matematicaȘtiințele Naturii (M2)Anul 2025Sesiunea Iunie (Vară)

Bacalaureat 2025 - Matematică Științele Naturii (M2) - Sesiunea Iunie (Vară)

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Examenul Național de Bacalaureat 2025

Proba E. c) Matematică M_șt-nat

Sesiunea Iunie (Vară) - Varianta 1

Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Progresii Aritmetice (5p)

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$ , în care $a_1 = 4$ și $a_2 = 15$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Determinarea rației progresiei aritmetice

Într-o progresie aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$ , diferența dintre doi termeni consecutivi este egală cu rația $r$ :

r = a_2 - a_1 = 15 - 4 = 11

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul termenului $a_3$

Termenul $a_3$ se obține adunând rația la termenul precedent $a_2$ :

a_3 = a_2 + r = 15 + 11 = 26

Alternativ, folosind formula termenului general $a_n = a_1 + (n - 1)r$ :

a_3 = a_1 + 2r = 4 + 2 \cdot 11 = 4 + 22 = 26

(2 puncte)

2. Ecuații cu Funcții de Gradul I (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 3x - 2$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) + f(2) = 2a$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Calculul valorilor funcției $f$

Calculăm valoarea funcției în punctul $x = 2$ :

f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4

Pentru un număr real arbitrar $a$ , valoarea funcției este:

f(a) = 3a - 2

(2 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației în $a$

Înlocuim expresiile obținute în relația dată în enunț:

f(a) + f(2) = 2a \iff (3a - 2) + 4 = 2a

3a + 2 = 2a \iff 3a - 2a = -2 \iff a = -2

Așadar, numărul real căutat este $a = -2$ .

(3 puncte)

3. Ecuație Logaritmică (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x^2 - 3x + 2) = \log_2(2 + x)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Condițiile de existență ale logaritmilor

Argumentele ambilor logaritmi trebuie să fie strict pozitive:

$x^2 - 3x + 2 > 0 \iff (x - 1)(x - 2) > 0 \iff x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$
$2 + x > 0 \iff x > -2 \iff x \in (-2, +\infty)$

Intersectând domeniile, obținem domeniul de existență:

D = (-2, 1) \cup (2, +\infty)

Pasul 2: Egalarea argumentelor și rezolvarea ecuației algebrice

Datorită injectivității funcției logaritmice cu baza $2$ , egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor:

x^2 - 3x + 2 = 2 + x

Trecem toți termenii în membrul stâng:

x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0

(2 puncte)

Soluțiile acestei ecuații sunt:

x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 4

Pasul 3: Verificarea soluțiilor

Verificăm dacă soluțiile aparțin domeniului de existență $D$ :

Pentru $x = 0$ : $0 \in (-2, 1) \subset D$ , deci soluția convine.
Pentru $x = 4$ : $4 \in (2, +\infty) \subset D$ , deci soluția convine.

Mulțimea soluțiilor reale este $S = \{0, 4\}$ .

(3 puncte)

4. Combinatorică și Cifre Distincte (5p)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Alegerea cifrei unităților

Fie $\overline{ab}$ un număr de două cifre format cu elemente din mulțimea $A$ , unde $a \neq b$ . Pentru ca numărul să fie par, cifra unităților $b$ trebuie să fie pară. Cifrele pare disponibile în mulțimea $A = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$ sunt:

b \in \{2, 8\}

Așadar, cifra unităților se poate alege în $2$ moduri.

(2 puncte)

Pasul 2: Alegerea cifrei zecilor și aplicarea regulii produsului

După ce cifra unităților $b$ a fost fixată, cifra zecilor $a$ poate fi orice element din mulțimea $A$ , cu condiția $a \neq b$ . Mulțimea $A$ are $6$ elemente, toate fiind cifre nenule, prin urmare rămân:

6 - 1 = 5 \text{ moduri de alegere pentru cifra zecilor } a

Conform regulii produsului, numărul total de numere pare cu două cifre distincte este:

2 \cdot 5 = 10 \text{ numere}

(3 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0, 5)$ , $B(8, 4)$ și $C$ , mijlocul segmentului $OB$ . Arătați că $AO = AC$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Determinarea coordonatelor punctului $C$

Originea reperului este $O(0, 0)$ . Punctul $C$ este mijlocul segmentului $OB$ , unde $B(8, 4)$ :

x_C = \frac{x_O + x_B}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4

y_C = \frac{y_O + y_B}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2

Deci coordonatele punctului $C$ sunt $C(4, 2)$ .

