Pasul 1: Aplicarea proprietății termenului din mijloc

Într-o progresie aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$, orice termen începând cu al doilea este media aritmetică a vecinilor săi:

Înlocuind valorile cunoscute $a_1 = 5$ și $a_3 = 35$:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul valorii termenului $a_2$

Efectuăm calculul:

(2 puncte)

Metodă alternativă (folosind rația): Diferența dintre $a_3$ și $a_1$ este $a_3 - a_1 = 2r \iff 35 - 5 = 2r \iff 2r = 30 \iff r = 15$. Atunci $a_2 = a_1 + r = 5 + 15 = 20$.

Pasul 1: Calculul valorilor $f(0)$, $f(1)$ și $f(m)$

Calculăm valorile funcției în punctele $x = 0$ și $x = 1$:

Pentru numărul real $m$, valoarea funcției este:

(3 puncte)

Pasul 2: Determinarea parametrului $m$

Egalitatea dată devine:

Scădem $3$ din ambii membri:

(2 puncte)

Pasul 1: Eliminarea radicalilor de ordinul 3

Funcția radical de ordinul 3 este injectivă și definită pe întreaga mulțime a numerelor reale $\mathbb{R}$, așadar nu sunt necesare condiții de existență asupra cantităților de sub radical.

Ridicăm ambii membri la puterea a treia:

Trecem toți termenii în membrul stâng:

(3 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației de gradul al doilea

Calculăm discriminantul $\Delta$:

Soluțiile sunt:

Deci soluțiile reale ale ecuației sunt:

(2 puncte)

Pasul 1: Identificarea numărului de cazuri posibile

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este:

Numărul cazurilor posibile este egal cu numărul elementelor acestei mulțimi:

(2 puncte)

Pasul 2: Identificarea cazurilor favorabile și calculul probabilității

Testăm valorile posibile pentru $n$:

• Pentru $n = 0$: $3 \cdot 0^2 = 0 < 100$ (Adevărat)
• Pentru $n = 1$: $3 \cdot 1^2 = 3 < 100$ (Adevărat)
• Pentru $n = 2$: $3 \cdot 2^2 = 12 < 100$ (Adevărat)
• Pentru $n = 3$: $3 \cdot 3^2 = 27 < 100$ (Adevărat)
• Pentru $n = 4$: $3 \cdot 4^2 = 48 < 100$ (Adevărat)
• Pentru $n = 5$: $3 \cdot 5^2 = 75 < 100$ (Adevărat)
• Pentru $n = 6$: $3 \cdot 6^2 = 108 < 100$ (Fals)

Pentru orice $n \ge 6$, $3n^2 \ge 108 > 100$, inegalitatea nu mai este verificată.

Așadar, numerele favorabile sunt $n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, în total 6 cazuri favorabile.

Calculăm probabilitatea $p$:

(3 puncte)

Pasul 1: Scrierea formulelor pentru coordonatele mijlocului unui segment

Punctul $B(x_B, y_B)$ fiind mijlocul segmentului $AC$, coordonatele sale satisfac relațiile:

Înlocuim coordonatele punctelor $A(0, 2)$ și $B(2, 5)$:

(3 puncte)

Pasul 2: Determinarea coordonatelor punctului $C$

Din prima ecuație obținem:

Din a doua ecuație obținem:

Prin urmare, coordonatele punctului $C$ sunt:

(2 puncte)

Pasul 1: Aflarea lungimilor catetelor din formula ariei

Triunghiul $ABC$ fiind dreptunghic în $A$, catetele sale sunt $AB$ și $AC$. Aria sa este dată de:

Deoarece triunghiul este dreptunghic isoscel ($AB = AC$), avem:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul ipotenuzei $BC$

Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$:

Extragem radicalul:

(2 puncte)

a) Calculul determinantului matricei $A(2)$

Pasul 1: Determinarea matricei $A(2)$

Înlocuim $x = 2$ în formula matricei $A(x)$:

Scriem formula determinantului:

(3 puncte)

Pasul 2: Finalizarea calculului

Calculăm valoarea numerică:

(2 puncte)

b) Verificarea identității $x A(y) - A(xy) = (x - 1)I_2$

Pasul 1: Calculul termenilor $x A(y)$ și $A(xy)$

Pentru orice numere reale $x$ și $y$:

Matricea $A(xy)$ se obține înlocuind $x$ cu produsul $xy$:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul diferenței $x A(y) - A(xy)$

Efectuăm scăderea celor două matrice element cu element:

pentru orice numere reale $x$ și $y$.

