Pasul 1: Efectuarea operației din paranteză

Calculăm suma din paranteză:

$$1{,}1 + 0{,}3 = 1{,}4$$

Expresia devine:

$$2(1{,}1 + 0{,}3) - 1{,}8 = 2 \cdot 1{,}4 - 1{,}8$$

(2 puncte)

Pasul 2: Înmulțirea și scăderea finală

Efectuăm înmulțirea urmată de scădere:

$$2 \cdot 1{,}4 - 1{,}8 = 2{,}8 - 1{,}8 = 1$$

(3 puncte)

Pasul 1: Calculul valorilor $f(0)$ și $f(a)$

Calculăm valoarea funcției în punctul $x = 0$:

$$f(0) = 2 \cdot 0 + 4 = 4$$

Pentru un număr real arbitrar $a$, valoarea funcției este:

$$f(a) = 2a + 4$$

(2 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației în $a$

Înlocuim valorile în egalitatea din enunț:

$$f(a) = a \cdot f(0) \iff 2a + 4 = a \cdot 4 \iff 2a + 4 = 4a$$

Separăm termenii:

$$4a - 2a = 4 \iff 2a = 4 \iff a = 2$$

(3 puncte)

Pasul 1: Eliminarea radicalilor prin ridicare la pătrat

Ridicăm ambii membri la pătrat:

$$\left(\sqrt{2 - x}\right)^2 = \left(\sqrt{x^2 + x - 1}\right)^2 \iff 2 - x = x^2 + x - 1$$

Trecem toți termenii în membrul drept:

$$x^2 + x - 1 - (2 - x) = 0 \iff x^2 + 2x - 3 = 0$$

(2 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației de gradul al doilea și verificarea soluțiilor

Calculăm discriminantul ecuației de gradul doi:

$$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Rădăcinile ecuației sunt:

$$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Verificăm dacă valorile găsite sunt soluții ale ecuației inițiale (condiția de existență a radicalilor este ca expresiile de sub radical să fie nenegative):

• Pentru $x = -3$:
  • Membrul stâng: $\sqrt{2 - (-3)} = \sqrt{5} \ge 0$
  • Membrul drept: $\sqrt{(-3)^2 + (-3) - 1} = \sqrt{9 - 3 - 1} = \sqrt{5}$
  • Deoarece $\sqrt{5} = \sqrt{5}$, $x = -3$ este soluție validă.
• Pentru $x = 1$:
  • Membrul stâng: $\sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1 \ge 0$
  • Membrul drept: $\sqrt{1^2 + 1 - 1} = \sqrt{1} = 1$
  • Deoarece $1 = 1$, $x = 1$ este soluție validă.

Așadar, soluțiile ecuației sunt:

$$x = -3 \quad \text{sau} \quad x = 1$$

(3 puncte)

Pasul 1: Determinarea numărului de cazuri posibile

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este:

$$M = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$

Această mulțime conține 10 elemente, deci:

$$\text{nr. cazuri posibile} = 10$$

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea numărului de cazuri favorabile și calculul probabilității

Verificăm inegalitatea $n^3 > 10$ pentru fiecare cifră:

• $0^3 = 0 \le 10$ (Fals)
• $1^3 = 1 \le 10$ (Fals)
• $2^3 = 8 \le 10$ (Fals)
• $3^3 = 27 > 10$ (Adevărat)
• $4^3 = 64 > 10$ (Adevărat)
• $5^3 = 125 > 10$ (Adevărat)
• $6^3 = 216 > 10$ (Adevărat)
• $7^3 = 343 > 10$ (Adevărat)
• $8^3 = 512 > 10$ (Adevărat)
• $9^3 = 729 > 10$ (Adevărat)

Numerele care verifică inegalitatea sunt $n \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, adică în total 7 cazuri favorabile.

Calculăm probabilitatea $p$:

$$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{7}{10}$$

(3 puncte)

Pasul 1: Coordonatele mijlocului segmentului $BC$

Fie $M$ mijlocul segmentului $BC$. Coordonatele punctului $M$ se calculează prin media aritmetică a coordonatelor punctelor $B(2, 0)$ și $C(8, 2)$:

$$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Așadar, punctul căutat este $M(5, 1)$.