(2 puncte)

Pasul 2: Calculul distanțelor $AO$ și $AC$

Calculăm lungimea segmentului $AO$ cu formula distanței dintre două puncte:

AO = \sqrt{(x_O - x_A)^2 + (y_O - y_A)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5

Calculăm lungimea segmentului $AC$ :

AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Deoarece $AO = 5$ și $AC = 5$ , deducem că:

AO = AC = 5

(3 puncte)

6. Trigonometrie în Triunghiul Dreptunghic (5p)

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 4$ și $\cos B = \frac{2}{3}$ . Arătați că $BC = 6$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Scrierea raportului trigonometric pentru $\cos B$

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ , cosinusul unghiului ascuțit $B$ este definit ca raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea ipotenuzei:

\cos B = \frac{AB}{BC}

Înlocuim datele din ipoteză ( $AB = 4$ și $\cos B = \frac{2}{3}$ ):

\frac{2}{3} = \frac{4}{BC}

(3 puncte)

Pasul 2: Determinarea lungimii ipotenuzei $BC$

Din proporție, exprimăm lungimea ipotenuzei $BC$ :

BC = \frac{3 \cdot 4}{2} = \frac{12}{2} = 6

Egalitatea este demonstrată.

(2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Ecuații Matriceale (15p)

Se consideră matricele:

I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad A = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

a) Arătați că $\det A = 2$ . (5p)

b) Arătați că matricea $B = \frac{1}{2}(I_2 - A)$ este inversa matricei $A$ . (5p)

c) Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $(A - I_2) \cdot X = 2A$ . (5p)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul determinantului matricei $A$

Folosind formula determinantului de ordin $2$ , $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ :

\det A = \begin{vmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 3 - 8 \cdot (-1)

(3 puncte)

Efectuăm calculele:

\det A = -6 - (-8) = -6 + 8 = 2

(2 puncte)

b) Verificarea proprietății de inversă pentru matricea $B$

Calculăm mai întâi matricea $I_2 - A$ :

I_2 - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) & 0 - 8 \\ 0 - (-1) & 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

Atunci matricea $B$ este:

B = \frac{1}{2} (I_2 - A) = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -4 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}

(3 puncte)

Calculăm produsele $A \cdot B$ și $B \cdot A$ :

A \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -4 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\left(\frac{3}{2}\right) + 8\left(\frac{1}{2}\right) & (-2)(-4) + 8(-1) \\ (-1)\left(\frac{3}{2}\right) + 3\left(\frac{1}{2}\right) & (-1)(-4) + 3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 4 & 8 - 8 \\ -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} & 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2

Similar, se verifică $B \cdot A = I_2$ . Cum $A \cdot B = B \cdot A = I_2$ , deducem că matricea $B$ este inversa matricei $A$ , adică $B = A^{-1}$ .

(2 puncte)

c) Determinarea matricei $X$

Din subpunctul b), știm că $I_2 - A = 2A^{-1}$ , de unde deducem:

A - I_2 = -(I_2 - A) = -2A^{-1}

Ecuația matriceală $(A - I_2) \cdot X = 2A$ devine:

-2A^{-1} \cdot X = 2A \iff -A^{-1} \cdot X = A

Înmulțind la stânga ambii membri cu matricea $A$ :

-A \cdot A^{-1} \cdot X = A \cdot A \iff -I_2 \cdot X = A^2 \iff X = -A^2

(3 puncte)

Calculăm $A^2$ :

A^2 = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-2) + 8(-1) & (-2)(8) + 8(3) \\ (-1)(-2) + 3(-1) & (-1)(8) + 3(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 8 & -16 + 24 \\ 2 - 3 & -8 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 8 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