(2 puncte)

c) Rezolvarea ecuației matriceale $A(1) \cdot A(x - 1) = x A(x)$

Pasul 1: Calculul produsului $A(1) \cdot A(x - 1)$

Calculăm matricele $A(1)$ și $A(x - 1)$:

Înmulțim cele două matrice:

Calculăm fiecare element:

• Linia 1, coloana 1: $0 \cdot (2 - x) + 3(1 - x) = 3 - 3x$
• Linia 1, coloana 2: $0 \cdot (3x - 3) + 3(4x - 3) = 12x - 9$
• Linia 2, coloana 1: $-1(2 - x) + 5(1 - x) = -2 + x + 5 - 5x = 3 - 4x$
• Linia 2, coloana 2: $-1(3x - 3) + 5(4x - 3) = -3x + 3 + 20x - 15 = 17x - 12$

Așadar:

(3 puncte)

Pasul 2: Egalarea cu matricea $x A(x)$ și aflarea soluțiilor

Calculăm membrul drept:

Egalitatea matriceală $A(1) \cdot A(x - 1) = x A(x)$ implică:

Egalăm elementele corespunzătoare:

1. $3 - 3x = x - x^2 \iff x^2 - 4x + 3 = 0$
2. $12x - 9 = 3x^2 \iff 3x^2 - 12x + 9 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0$
3. $3 - 4x = -x^2 \iff x^2 - 4x + 3 = 0$
4. $17x - 12 = x + 4x^2 \iff 4x^2 - 16x + 12 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0$

Rezolvăm ecuația de gradul al doilea obținută:

de unde rezultă numerele reale:

(2 puncte)

a) Calculul direct al compoziției $1 * 5$

Pasul 1: Înlocuirea valorilor în legea de compoziție

Înlocuim $x = 1$ și $y = 5$ în legea dată:

(3 puncte)

Pasul 2: Finalizarea calculului

Efectuăm operațiile aritmetice:

(2 puncte)

b) Demonstrarea că $e = 3$ este elementul neutru

Pasul 1: Verificarea compoziției $x * 3$

Pentru a demonstra că $e = 3$ este element neutru, trebuie să arătăm că $x * 3 = x$ și $3 * x = x$ pentru orice număr real $x$.

Calculăm $x * 3$:

pentru orice număr real $x$.

(2 puncte)

Pasul 2: Verificarea compoziției $3 * x$ și concluzia

Calculăm $3 * x$:

pentru orice număr real $x$.

Cum $x * 3 = 3 * x = x$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$, rezultă că $e = 3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

(3 puncte)

c) Aflarea perechilor de numere naturale $(m, n)$ cu $m \le n$ pentru care $m * n = 3$

Pasul 1: Deducerea ecuației în $m$ și $n$

Scriem egalitatea $m * n = 3$:

Adunăm $1$ în ambii membri:

Înmulțim ambii membri cu $4$:

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea perechilor de numere naturale

Deoarece $m, n \in \mathbb{N}$, factorii $m + 1$ și $n + 1$ sunt numere naturale nenule ($m + 1 \ge 1$, $n + 1 \ge 1$).

Condiția $m \le n$ implică $m + 1 \le n + 1$. Analizăm descompunerile posibile ale numărului $16$ în produs de doi factori naturali $a \le b$, unde $a = m + 1$ și $b = n + 1$:

1. $m + 1 = 1$ și $n + 1 = 16 \implies m = 0$ și $n = 15$. Cum $0, 15 \in \mathbb{N}$ și $0 \le 15$, obținem perechea $(0, 15)$.

2. $m + 1 = 2$ și $n + 1 = 8 \implies m = 1$ și $n = 7$. Cum $1, 7 \in \mathbb{N}$ și $1 \le 7$, obținem perechea $(1, 7)$.

3. $m + 1 = 4$ și $n + 1 = 4 \implies m = 3$ și $n = 3$. Cum $3, 3 \in \mathbb{N}$ și $3 \le 3$, obținem perechea $(3, 3)$.

Așadar, perechile căutate sunt:

(3 puncte)

a) Calculul derivatei funcției $f$

Pasul 1: Derivarea termen cu termen

Funcția $f$ este derivabilă pe $(0, +\infty)$ ca sumă de funcții elementare derivabile. Calculăm derivata:

(3 puncte)

Pasul 2: Aducerea la numitor comun și factorizarea numărătorului

Aducem la același numitor comun $x$:

Descompunem trinomul de la numărător $2x^2 - 3x + 1$: Rădăcinile ecuației $2x^2 - 3x + 1 = 0$ sunt $x_1 = 1$ și $x_2 = \frac{1}{2}$. Așadar:

Obținem:

(2 puncte)

b) Calculul limitei $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) + 3x}{\ln x}$