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul distanței $AM$

Folosim formula distanței dintre două puncte $A(x_A, y_A)$ și $M(x_M, y_M)$:

$$AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2}$$

Înlocuim coordonatele $A(1, 4)$ și $M(5, 1)$:

$$AM = \sqrt{(5 - 1)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

(2 puncte)

Pasul 1: Scrierea definiției sinusului în triunghiul dreptunghic

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, sinusul unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă unghiului $B$ ($AC$) și ipotenuză ($BC$):

$$\sin B = \frac{AC}{BC}$$

Înlocuind valorile date în ipoteză $\sin B = \frac{2}{5}$ și $BC = 10$:

$$\frac{AC}{10} = \frac{2}{5}$$

(3 puncte)

Pasul 2: Aflarea lungimii catetei $AC$

Scoatem $AC$ din proporție:

$$AC = \frac{2 \cdot 10}{5} = \frac{20}{5} = 4$$

(2 puncte)

a) Calculul determinantului matricei $A(1)$

Pasul 1: Determinarea matricei $A(1)$

Înlocuim $x = 1$ în formula matricei $A(x)$:

$$A(1) = \begin{pmatrix} 2 + 2 \cdot 1 & 1 \\ -1 & 2 - 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Scriem formula determinantului:

$$\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 4 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)$$

(3 puncte)

Pasul 2: Finalizarea calculului numeric

Calculăm valoarea:

$$\det(A(1)) = 0 - (-1) = 0 + 1 = 1$$

(2 puncte)

---

b) Verificarea identității $A(2) \cdot A(1) + 3 A(-2) = 16 I_2$

Pasul 1: Calculul matricei $A(2)$ și a produsului $A(2) \cdot A(1)$

Înlocuim $x = 2$ pentru a calcula $A(2)$:

$$A(2) = \begin{pmatrix} 2 + 2 \cdot 2 & 2 \\ -2 & 2 - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$$

Înmulțim $A(2)$ cu $A(1) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$:

$$A(2) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Calculăm elementele produsului:

• Linia 1, coloana 1: $6 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) = 24 - 2 = 22$
• Linia 1, coloana 2: $6 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 6$
• Linia 2, coloana 1: $(-2) \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) = -8 + 2 = -6$
• Linia 2, coloana 2: $(-2) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = -2$

Așadar:

$$A(2) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 22 & 6 \\ -6 & -2 \end{pmatrix}$$

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul matricei $3 A(-2)$ și finalizarea egalității

Calculăm $A(-2)$ înlocuind $x = -2$:

$$A(-2) = \begin{pmatrix} 2 + 2(-2) & -2 \\ -(-2) & 2 - 2(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$$

Înmulțim cu scalarul $3$:

$$3 A(-2) = 3 \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -6 \\ 6 & 18 \end{pmatrix}$$

Adunăm cele două matrice:

$$A(2) \cdot A(1) + 3 A(-2) = \begin{pmatrix} 22 & 6 \\ -6 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & -6 \\ 6 & 18 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 22 - 6 & 6 - 6 \\ -6 + 6 & -2 + 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} = 16 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 16 I_2$$

(2 puncte)

---

c) Aflarea numărului întreg nenul $m$ pentru care $B(m)$ este inversa lui $A(m)$

Pasul 1: Condiția de inversabilitate și calculul produsului $A(m) \cdot A(-m)$

Matricea $B(m) = \frac{1}{m} A(-m)$ este inversa matricei $A(m)$ dacă și numai dacă:

$$A(m) \cdot B(m) = I_2 \iff A(m) \cdot \left(\frac{1}{m} A(-m)\right) = I_2 \iff A(m) \cdot A(-m) = m I_2$$

Scriem matricele $A(m)$ și $A(-m)$:

$$A(m) = \begin{pmatrix} 2 + 2m & m \\ -m & 2 - 2m \end{pmatrix}$$ $$A(-m) = \begin{pmatrix} 2 - 2m & -m \\ m & 2 + 2m \end{pmatrix}$$