Prin urmare:

X = -A^2 = -\begin{pmatrix} -4 & 8 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

(2 puncte)

2. Legi de Compoziție (15p)

Pe mulțimea $M = [0, +\infty)$ se definește legea de compoziție:

x * y = x + y - \sqrt{xy}

a) Arătați că $1 * 4 = 3$ . (5p)

b) Determinați $x \in M$ pentru care $x * (9x) = x^2$ . (5p)

c) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x * 2^{x+2} = 6$ . (5p)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul compunerii $1 * 4$

Înlocuim $x = 1$ și $y = 4$ în formula legii de compoziție:

1 * 4 = 1 + 4 - \sqrt{1 \cdot 4}

(3 puncte)

Efectuăm calculele:

1 * 4 = 5 - \sqrt{4} = 5 - 2 = 3

(2 puncte)

b) Rezolvarea ecuației $x * (9x) = x^2$

Pentru orice $x \in M = [0, +\infty)$ , calculăm membrul stâng al ecuației:

x * (9x) = x + 9x - \sqrt{x \cdot 9x} = 10x - \sqrt{9x^2}

Deoarece $x \ge 0$ , avem $\sqrt{9x^2} = 3x$ , deci:

x * (9x) = 10x - 3x = 7x

(2 puncte)

Ecuația dată devine:

7x = x^2 \iff x^2 - 7x = 0 \iff x(x - 7) = 0

Soluțiile sunt:

x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 7

Ambele soluții aparțin mulțimii $M = [0, +\infty)$ , deci convin.

(3 puncte)

c) Rezolvarea ecuației $2^x * 2^{x+2} = 6$

Pentru orice număr real $x$ , termenii $2^x$ și $2^{x+2}$ sunt strict pozitivi, deci aparțin mulțimii $M$ . Calculăm expresia compunerii:

2^x * 2^{x+2} = 2^x + 2^{x+2} - \sqrt{2^x \cdot 2^{x+2}}

Folosind proprietățile puterilor:

2^x + 2^{x+2} - \sqrt{2^{2x+2}} = 2^x + 2^2 \cdot 2^x - \sqrt{(2^{x+1})^2} = 2^x + 4 \cdot 2^x - 2^{x+1} = 2^x + 4 \cdot 2^x - 2 \cdot 2^x = (1 + 4 - 2) \cdot 2^x = 3 \cdot 2^x

(3 puncte)

Ecuația din enunț devine:

3 \cdot 2^x = 6 \iff 2^x = \frac{6}{3} = 2 \iff 2^x = 2^1

Datorită injectivității funcției exponențiale, obținem:

x = 1

(2 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial (15p)

Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , definită prin:

f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x^2 + x + 2}

a) Arătați că $f'(x) = \frac{-3x^2 - x + 2}{\sqrt{x}(x^2 + x + 2)^2}$ , $x \in (0, +\infty)$ . (5p)

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ . (5p)

c) Determinați $a \in (0, +\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$ . (5p)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul derivatei funcției $f$

Funcția $f$ este derivabilă pe $(0, +\infty)$ ca raport de funcții derivabile. Aplicăm formula derivării câtului:

f'(x) = \frac{(2\sqrt{x})' \cdot (x^2 + x + 2) - 2\sqrt{x} \cdot (x^2 + x + 2)'}{(x^2 + x + 2)^2}

Calculăm derivatele termenilor:

$(2\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
$(x^2 + x + 2)' = 2x + 1$

Înlocuim în expresia derivatei:

f'(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}(x^2 + x + 2) - 2\sqrt{x}(2x + 1)}{(x^2 + x + 2)^2}

(3 puncte)

Aducem la numitor comun la numărător:

f'(x) = \frac{\frac{x^2 + x + 2 - 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot (2x + 1)}{\sqrt{x}}}{(x^2 + x + 2)^2} = \frac{x^2 + x + 2 - 2x(2x + 1)}{\sqrt{x}(x^2 + x + 2)^2}