Pasul 1: Exprimarea numărătorului și identificarea cazului de nedeterminare

Înlocuim expresia funcției $f(x)$:

La trecerea la limită $x \to 1$:

• Numărătorul tinde la $1^2 - 1 + \ln 1 = 0$
• Numitorul tinde la $\ln 1 = 0$

Avem cazul de nedeterminare $\left[\frac{0}{0}\right]$. Aplicăm regula lui l’Hôpital:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul limitei derivatelor

Derivăm numărătorul și numitorul în raport cu $x$:

Așadar:

(2 puncte)

c) Demonstrarea inegalității $f(x) + f(y) \le -\frac{21}{4}$

Pasul 1: Studiul variației funcției $f$ pe baza derivatei

Ecuația $f'(x) = 0$ are pe $(0, +\infty)$ soluțiile:

Studiem semnul derivatei $f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x}$:

• Pentru $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$: $2x - 1 < 0$ și $x - 1 < 0$, deci $f'(x) > 0$. Funcția $f$ este strict crescătoare pe $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.
• Pentru $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$: $2x - 1 \ge 0$ și $x - 1 \le 0$, deci $f'(x) \le 0$. Funcția $f$ este descrescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.
• Pentru $x \in [1, 2]$: $2x - 1 > 0$ și $x - 1 \ge 0$, deci $f'(x) \ge 0$. Funcția $f$ este crescătoare pe $[1, 2]$.

(3 puncte)

Pasul 2: Determinarea valorilor maxime pe intervale și însumarea lor

1. Pentru orice $x \in (0, 1]$: Deoarece $f$ crește pe $\left(0, \frac{1}{2}\right]$ și descrește pe $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$, valoarea maximă a funcției pe intervalul $(0, 1]$ se atinge în $x = \frac{1}{2}$:

Calculăm $f\left(\frac{1}{2}\right)$:

2. Pentru orice $y \in [1, 2]$: Deoarece $f$ este crescătoare pe intervalul $[1, 2]$, valoarea maximă se atinge în capătul drept $y = 2$:

Calculăm $f(2)$:

Adunând inegalitățile obținute pentru $x \in (0, 1]$ și $y \in [1, 2]$:

pentru orice $x \in (0, 1]$ și orice $y \in [1, 2]$.

(2 puncte)

a) Calculul integralei $\int_2^4 f(x)\sqrt{x} \, dx$

Pasul 1: Simplificarea expresiei de integrat

Înlocuim $f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}$:

Integrala devine:

(3 puncte)

Pasul 2: Aplicarea formulei Leibniz-Newton

Calculăm valoarea la capetele intervalului de integrare:

(2 puncte)

b) Calculul integralei $\int_1^4 f(x) \, dx$

Pasul 1: Descompunerea funcției și determinarea primitivei

Rescriem funcția $f(x)$ sub formă de puteri ale lui $x$:

Integrala devine:

(3 puncte)

Pasul 2: Evaluarea numerică a integralei

Calculăm valorile primitivei în capetele $4$ și $1$:

• Pentru $x = 4$:

  $$\frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - 2\sqrt{4} = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16 - 12}{3} = \frac{4}{3}$$

• Pentru $x = 1$:

  $$\frac{2}{3} \cdot 1\sqrt{1} - 2\sqrt{1} = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2 - 6}{3} = -\frac{4}{3}$$

Diferența conform formulei Leibniz-Newton:

(2 puncte)

c) Calculul volumului corpului de rotație generat de funcția $g(x)$

Pasul 1: Exprimarea funcției $g(x)$ și a formulei volumului

Pentru orice $x \in [2, 3]$, exprimăm funcția $g(x)$:

Pătratul funcției este:

Formula volumului corpului de rotație în jurul axei $Ox$ este:

(2 puncte)

Pasul 2: Integrarea și calculul volumului

Descompunem fracția de sub integrală:

Calculăm integrala:

Evaluăm la capetele intervalului:

• La $x = 3$:

  $$2\ln(3 - 1) - \frac{2}{3 - 1} = 2\ln 2 - \frac{2}{2} = 2\ln 2 - 1 = \ln(2^2) - 1 = \ln 4 - 1$$

• La $x = 2$:

  $$2\ln(2 - 1) - \frac{2}{2 - 1} = 2\ln 1 - \frac{2}{1} = 2 \cdot 0 - 2 = -2$$

Scădem cele două valori:

Știind că $1 = \ln e$ și aplicând proprietatea logaritmilor $\ln a + \ln b = \ln(a \cdot b)$:

Înmulțind cu $\pi$, obținem volumul:

(3 puncte)