Efectuăm produsul $A(m) \cdot A(-m)$:

• Elementul $(1,1)$: $(2 + 2m)(2 - 2m) + m \cdot m = 4 - 4m^2 + m^2 = 4 - 3m^2$
• Elementul $(1,2)$: $(2 + 2m)(-m) + m(2 + 2m) = -2m - 2m^2 + 2m + 2m^2 = 0$
• Elementul $(2,1)$: $(-m)(2 - 2m) + (2 - 2m)m = -2m + 2m^2 + 2m - 2m^2 = 0$
• Elementul $(2,2)$: $(-m)(-m) + (2 - 2m)(2 + 2m) = m^2 + 4 - 4m^2 = 4 - 3m^2$

Rezultă:

$$A(m) \cdot A(-m) = \begin{pmatrix} 4 - 3m^2 & 0 \\ 0 & 4 - 3m^2 \end{pmatrix} = (4 - 3m^2) I_2$$

Atunci:

$$A(m) \cdot B(m) = \frac{4 - 3m^2}{m} I_2$$

(3 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației și selectarea soluției întregi

Egalitatea $A(m) \cdot B(m) = I_2$ revine la:

$$\frac{4 - 3m^2}{m} = 1 \iff 4 - 3m^2 = m \iff 3m^2 + m - 4 = 0$$

Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:

$$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$$

Soluțiile sunt:

$$m_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$ $$m_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$$

Deoarece $m$ este număr întreg nenul ($m \in \mathbb{Z}^*$):

• $m = -\frac{4}{3} \notin \mathbb{Z}$, deci nu convine
• $m = 1 \in \mathbb{Z}^*$, deci convine

Așadar, numărul căutat este:

$$m = 1$$

(2 puncte)

a) Calculul valorii $f(-1)$ pentru $a = 1$

Pasul 1: Înlocuirea lui $a$ și scrierea valorii polinomului în $-1$

Pentru $a = 1$, forma polinomului este:

$$f = X^3 - 3X^2 - 3X + 1$$

Calculăm valoarea numerică în punctul $-1$:

$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 3(-1) + 1$$

(3 puncte)

Pasul 2: Efectuarea calculelor

Calculăm fiecare termen:

$$f(-1) = -1 - 3 \cdot 1 - (-3) + 1 = -1 - 3 + 3 + 1 = 0$$

(2 puncte)

---

b) Determinarea parametrului $a$ prin relațiile lui Viète

Pasul 1: Scrierea relațiilor lui Viète

Pentru polinomul $f = X^3 - 3X^2 - 3X + a$, coeficienții sunt:

$$c_3 = 1, \quad c_2 = -3, \quad c_1 = -3, \quad c_0 = a$$

Relațiile lui Viète dau:

$$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{c_2}{c_3} = -\frac{-3}{1} = 3$$ $$x_1 x_2 x_3 = -\frac{c_0}{c_3} = -\frac{a}{1} = -a$$

(3 puncte)

Pasul 2: Înlocuirea în relația dată și aflarea lui $a$

Rescriem relația din enunț factorizând termenul $3$:

$$3(x_1 + x_2 + x_3) - x_1 x_2 x_3 = 3$$

Înlocuim valorile sumei și produsului rădăcinilor:

$$3 \cdot 3 - (-a) = 3 \iff 9 + a = 3$$

Scădem $9$ din ambii membri:

$$a = 3 - 9 \iff a = -6$$

(2 puncte)

---

c) Aflarea rădăcinilor polinomului pentru $a = 9$

Pasul 1: Descompunerea polinomului în factori

Pentru $a = 9$, polinomul este:

$$f = X^3 - 3X^2 - 3X + 9$$

Grupăm termenii doi câte doi pentru a factoriza:

$$f = X^2(X - 3) - 3(X - 3) = (X^2 - 3)(X - 3)$$

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea tuturor rădăcinilor

Egalăm polinomul cu zero:

$$(X^2 - 3)(X - 3) = 0$$

Avem două ecuații:

1. $X - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
2. $X^2 - 3 = 0 \implies X^2 = 3 \implies x_2 = -\sqrt{3}$ și $x_3 = \sqrt{3}$

Prin urmare, rădăcinile polinomului sunt:

$$x_1 = 3, \quad x_2 = -\sqrt{3} \quad \text{și} \quad x_3 = \sqrt{3}$$

(3 puncte)

a) Calculul derivatei funcției $f$

Pasul 1: Aplicarea regulii de derivare a câtului

Funcția $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ ca raport de funcții derivabile cu numitorul nenul ($e^x > 0, \forall x \in \mathbb{R}$).

Aplicăm formula de derivare a câtului $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$$f'(x) = \frac{(x^2 - 8)' e^x - (x^2 - 8)(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{2x e^x - (x^2 - 8)e^x}{(e^x)^2}$$

Dăm factor comun $e^x$ la numărător:

$$f'(x) = \frac{e^x(2x - (x^2 - 8))}{(e^x)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 8}{e^x}$$

(3 puncte)

Pasul 2: Factorizarea trinomului de la numărător

Calculăm rădăcinile ecuației $-x^2 + 2x + 8 = 0 \iff x^2 - 2x - 8 = 0$:

$$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

Așadar:

$$-x^2 + 2x + 8 = -(x + 2)(x - 4) = (x + 2)(4 - x)$$

Obținem:

$$f'(x) = \frac{(x + 2)(4 - x)}{e^x}, \quad x \in \mathbb{R}$$

(2 puncte)

---

b) Determinarea ecuației tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $x = 0$

Pasul 1: Calculul valorilor $f(0)$ și $f'(0)$

Calculăm valoarea funcției în $x = 0$:

$$f(0) = \frac{0^2 - 8}{e^0} = \frac{-8}{1} = -8$$

Punctul de pe grafic este $A(0, -8)$.

Calculăm panta tangentei în acest punct folosind derivata:

$$f'(0) = \frac{(0 + 2)(4 - 0)}{e^0} = \frac{2 \cdot 4}{1} = 8$$

(2 puncte)

Pasul 2: Scrierea ecuației tangentei

Formula ecuației tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0 = 0$ este:

$$y - f(0) = f'(0)(x - 0)$$

Înlocuim valorile calculate:

$$y - (-8) = 8(x - 0) \iff y + 8 = 8x \iff y = 8x - 8$$

(3 puncte)

---

c) Demonstrarea dublei inegalități $-4e^2 \le f(x) \le e^3$ pe intervalul $[-3, 4]$

Pasul 1: Studiul variației funcției pe baza semnului derivatei

Ecuația $f'(x) = 0$ are soluțiile $x = -2$ și $x = 4$.

Numitorul $e^x$ este strict pozitiv pentru orice $x \in \mathbb{R}$, deci semnul lui $f'(x)$ este dat de produsul $(x + 2)(4 - x)$:

• Pentru $x \in [-3, -2]$: $x + 2 \le 0$ și $4 - x > 0$, deci $f'(x) \le 0$. Rezultă că funcția $f$ este strict descrescătoare pe intervalul $[-3, -2]$.
• Pentru $x \in [-2, 4]$: $x + 2 \ge 0$ și $4 - x \ge 0$, deci $f'(x) \ge 0$. Rezultă că funcția $f$ este crescătoare pe intervalul $[-2, 4]$.

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul valorilor critice și stabilirea extremelor

Deoarece funcția scade pe $[-3, -2]$ și crește pe $[-2, 4]$:

1. Valoarea minimă absolută a funcției pe $[-3, 4]$ se atinge în punctul de minim local $x = -2$:

$$f(x) \ge f(-2)$$

Calculăm $f(-2)$:

$$f(-2) = \frac{(-2)^2 - 8}{e^{-2}} = \frac{4 - 8}{e^{-2}} = -4 \cdot e^2 = -4e^2$$

Deci $f(x) \ge -4e^2$ pentru orice $x \in [-3, 4]$.