= \frac{x^2 + x + 2 - 4x^2 - 2x}{\sqrt{x}(x^2 + x + 2)^2} = \frac{-3x^2 - x + 2}{\sqrt{x}(x^2 + x + 2)^2}, \quad x \in (0, +\infty)

(2 puncte)

b) Determinarea ecuației asimptotei orizontale spre $+\infty$

Calculăm limita funcției $f(x)$ când $x \to +\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x}}{x^2 + x + 2}

Dăm factor forțat pe $x^2$ la numitor:

\lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x}}{x^2 \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = \frac{2}{+\infty \cdot 1} = 0

(3 puncte)

Deoarece limita este finită și egală cu $0$ , dreapta de ecuație $y = 0$ (axa $Ox$ ) este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

(2 puncte)

c) Determinarea valorii parametrului $a$

Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ are panta egală cu $f'(a)$ . Dreapta tangentă este paralelă cu axa $Ox$ dacă și numai dacă panta ei este nulă:

f'(a) = 0, \quad a \in (0, +\infty)

(3 puncte)

Cum numitorul $\sqrt{a}(a^2 + a + 2)^2 > 0$ pentru orice $a > 0$ , egalitatea $f'(a) = 0$ este echivalentă cu anularea numărătorului:

-3a^2 - a + 2 = 0 \iff 3a^2 + a - 2 = 0

Calculăm discriminantul ecuației de gradul al doilea:

\Delta = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25

Rădăcinile ecuației sunt:

a_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 \quad \text{și} \quad a_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Deoarece $a \in (0, +\infty)$ , soluția $a_1 = -1$ nu convine, iar $a_2 = \frac{2}{3}$ convine. Așadar, valoarea căutată este $a = \frac{2}{3}$ .

(2 puncte)

2. Analiză Matematică - Calcul Integral (15p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definită prin:

f(x) = x^3 + 3x + 3

a) Arătați că $\int_0^2 (f(x) - 3x - 3)\,dx = 4$ . (5p)

b) Arătați că $\int_0^1 \frac{1}{(f(x) - x^3)^2}\,dx = \frac{1}{18}$ . (5p)

c) Determinați numărul real $m$ pentru care $\int_1^e \frac{f(x) - 3}{x^2} \ln x\,dx = \frac{e^2 + m}{4}$ . (5p)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul integralei din enunț

Exprimăm integrandul:

f(x) - 3x - 3 = (x^3 + 3x + 3) - 3x - 3 = x^3

Integrala devine:

\int_0^2 (f(x) - 3x - 3)\,dx = \int_0^2 x^3\,dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2

(3 puncte)

Calculăm valoarea integralei:

\left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} - 0 = 4

(2 puncte)

b) Calculul integralei din fracție rațională

Exprimăm numitorul din integrală:

f(x) - x^3 = (x^3 + 3x + 3) - x^3 = 3x + 3 = 3(x + 1)

Atunci:

(f(x) - x^3)^2 = [3(x + 1)]^2 = 9(x + 1)^2

Integrala devine:

\int_0^1 \frac{1}{(f(x) - x^3)^2}\,dx = \int_0^1 \frac{1}{9(x + 1)^2}\,dx = \frac{1}{9} \int_0^1 (x + 1)^{-2}\,dx = \frac{1}{9} \left[ -\frac{1}{x + 1} \right]_0^1

(3 puncte)

Aplicăm formula Leibniz-Newton:

\frac{1}{9} \left( -\frac{1}{1 + 1} - \left(-\frac{1}{0 + 1}\right) \right) = \frac{1}{9} \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18}

(2 puncte)

c) Determinarea numărului real $m$

Exprimăm mai întâi fracția din integrală:

f(x) - 3 = (x^3 + 3x + 3) - 3 = x^3 + 3x

\frac{f(x) - 3}{x^2} = \frac{x^3 + 3x}{x^2} = x + \frac{3}{x}

Integrala se separă în două integrale:

I = \int_1^e \left(x + \frac{3}{x}\right) \ln x\,dx = \int_1^e x \ln x\,dx + 3 \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx

Calculăm prima integrală prin metoda integrării prin părți: Fie $u = \ln x \implies u' = \frac{1}{x}$ și $v' = x \implies v = \frac{x^2}{2}$ .

