matematicaȘtiințele Naturii (M2)Anul 2026Model Oficial

Bacalaureat 2026 - Matematică Științele Naturii (M2) - Model Oficial

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Numere Complexe (5p)

Se consideră numerele complexe $z_1 = 4 - 3i$ și $z_2 = 1 - 2i$ . Arătați că:

z_1 + 3iz_2 = 10

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul produsului $3iz_2$ și înlocuirea în expresie

Înlocuim $z_1 = 4 - 3i$ și $z_2 = 1 - 2i$ :
$z_1 + 3iz_2 = (4 - 3i) + 3i(1 - 2i) = 4 - 3i + 3i - 6i^2$
(2 puncte)
Folosirea relației $i^2 = -1$ și finalizarea calculului

Termenii imaginari se reduc: $-3i + 3i = 0$ , iar $-6i^2 = -6(-1) = 6$ :
$4 + 6 = 10$
(3 puncte)

2. Ecuații cu Funcții (5p)

Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 3 - x$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $g(x) = 2x + 1$ . Determinați numărul real $a$ pentru care:

f(a) = 3a + g(3)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul valorilor $g(3)$ și $f(a)$

Avem:
$g(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \quad \text{și} \quad f(a) = 3 - a$
(2 puncte)
Rezolvarea ecuației în $a$

Ecuația devine:
$3 - a = 3a + 7 \iff 4a = -4 \iff a = -1$
(3 puncte)

3. Ecuație Logaritmică (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

\log_4(x^2 + 4) = \log_4 x + \log_4 5

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Condiții de existență și aplicarea proprietăților logaritmilor

Condiția de existență a logaritmilor este $x > 0$ (termenul $x^2 + 4 > 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$ ).

Aplicând proprietatea sumei logaritmilor, obținem:
$\log_4(x^2 + 4) = \log_4(5x) \iff x^2 - 5x + 4 = 0$
(3 puncte)
Determinarea soluțiilor

Rezolvând ecuația de gradul al doilea:
$\Delta = 25 - 16 = 9 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 4$
Ambele valori sunt strict pozitive, deci convin.

(2 puncte)

4. Probabilități (5p)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $4$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Numărul cazurilor posibile

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10, 11, \ldots, 99\}$ și are:
$99 - 10 + 1 = 90 \text{ cazuri posibile}$
(2 puncte)
Numărul cazurilor favorabile și probabilitatea

Căutăm numerele $\overline{ab}$ cu $a \cdot b = 4$ , unde $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ și $b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ :
- $1 \cdot 4 = 4 \implies 14$
- $2 \cdot 2 = 4 \implies 22$
- $4 \cdot 1 = 4 \implies 41$
Sunt $3$ cazuri favorabile, deci probabilitatea este:
$p = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$
(3 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,8)$ , $B(0,4)$ și $C(a,b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că segmentele $OA$ și $BC$ au același mijloc.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Coordonatele mijlocului segmentului $OA$

Originea este $O(0,0)$ , iar $A(2,8)$ . Mijlocul $M$ al segmentului $OA$ are coordonatele:
$x_M = \frac{0 + 2}{2} = 1, \quad y_M = \frac{0 + 8}{2} = 4 \implies M(1,4)$
(2 puncte)
Determinarea numerelor $a$ și $b$ din egalitatea mijloacelor

Punctul $M(1,4)$ este și mijlocul segmentului $BC$ , deci:
$\frac{0 + a}{2} = 1 \implies a = 2$ $\frac{4 + b}{2} = 4 \implies 4 + b = 8 \implies b = 4$
(3 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $C = \frac{\pi}{6}$ . Raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $4$ . Arătați că $AB = 4$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul lungimii ipotenuzei $BC$

În triunghiul dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris:
$BC = 2R = 2 \cdot 4 = 8$
(2 puncte)
Calculul catetei $AB$ prin teorema unghiului de $30^\circ$

Unghiul $C = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$ . Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză:
$AB = BC \cdot \sin C = 8 \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$
(3 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți

Se consideră matricele:

I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad A(x) = \begin{pmatrix} x - 1 & 1 \\ 1 - x & x - 5 \end{pmatrix}

unde $x$ este număr real.

a) Calcul determinant (5p)

Arătați că $\det(A(6)) = 10$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Construirea matricei $A(6)$

Înlocuind $x = 6$ :
$A(6) = \begin{pmatrix} 6 - 1 & 1 \\ 1 - 6 & 6 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$
(3 puncte)
Calculul determinantului
$\det(A(6)) = 5 \cdot 1 - 1 \cdot (-5) = 5 + 5 = 10$
(2 puncte)

b) Ecuație matriceală (5p)

Determinați numărul real $a$ pentru care $A(3) \cdot A(3) = aI_2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul matricei $A(3)$ și a produsului $A(3) \cdot A(3)$

Pentru $x = 3$ :
$A(3) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$
Efectuăm produsul:
$A(3) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_2$
(3 puncte)
Identificarea constantei $a$

Egalitatea $2I_2 = aI_2$ conduce direct la:
$a = 2$
(2 puncte)

c) Proprietate determinant pentru orice $m \in \mathbb{Z}$ (5p)

