Pasul 1: Desfacerea parantezelor

Efectuăm produsele din membrul stâng:

(3 puncte)

Pasul 2: Reducerea termenilor și utilizarea valorii $i^2 = -1$

Termenii în $i$ se reduc ($12i - 12i = 0$), iar înlocuind $i^2 = -1$ obținem:

(2 puncte)

Pasul 1: Calculul legii de compunere $(f \circ f)(a)$

Calculăm valoarea funcției compuse:

pentru orice număr real $a$.

(3 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

Egalăm cu $2a$:

(2 puncte)

Pasul 1: Condiția de semn și ridicarea la pătrat

Deoarece radicalul de ordinul al doilea are valori nenegative, membrul drept trebuie să fie pozitiv sau nul:

Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat:

Trecem termenii într-un singur membru:

(3 puncte)

Pasul 2: Determinarea soluției și verificarea condițiilor

Recunoaștem restrângerea ca pătrat perfect:

Verificăm condiția $x \ge 0$: deoarece $2 \ge 0$, soluția este validă. Sub radical obținem $2^2 + 4 \cdot 2 - 4 = 8 \ge 0$, deci $x = 2$ convine.

(2 puncte)

Pasul 1: Determinarea numărului de cazuri posibile

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, care are $10$ elemente:

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea cazurilor favorabile și calculul probabilității

Deoarece $16 = 2^4$, numărul $2^n$ este divizibil cu $16$ dacă și numai dacă:

Valorile favorabile din mulțime sunt $n \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, adică sunt $6$ cazuri favorabile:

Probabilitatea cerută este:

(3 puncte)

Pasul 1: Calculul pantei dreptei $OA$

Punctul $O$ este originea sistemului cartezian, $O(0, 0)$. Formula pantei este $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:

(2 puncte)

Pasul 2: Calculul pantei dreptei $AB$ și demonstrarea perpendicularității

Calculăm panta dreptei $AB$:

Efectuăm produsul pantelor:

Deoarece produsul pantelor este $-1$, dreptele $OA$ și $AB$ sunt perpendiculare ($OA \perp AB$), ceea ce demonstrează că triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $A$.

(3 puncte)

Pasul 1: Evaluarea valorilor trigonometrice pentru $x = \frac{\pi}{2}$

Calculăm fiecare termen trigonometric în punctul $x = \frac{\pi}{2}$:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul valorii expresiei

Înlocuim valorile găsite în $E\left(\frac{\pi}{2}\right)$:

(2 puncte)

a) Calculul determinantului matricei $A(1)$

Pentru $x = 1$, matricea $A(1)$ este:

Calculăm determinantul:

(3 puncte)

(2 puncte)

b) Verificarea relației $A(-1) \cdot A(x) = A(-2x-1)$

Pentru $x = -1$, avem:

Efectuăm produsul $A(-1) \cdot A(x)$:

Calculăm elementele produsului:

• Rândul 1, coloana 1: $0 \cdot (x+1) + 1 \cdot (-2x) = -2x$
• Rândul 1, coloana 2: $0 \cdot (-x) + 1 \cdot (2x+1) = 2x+1$
• Rândul 2, coloana 1: $2 \cdot (x+1) + (-1) \cdot (-2x) = 2x + 2 + 2x = 4x+2$
• Rândul 2, coloana 2: $2 \cdot (-x) + (-1) \cdot (2x+1) = -2x - 2x - 1 = -4x-1$

Obținem:

(3 puncte)

Calculăm matricea $A(-2x-1)$ folosind definiția $A(t) = \begin{pmatrix} t+1 & -t \\ -2t & 2t+1 \end{pmatrix}$ pentru $t = -2x - 1$:

Prin urmare, $A(-1) \cdot A(x) = A(-2x-1)$, pentru orice număr real $x$.

(2 puncte)

c) Determinarea perechilor $(m, n)$

Folosind distributivitatea înmulțirii matricelor față de adunare și relația de la punctul b):

Calculăm suma $A(-2m-1) + A(-2n-1)$:

• Rândul 1, coloana 1: $(-2m-1+1) + (-2n-1+1) = -2m - 2n = 2(-m-n-1+1)$
• Rândul 1, coloana 2: $(2m+1) + (2n+1) = 2m + 2n + 2 = -2(-m-n-1)$
• Rândul 2, coloana 1: $(4m+2) + (4n+2) = 4m + 4n + 4 = -2 \cdot 2(-m-n-1)$
• Rândul 2, coloana 2: $(-4m-1) + (-4n-1) = -4m - 4n - 2 = 2 \cdot 2(-m-n-1) + 2$

Rezultă că:

pentru orice numere reale $m$ și $n$.

