aducerea la numitor comun și descompunerea

   $$f'(x) = \frac{-(x + 3) + 4x^2}{x^2(x + 3)} = \frac{4x^2 - x - 3}{x^2(x + 3)}$$

   Descompunem trinomul $4x^2 - x - 3$: rădăcinile ecuației $4x^2 - x - 3 = 0$ sunt $x_1 = 1$ și $x_2 = -\frac{3}{4}$, deci:

   $$4x^2 - x - 3 = 4(x - 1)\left(x + \frac{3}{4}\right) = (x - 1)(4x + 3)$$

   Rezultă:

   $$f'(x) = \frac{(x - 1)(4x + 3)}{x^2(x + 3)}, \quad x \in (0, \infty)$$

   (2 puncte)

b) Calculul limitei

1. Simplificarea raportului

   Observăm că $f(x) - 4\ln(x + 3) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$:

   $$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 4\ln(x + 3)}{\ln x} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\ln x} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x - 1)}{x \ln x}$$

   (3 puncte)

2. Calculul limitei fundamentale

   Separăm limita cunoscută $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln x} = 1$:

   $$\lim_{x \to 1} \left(-\frac{x - 1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}\right) = -1 \cdot \frac{1}{1} = -1$$

   (2 puncte)

c) Demonstrarea inegalității

1. Studiul monotoniei funcției $f$

   Pentru orice $x \in (0, 1]$, avem $x - 1 \le 0$, iar factorii $4x + 3 > 0$, $x^2 > 0$ și $x + 3 > 0$.

   Prin urmare:

   $$f'(x) \le 0, \quad \text{pentru orice } x \in (0, 1]$$

   ceea ce arată că funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $(0, 1]$.

   (2 puncte)

2. Compararea argumentelor $x^2$ și $x$

   Pentru orice $x \in (0, 1]$, avem $x^2 \le x$.

   Cum $x^2, x \in (0, 1]$ și $f$ este descrescătoare, inegalitatea se inversează:

   $$x^2 \le x \implies f(x^2) \ge f(x)$$

   Scriem valorile funcției:

   $$\frac{1}{x^2} - 1 + 4\ln(x^2 + 3) \ge \frac{1}{x} - 1 + 4\ln(x + 3)$$

   Reducem termenul $-1$ din ambii membri:

   $$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} \ge 4\ln(x + 3) - 4\ln(x^2 + 3) \iff \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} \ge 4\ln\frac{x + 3}{x^2 + 3}$$

   pentru orice $x \in (0, 1]$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul integralei $\int_0^3 f(x)e^x \, dx$

1. Simplificarea integrandului și integrarea

   $$f(x)e^x = (x^2 + 4x)e^{-x}e^x = x^2 + 4x$$ $$\int_0^3 f(x)e^x \, dx = \int_0^3 (x^2 + 4x) \, dx = \left(\frac{x^3}{3} + 2x^2\right) \Bigg|_0^3$$

   (3 puncte)

2. Calculul numeric

   $$\left(\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2\right) - 0 = 9 + 18 = 27$$

   (2 puncte)

b) Calculul integralei $\int_{-1}^0 \frac{f(x)}{x + 4} \, dx$

1. Simplificarea fracției și integrarea prin părți

   Cum $f(x) = x(x + 4)e^{-x}$, pentru $x \neq -4$:

   $$\frac{f(x)}{x + 4} = xe^{-x}$$

   Integrăm prin părți cu $u(x) = x \implies u'(x) = 1$ și $v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$:

   $$\int_{-1}^0 xe^{-x} \, dx = -xe^{-x} \Bigg|_{-1}^0 - \int_{-1}^0 (-e^{-x}) \, dx = -xe^{-x} \Bigg|_{-1}^0 - e^{-x} \Bigg|_{-1}^0$$

   (3 puncte)

2. Calculul valorilor

   $$\left(0 - (-(-1)e^1)\right) - (e^0 - e^1) = -e - (1 - e) = -e - 1 + e = -1$$

   (2 puncte)

c) Demonstrarea concavității primitivei $G$

1. Exprimarea funcției $g$ și a primei derivate $G'$

   Pentru $x > 0$:

   $$f(x^2) = ((x^2)^2 + 4x^2)e^{-x^2} = (x^4 + 4x^2)e^{-x^2} = x^2(x^2 + 4)e^{-x^2}$$ $$g(x) = \frac{f(x^2)}{x^2} = (x^2 + 4)e^{-x^2}$$

   Cum $G$ este o primitivă a funcției $g$, avem $G'(x) = g(x) = (x^2 + 4)e^{-x^2}$ pentru orice $x \in (0, \infty)$.

   Calculăm a doua derivată $G''(x) = g'(x)$:

   $$G''(x) = (x^2 + 4)' e^{-x^2} + (x^2 + 4)(e^{-x^2})' = 2x e^{-x^2} + (x^2 + 4)(-2x)e^{-x^2}$$

   (3 puncte)

2. Studiul semnului lui $G''(x)$ și concluzia

   Dăm factor comun pe $2x e^{-x^2}$:

   $$G''(x) = 2x e^{-x^2}\left[1 - (x^2 + 4)\right] = 2x e^{-x^2}(-x^2 - 3) = -2x(x^2 + 3)e^{-x^2}$$

   Pentru orice $x \in (0, \infty)$:

   • $x > 0$;
   • $x^2 + 3 > 0$;
   • $e^{-x^2} > 0$.

   Prin urmare:

   $$G''(x) < 0, \quad \text{pentru orice } x \in (0, \infty)$$

   ceea ce demonstrează că funcția $G$ este concavă pe intervalul $(0, \infty)$.

   (2 puncte)