Demonstrați că numărul $N = \det(A(m) \cdot A(2) - A(m - 1))$ este natural, pentru orice număr întreg $m$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Efectuarea operațiilor din paranteză

Calculând diferența de matrice, obținem:
$N = \det\begin{pmatrix} m - 4 & 0 \\ 0 & m - 5 \end{pmatrix} = (m - 4)(m - 5)$
(3 puncte)
Demonstrarea apartenenței la $\mathbb{N}$

Pentru orice număr întreg $m$ , numerele $m - 4$ și $m - 5$ sunt doi întregi consecutivi. Produsul a doi întregi consecutivi este întotdeauna mai mare sau egal cu $0$ și număr par, deci:
$N = (m - 4)(m - 5) \ge 0 \implies N \in \mathbb{N}$
(2 puncte)

2. Polinoame

Se consideră polinomul $f = X^3 + aX^2 - 2X + 2$ , unde $a$ este număr real.

a) Valoarea în $0$ (5p)

Arătați că $f(0) = 2$ , pentru orice număr real $a$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Înlocuirea nedeterminatei cu $0$
$f(0) = 0^3 + a \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 2$
(3 puncte)
Finalizarea calculului
$f(0) = 0 + 0 - 0 + 2 = 2$
pentru orice număr real $a$ .

(2 puncte)

b) Relații Viète (5p)

Determinați numărul real $a$ pentru care:

x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3 + 1) = 4

unde $x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Scrierea relațiilor lui Viète

Pentru polinomul de gradul al treilea cu coeficientul dominant $1$ :
$x_1 + x_2 + x_3 = -a \quad \text{și} \quad x_1x_2x_3 = -2$
(3 puncte)
Rezolvarea ecuației

Înlocuind în relația dată:
$(-2)(-a + 1) = 4 \implies -a + 1 = -2 \implies a = 3$
(2 puncte)

c) Divizibilitate și restul împărțirii (5p)

Știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X + 1$ , determinați restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X^2 - 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Aflarea parametrului $a$ prin condiția de divizibilitate

$f$ este divizibil cu $X + 1 \iff f(-1) = 0$ :
$(-1)^3 + a(-1)^2 - 2(-1) + 2 = 0 \iff -1 + a + 2 + 2 = 0 \iff a = -3$
(2 puncte)
Determinarea restului împărțirii la $X^2 - 2$

Pentru $a = -3$ , avem $f = X^3 - 3X^2 - 2X + 2$ . Efectuând împărțirea la $X^2 - 2$ :
$X^3 - 3X^2 - 2X + 2 = (X^2 - 2)(X - 3) - 4$
Deci restul împărțirii este:
$R = -4$
(3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = e^x(x^2 + x - 1)$ .

a) Calculul derivatei (5p)

Arătați că $f'(x) = e^x(x^2 + 3x)$ , pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Aplicarea regulii de derivare a produsului
$f'(x) = (e^x)'(x^2 + x - 1) + e^x(x^2 + x - 1)' = e^x(x^2 + x - 1) + e^x(2x + 1)$
(3 puncte)
Reducerea termenilor asemenea
$f'(x) = e^x(x^2 + x - 1 + 2x + 1) = e^x(x^2 + 3x)$
pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

(2 puncte)

b) Calcul de limită (5p)

Arătați că:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x + f(x)}{f'(x)} = \frac{1}{3}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Prelucrarea expresiei limitei

Avem $f(x) = e^x(x^2 + x - 1)$ și $f'(x) = e^x(x^2 + 3x)$ :
$e^x + f(x) = e^x(1 + x^2 + x - 1) = e^x(x^2 + x) = e^x \cdot x(x + 1)$
iar $f'(x) = e^x \cdot x(x + 3)$ . Simplificând prin $x e^x \neq 0$ pentru $x \neq 0$ :
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + f(x)}{f'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x \cdot x(x + 1)}{e^x \cdot x(x + 3)} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 3}$
(3 puncte)
Finalizarea calculului limitei
$\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{0 + 1}{0 + 3} = \frac{1}{3}$
(2 puncte)

c) Demonstrarea inegalității (5p)

Demonstrați că:

e^x(x^2 + x - 1) \le \frac{5}{e^3}

pentru orice $x \in (-\infty, 0]$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Studiul semnului derivatei pe intervalul $(-\infty, 0]$

$f'(x) = e^x \cdot x(x + 3) = 0 \iff x = -3$ sau $x = 0$ .
- Pentru $x \in (-\infty, -3]$ , $f'(x) \ge 0$ , deci $f$ este strict crescătoare.
- Pentru $x \in [-3, 0]$ , $f'(x) \le 0$ , deci $f$ este strict descrescătoare.
(3 puncte)
Punctul de maxim absolut și concluzia

Rezultă că $x = -3$ este punct de maxim absolut al funcției pe intervalul $(-\infty, 0]$ :
$f(x) \le f(-3)$
Calculând valoarea maximă:
$f(-3) = e^{-3}((-3)^2 + (-3) - 1) = e^{-3}(9 - 3 - 1) = 5e^{-3} = \frac{5}{e^3}$
Așadar, $e^x(x^2 + x - 1) \le \frac{5}{e^3}$ pentru orice $x \in (-\infty, 0]$ .