(3 puncte)

Ecuația dată în enunț devine:

Egalând argumentele:

Deoarece $m, n \in \mathbb{N}$ și $m < n$, avem posibilitățile:

1. $m = 0 \implies n = 3$, iar $0 < 3$ (convine)
2. $m = 1 \implies n = 2$, iar $1 < 2$ (convine)

Așadar, perechile căutate sunt $(0, 3)$ și $(1, 2)$.

(2 puncte)

a) Calculul compunerii $1 \circ 2$

Înlocuim $x = 1$ și $y = 2$ în formula legii:

(3 puncte)

(2 puncte)

b) Demonstrarea faptului că $e = 0$ este element neutru

Un element $e \in \mathbb{R}$ este element neutru al legii „$\circ$” dacă $x \circ e = e \circ x = x$ pentru orice număr real $x$.

Calculăm $x \circ 0$:

pentru orice număr real $x$.

(2 puncte)

Calculăm $0 \circ x$:

pentru orice număr real $x$.

Cum $x \circ 0 = 0 \circ x = x$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$, rezultă că $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

(3 puncte)

c) Determinarea numărului real nenul $x$

Exprimăm cei doi membri ai ecuației:

Membrul stâng:

Membrul drept:

(2 puncte)

Egalăm cei doi membri:

Trecem toți termenii în membrul stâng:

Factorizăm trinomul de gradul al doilea în $3^x$:

Ecuația se rescrie:

Știind că $3^x > 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$ și din ipoteză $x \neq 0$, egalitatea se reduce la:

Avem două cazuri:

1. $3^x - 1 = 0 \implies 3^x = 3^0 \implies x = 0$, care nu convine deoarece $x$ este nenul.
2. $3^x - 3 = 0 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$, care este nenul și convine.

Așadar, unica soluție este $x = 1$.

(3 puncte)

a) Calculul derivatei funcției $f$

Observăm că trinomul $x^2 + 3x + 3$ are discriminantul $\Delta = 9 - 12 = -3 < 0$, deci $x^2 + 3x + 3 > 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

Aplicăm regula de derivare a câtului $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

(3 puncte)

Dăm factor comun $e^x$ la numărător:

pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

(2 puncte)

b) Calculul limitei la $+\infty$

Avem o nedeterminare de tipul $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$:

Aplicăm regula lui l’Hôpital:

(3 puncte)

Aplicăm din nou regula lui l’Hôpital (cazul $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$):

(2 puncte)

c) Demonstrarea inegalității pentru $x \le 0 \le y$

Aflăm rădăcinile derivatei $f'(x) = 0$:

Deoarece $e^x > 0$ și $(x^2 + 3x + 3)^2 > 0$, semnul lui $f'(x)$ este dat de semnul produsului $x(x + 1)$:

• Pentru $x \in (-\infty, -1]$, avem $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty, -1]$.
• Pentru $x \in [-1, 0]$, avem $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-1, 0]$.
• Pentru $x \in [0, +\infty)$, avem $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[0, +\infty)$.

(2 puncte)

Fie $x, y \in \mathbb{R}$ cu $x \le 0 \le y$:

• Pe intervalul $(-\infty, 0]$, funcția atinge valoarea maximă în punctul de maxim $x = -1$:

• Pe intervalul $[0, +\infty)$, funcția este crescătoare, deci atinge valoarea minimă în $y = 0$:

Adunând inegalitățile:

pentru orice numere reale $x$ și $y$, cu $x \le 0 \le y$.

(3 puncte)

a) Calculul integralei $\int_1^2 (f(x) - 3x\ln x)\,dx$

Avem $f(x) - 3x\ln x = 4x + 1$. Integrala devine:

(3 puncte)

Aplicăm formula Leibniz-Newton:

(2 puncte)

b) Calculul integralei $\int_1^e \frac{f(x) - 4x - 1}{x}\,dx$

Avem $f(x) - 4x - 1 = 3x\ln x$. Integrala devine:

Aplicăm integrarea prin părți alegând $u(x) = \ln x \implies u'(x) = \frac{1}{x}$ și $v'(x) = 3 \implies v(x) = 3x$:

(3 puncte)

Calculăm valorile pe intervalul $[1, e]$:

(2 puncte)

c) Determinarea numărului real $a$

Observăm că $f(x) - 1 = 4x + 3x\ln x$. Integrala din enunț este:

Separăm cele două integrale:

(3 puncte)

Evaluăm fiecare primitivă între limitele $2$ și $4$:

Adunând cele două rezultate:

Egalând cu expresia $a\ln 2$ din enunț:

(2 puncte)