\int_1^e x \ln x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \left(\frac{e^2}{2} \ln e - 0\right) - \frac{1}{2} \int_1^e x\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}

Calculăm a doua integrală observând că $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ :

3 \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx = 3 \int_1^e \ln x \cdot (\ln x)'\,dx = 3 \left[ \frac{\ln^2 x}{2} \right]_1^e = 3 \left(\frac{\ln^2 e}{2} - \frac{\ln^2 1}{2}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4}

Adunăm cele două rezultate:

I = \frac{e^2 + 1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{e^2 + 7}{4}

(3 puncte)

Egalăm rezultatul calculat cu expresia din ipoteză:

\frac{e^2 + 7}{4} = \frac{e^2 + m}{4} \implies e^2 + 7 = e^2 + m \implies m = 7

Așadar, numărul căutat este $m = 7$ .

(2 puncte)

Examenul Național de Bacalaureat 2025

Proba E. c) Matematică M_șt-nat

Sesiunea Iunie (Vară) - Varianta 1

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Progresii Aritmetice (5p)

Pasul 1: Determinarea rației progresiei aritmetice

Pasul 2: Calculul termenului a3a_3a3​

2. Ecuații cu Funcții de Gradul I (5p)

Pasul 1: Calculul valorilor funcției fff

Pasul 2: Rezolvarea ecuației în aaa

3. Ecuație Logaritmică (5p)

Pasul 1: Condițiile de existență ale logaritmilor

Pasul 2: Egalarea argumentelor și rezolvarea ecuației algebrice

Pasul 3: Verificarea soluțiilor

4. Combinatorică și Cifre Distincte (5p)

Pasul 1: Alegerea cifrei unităților

Pasul 2: Alegerea cifrei zecilor și aplicarea regulii produsului

5. Geometrie Analitică (5p)

Pasul 1: Determinarea coordonatelor punctului CCC

Pasul 2: Calculul distanțelor AOAOAO și ACACAC

6. Trigonometrie în Triunghiul Dreptunghic (5p)

Pasul 1: Scrierea raportului trigonometric pentru cos⁡B\cos BcosB

Pasul 2: Determinarea lungimii ipotenuzei BCBCBC

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice și Ecuații Matriceale (15p)

a) Calculul determinantului matricei AAA

b) Verificarea proprietății de inversă pentru matricea BBB

c) Determinarea matricei XXX

2. Legi de Compoziție (15p)

a) Calculul compunerii 1∗41 * 41∗4

b) Rezolvarea ecuației x∗(9x)=x2x * (9x) = x^2x∗(9x)=x2

c) Rezolvarea ecuației 2x∗2x+2=62^x * 2^{x+2} = 62x∗2x+2=6

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Calcul Diferențial (15p)

a) Calculul derivatei funcției fff

b) Determinarea ecuației asimptotei orizontale spre +∞+\infty+∞

c) Determinarea valorii parametrului aaa

2. Analiză Matematică - Calcul Integral (15p)

a) Calculul integralei din enunț

b) Calculul integralei din fracție rațională

c) Determinarea numărului real mmm

Pasul 2: Calculul termenului $a_3$

Pasul 1: Calculul valorilor funcției $f$

Pasul 2: Rezolvarea ecuației în $a$

Pasul 1: Determinarea coordonatelor punctului $C$

Pasul 2: Calculul distanțelor $AO$ și $AC$

Pasul 1: Scrierea raportului trigonometric pentru $\cos B$

Pasul 2: Determinarea lungimii ipotenuzei $BC$

a) Calculul determinantului matricei $A$

b) Verificarea proprietății de inversă pentru matricea $B$

c) Determinarea matricei $X$

a) Calculul compunerii $1 * 4$

b) Rezolvarea ecuației $x * (9x) = x^2$

c) Rezolvarea ecuației $2^x * 2^{x+2} = 6$

a) Calculul derivatei funcției $f$

b) Determinarea ecuației asimptotei orizontale spre $+\infty$

c) Determinarea valorii parametrului $a$

c) Determinarea numărului real $m$