Proba E. c) Matematică M_șt-nat
Model Oficial
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Progresii Aritmetice (5p)
Determinați termenul a 1 a_1 a 1 ( a n ) n ≥ 1 (a_n)_{n \ge 1} ( a n ) n ≥ 1 a 3 = 19 a_3 = 19 a 3 = 19 a 4 = 25 a_4 = 25 a 4 = 25
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Pasul 1: Determinarea rației progresiei aritmetice
Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este egală cu rația r r r
r = a 4 − a 3 = 25 − 19 = 6 r = a_4 - a_3 = 25 - 19 = 6 r = a 4 − a 3 = 25 − 19 = 6 (3 puncte)
Folosind formula termenului general a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ r a_n = a_1 + (n-1) \cdot r a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ r n = 3 n = 3 n = 3
a 3 = a 1 + 2 r ⟹ 19 = a 1 + 2 ⋅ 6 = a 1 + 12 a_3 = a_1 + 2r \implies 19 = a_1 + 2 \cdot 6 = a_1 + 12 a 3 = a 1 + 2 r ⟹ 19 = a 1 + 2 ⋅ 6 = a 1 + 12 a 1 = 19 − 12 = 7 a_1 = 19 - 12 = 7 a 1 = 19 − 12 = 7 (2 puncte)
2. Funcție de Gradul al Doilea (5p)
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 + a f(x) = x^2 + a f ( x ) = x 2 + a a a a a a a f ( 2 ) = 8 f(2) = 8 f ( 2 ) = 8
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Pasul 1: Exprimarea valorii f ( 2 ) f(2) f ( 2 ) a a a
Înlocuim x = 2 x = 2 x = 2 f f f
f ( 2 ) = 2 2 + a = 4 + a f(2) = 2^2 + a = 4 + a f ( 2 ) = 2 2 + a = 4 + a (2 puncte)
Pasul 2: Determinarea numărului real a a a
Egalăm rezultatul cu valoarea dată în ipoteză:
4 + a = 8 ⟹ a = 8 − 4 = 4 4 + a = 8 \implies a = 8 - 4 = 4 4 + a = 8 ⟹ a = 8 − 4 = 4 (3 puncte)
3. Ecuație Exponențială (5p)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 2 − x − 1 625 ⋅ 25 x = 0 5^{2-x} - \frac{1}{625} \cdot 25^x = 0 5 2 − x − 625 1 ⋅ 2 5 x = 0
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Pasul 1: Aducerea termenilor la aceeași bază
Scriem factorii ca puteri ale bazei 5 5 5
1 625 = 1 5 4 = 5 − 4 , 25 x = ( 5 2 ) x = 5 2 x \frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}, \quad 25^x = (5^2)^x = 5^{2x} 625 1 = 5 4 1 = 5 − 4 , 2 5 x = ( 5 2 ) x = 5 2 x Produsul devine:
1 625 ⋅ 25 x = 5 − 4 ⋅ 5 2 x = 5 2 x − 4 \frac{1}{625} \cdot 25^x = 5^{-4} \cdot 5^{2x} = 5^{2x-4} 625 1 ⋅ 2 5 x = 5 − 4 ⋅ 5 2 x = 5 2 x − 4 Rescriem ecuația:
5 2 − x − 5 2 x − 4 = 0 ⟺ 5 2 − x = 5 2 x − 4 5^{2-x} - 5^{2x-4} = 0 \iff 5^{2-x} = 5^{2x-4} 5 2 − x − 5 2 x − 4 = 0 ⟺ 5 2 − x = 5 2 x − 4 (3 puncte)
Pasul 2: Egalarea exponenților și aflarea soluției
Datorită injectivității funcției exponențiale de bază 5 5 5
2 − x = 2 x − 4 2 - x = 2x - 4 2 − x = 2 x − 4 2 + 4 = 2 x + x ⟹ 3 x = 6 ⟹ x = 2 2 + 4 = 2x + x \implies 3x = 6 \implies x = 2 2 + 4 = 2 x + x ⟹ 3 x = 6 ⟹ x = 2 (2 puncte)
4. Combinatorică — Submulțimi (5p)
Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Numărul submulțimilor cu 2 2 2 6 6 6 6 6 6 2 2 2
C 6 2 = 6 ! 2 ! ⋅ ( 6 − 2 ) ! = 6 ! 2 ! ⋅ 4 ! C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} C 6 2 = 2 ! ⋅ ( 6 − 2 )! 6 ! = 2 ! ⋅ 4 ! 6 ! (3 puncte)
Pasul 2: Calculul efectiv
Simplificăm factorialul:
C 6 2 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ! 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ! = 30 2 = 15 C_6^2 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15 C 6 2 = 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ! = 2 30 = 15 Așadar, mulțimea A A A 15 15 15
(2 puncte)
5. Geometrie Analitică — Segment și Mijloace (5p)
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 2 , 2 ) A(2, 2) A ( 2 , 2 ) B ( 2 , 0 ) B(2, 0) B ( 2 , 0 ) C ( 8 , 2 ) C(8, 2) C ( 8 , 2 ) D E DE D E D D D E E E O A OA O A B C BC B C
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Pasul 1: Determinarea coordonatelor punctelor D D D E E E
Originea reperului cartezian este O ( 0 , 0 ) O(0, 0) O ( 0 , 0 ) D D D O A OA O A
x D = x O + x A 2 = 0 + 2 2 = 1 , y D = y O + y A 2 = 0 + 2 2 = 1 ⟹ D ( 1 , 1 ) x_D = \frac{x_O + x_A}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1, \quad y_D = \frac{y_O + y_A}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1 \implies D(1, 1) x D = 2 x O + x A = 2 0 + 2 = 1 , y D = 2 y O + y A = 2 0 + 2 = 1 ⟹ D ( 1 , 1 ) Punctul E E E B C BC B C B ( 2 , 0 ) B(2, 0) B ( 2 , 0 ) C ( 8 , 2 ) C(8, 2) C ( 8 , 2 )