(2 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x + \sqrt{2x^2 + 1}$ .

a) Calcul integrală simplă (5p)

Arătați că:

\int_3^5 \left( f(x) - \sqrt{2x^2 + 1} \right) \, dx = 8

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Simplificarea integrandului
$f(x) - \sqrt{2x^2 + 1} = x + \sqrt{2x^2 + 1} - \sqrt{2x^2 + 1} = x$
Integrala devine:
$\int_3^5 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_3^5$
(3 puncte)
Calculul numeric
$\left[ \frac{x^2}{2} \right]_3^5 = \frac{5^2}{2} - \frac{3^2}{2} = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$
(2 puncte)

b) Calcul integrală rațională (5p)

Arătați că:

\int_1^2 \frac{x}{(f(x) - x)^2} \, dx = \frac{\ln 3}{4}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Exprimarea numitorului și substituția

Deoarece $f(x) - x = \sqrt{2x^2 + 1}$ , avem:
$(f(x) - x)^2 = \left( \sqrt{2x^2 + 1} \right)^2 = 2x^2 + 1$
Integrala devine:
$\int_1^2 \frac{x}{2x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{4} \int_1^2 \frac{(2x^2 + 1)'}{2x^2 + 1} \, dx = \left[ \frac{1}{4} \ln(2x^2 + 1) \right]_1^2$
(3 puncte)
Evaluarea limitelor de integrare
$\frac{1}{4} \ln(2 \cdot 2^2 + 1) - \frac{1}{4} \ln(2 \cdot 1^2 + 1) = \frac{1}{4} \ln 9 - \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln\left( \frac{9}{3} \right) = \frac{\ln 3}{4}$
(2 puncte)

c) Volumul corpului de rotație (5p)

Determinați numărul real $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g: [0,2] \to \mathbb{R}$ , $g(x) = f(x)$ în jurul axei $Ox$ este egal cu $\frac{a\pi}{3}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Formula volumului și dezvoltarea expresiei

Volumul corpului de rotație pentru graficul funcției $g$ este:
$V = \pi \int_0^2 g^2(x) \, dx = \pi \int_0^2 f^2(x) \, dx$
Dezvoltăm $f^2(x) = \left( x + \sqrt{2x^2 + 1} \right)^2$ :
$f^2(x) = x^2 + 2x\sqrt{2x^2 + 1} + 2x^2 + 1 = 3x^2 + 1 + 2x\sqrt{2x^2 + 1}$
Avem astfel integrala:
$V = \pi \left( \int_0^2 (3x^2 + 1) \, dx + \int_0^2 2x\sqrt{2x^2 + 1} \, dx \right)$
Calculăm prima integrală:
$\int_0^2 (3x^2 + 1) \, dx = \left[ x^3 + x \right]_0^2 = (8 + 2) - 0 = 10$
Pentru a doua integrală, observăm că $(2x^2 + 1)' = 4x$ , deci $2x \, dx = \frac{1}{2} d(2x^2 + 1)$ :
$\int_0^2 2x\sqrt{2x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 (2x^2 + 1)^{1/2} \cdot 4x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x^2 + 1)^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = \left[ \frac{1}{3} (2x^2 + 1)\sqrt{2x^2 + 1} \right]_0^2$ $= \frac{1}{3} (9 \sqrt{9} - 1 \sqrt{1}) = \frac{1}{3} (27 - 1) = \frac{26}{3}$
Însumând:
$V = \pi \left( 10 + \frac{26}{3} \right) = \pi \cdot \frac{56}{3} = \frac{56\pi}{3}$
(2 puncte)
Identificarea valorii parametrului $a$

Din enunț, $V = \frac{a\pi}{3}$ :
$\frac{56\pi}{3} = \frac{a\pi}{3} \implies a = 56$
(3 puncte)

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Numere Complexe (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Ecuații cu Funcții (5p)

Barem și Etape de Calcul:

3. Ecuație Logaritmică (5p)

Barem și Etape de Calcul:

4. Probabilități (5p)

Barem și Etape de Calcul:

5. Geometrie Analitică (5p)

Barem și Etape de Calcul:

6. Trigonometrie (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Determinanți

a) Calcul determinant (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Ecuație matriceală (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Proprietate determinant pentru orice m∈Zm \in \mathbb{Z}m∈Z (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Polinoame

a) Valoarea în 000 (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Relații Viète (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Divizibilitate și restul împărțirii (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial

a) Calculul derivatei (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Calcul de limită (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Demonstrarea inegalității (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Analiză Matematică - Calcul Integral

a) Calcul integrală simplă (5p)

Barem și Etape de Calcul:

b) Calcul integrală rațională (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Volumul corpului de rotație (5p)

Barem și Etape de Calcul:

c) Proprietate determinant pentru orice $m \in \mathbb{Z}$ (5p)

a) Valoarea în $0$ (5p)