2. Valoarea maximă a funcției se atinge la una dintre extremitățile intervalului, adică în $x = -3$ sau $x = 4$:

$$f(-3) = \frac{(-3)^2 - 8}{e^{-3}} = \frac{9 - 8}{e^{-3}} = \frac{1}{e^{-3}} = e^3$$ $$f(4) = \frac{4^2 - 8}{e^4} = \frac{16 - 8}{e^4} = \frac{8}{e^4}$$

Comparăm $f(4)$ cu $f(-3)$: Cum $e > 2 \implies e^4 > 16$, deci $\frac{8}{e^4} < \frac{8}{16} = \frac{1}{2} < 1 < e^3$. Așadar, valoarea maximă absolută a funcției pe $[-3, 4]$ este $f(-3) = e^3$, deci:

$$f(x) \le e^3$$

Din cele două relații rezultă:

$$-4e^2 \le f(x) \le e^3, \quad \text{pentru orice } x \in [-3, 4]$$

(2 puncte)

a) Calculul integralei $\int_2^3 \left(f(x) - \frac{2\ln x}{x}\right) \, dx$

Pasul 1: Simplificarea funcției de integrat

Înlocuim expresia funcției $f(x)$:

$$f(x) - \frac{2\ln x}{x} = \left(6x + \frac{2\ln x}{x}\right) - \frac{2\ln x}{x} = 6x$$

Integrala devine:

$$\int_2^3 6x \, dx = \left[ 6 \cdot \frac{x^2}{2} \right]_2^3 = \left[ 3x^2 \right]_2^3$$

(3 puncte)

Pasul 2: Aplicarea formulei Leibniz-Newton

Evaluăm primitiva la capetele de integrare:

$$\left[ 3x^2 \right]_2^3 = 3 \cdot 3^2 - 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 9 - 3 \cdot 4 = 27 - 12 = 15$$

(2 puncte)

---

b) Calculul integralei $\int_1^e (f(x) - 6x) \, dx$

Pasul 1: Determinarea primitivei

Exprimăm funcția de integrat:

$$f(x) - 6x = \left(6x + \frac{2\ln x}{x}\right) - 6x = \frac{2\ln x}{x}$$

Integrala devine:

$$\int_1^e \frac{2\ln x}{x} \, dx = 2 \int_1^e \ln x \cdot (\ln x)' \, dx = \left[ (\ln x)^2 \right]_1^e$$

(3 puncte)

Pasul 2: Evaluarea numerică

Calculăm valorile la capetele de integrare:

$$\left[ (\ln x)^2 \right]_1^e = (\ln e)^2 - (\ln 1)^2 = 1^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1$$

(2 puncte)

---

c) Aflarea numărului real $a$

Pasul 1: Recunoașterea derivatei unui produs

Observăm că expresia din paranteză este tocmai derivata produsului $f(x) \ln x$:

$$(f(x) \ln x)' = f'(x) \ln x + f(x)(\ln x)' = f'(x) \ln x + f(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{f(x)}{x} + f'(x) \ln x$$

pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

Așadar, integrala se rescrie:

$$\int_1^{e^2} \left(\frac{f(x)}{x} + f'(x) \ln x\right) \, dx = \int_1^{e^2} (f(x) \ln x)' \, dx = \left[ f(x) \ln x \right]_1^{e^2}$$

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul integralei și determinarea lui $a$

Evaluăm la capetele intervalului de integrare:

$$\left[ f(x) \ln x \right]_1^{e^2} = f(e^2) \ln(e^2) - f(1) \ln 1$$

Știind că $\ln(e^2) = 2$ și $\ln 1 = 0$:

$$f(e^2) \cdot 2 - f(1) \cdot 0 = 2 f(e^2)$$

Egalitatea din enunț este:

$$2 f(e^2) = a f(e^2)$$

Deoarece $e^2 > 1$, avem $f(e^2) = 6e^2 + \frac{2\ln(e^2)}{e^2} = 6e^2 + \frac{4}{e^2} > 0$, deci $f(e^2) \neq 0$.

Împărțim ambii membri la $f(e^2)$ și obținem:

$$a = 2$$

(2 puncte)