x E = x B + x C 2 = 2 + 8 2 = 5 , y E = y B + y C 2 = 0 + 2 2 = 1 ⟹ E ( 5 , 1 ) x_E = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5, \quad y_E = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1 \implies E(5, 1) x E = 2 x B + x C = 2 2 + 8 = 5 , y E = 2 y B + y C = 2 0 + 2 = 1 ⟹ E ( 5 , 1 ) (2 puncte)
Pasul 2: Calculul lungimii segmentului D E DE D E
Aplicăm formula distanței dintre două puncte:
D E = ( x E − x D ) 2 + ( y E − y D ) 2 = ( 5 − 1 ) 2 + ( 1 − 1 ) 2 = 4 2 + 0 2 = 4 DE = \sqrt{(x_E - x_D)^2 + (y_E - y_D)^2} = \sqrt{(5 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 D E = ( x E − x D ) 2 + ( y E − y D ) 2 = ( 5 − 1 ) 2 + ( 1 − 1 ) 2 = 4 2 + 0 2 = 4 (3 puncte)
6. Trigonometrie și Cerc Circumscris (5p)
Se consideră triunghiul A B C ABC A B C A A A A B = 6 AB = 6 A B = 6 B ^ = π 6 \widehat{B} = \frac{\pi}{6} B = 6 π A B C ABC A B C 2 3 2\sqrt{3} 2 3
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
Pasul 1: Determinarea lungimii ipotenuzei B C BC B C
În triunghiul dreptunghic A B C ABC A B C A ^ = 90 ∘ \widehat{A} = 90^\circ A = 9 0 ∘ A B AB A B B B B B C BC B C
cos B = A B B C ⟹ cos π 6 = 6 B C \cos B = \frac{AB}{BC} \implies \cos \frac{\pi}{6} = \frac{6}{BC} cos B = B C A B ⟹ cos 6 π = B C 6 Știind că cos π 6 = 3 2 \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} cos 6 π = 2 3
3 2 = 6 B C ⟹ B C = 6 ⋅ 2 3 = 12 3 = 12 3 3 = 4 3 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{BC} \implies BC = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} 2 3 = B C 6 ⟹ B C = 3 6 ⋅ 2 = 3 12 = 3 12 3 = 4 3 (3 puncte)
Pasul 2: Calculul razei cercului circumscris
Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris se află în mijlocul ipotenuzei, prin urmare raza cercului circumscris R R R
R = B C 2 = 4 3 2 = 2 3 R = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} R = 2 B C = 2 4 3 = 2 3 (2 puncte)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Matrice și Determinanți (15p)
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A = ( 0 − 1 2 4 ) A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} A = ( 0 2 − 1 4 ) M ( a ) = ( a 1 2 − 2 a 2 − a ) M(a) = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 - 2a & 2 - a \end{pmatrix} M ( a ) = ( a 2 − 2 a 1 2 − a ) a a a
a) Arătați că det A = 2 \det A = 2 det A = 2 (5p)
b) Determinați numărul real x x x M ( 2 ) ⋅ A = x M ( 1 ) M(2) \cdot A = x M(1) M ( 2 ) ⋅ A = x M ( 1 ) (5p)
c) Determinați numerele reale a a a ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a + 2 ) I 2 (M(a) - 2I_2) \cdot M(a) = (a + 2)I_2 ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a + 2 ) I 2 (5p)
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
a) Calculul determinantului matricei A A A
Aplicăm formula determinantului de ordinul 2 2 2
det A = ∣ 0 − 1 2 4 ∣ = 0 ⋅ 4 − ( − 1 ) ⋅ 2 \det A = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \cdot 4 - (-1) \cdot 2 det A = 0 2 − 1 4 = 0 ⋅ 4 − ( − 1 ) ⋅ 2 (3 puncte)
= 0 + 2 = 2 = 0 + 2 = 2 = 0 + 2 = 2 (2 puncte)
b) Determinarea numărului real x x x
Calculăm matricele M ( 2 ) M(2) M ( 2 ) M ( 1 ) M(1) M ( 1 )
M ( 2 ) = ( 2 1 2 − 2 ⋅ 2 2 − 2 ) = ( 2 1 − 2 0 ) M(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 2 & 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} M ( 2 ) = ( 2 2 − 2 ⋅ 2 1 2 − 2 ) = ( 2 − 2 1 0 ) M ( 1 ) = ( 1 1 2 − 2 ⋅ 1 2 − 1 ) = ( 1 1 0 1 ) M(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} M ( 1 ) = ( 1 2 − 2 ⋅ 1 1 2 − 1 ) = ( 1 0 1 1 ) Efectuăm produsul M ( 2 ) ⋅ A M(2) \cdot A M ( 2 ) ⋅ A
M ( 2 ) ⋅ A = ( 2 1 − 2 0 ) ( 0 − 1 2 4 ) = ( 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 − 2 ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ 4 ) = ( 2 2 0 2 ) M(2) \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 \\ -2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 & -2 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} M ( 2 ) ⋅ A = ( 2 − 2 1 0 ) ( 0 2 − 1 4 ) = ( 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ 4 ) = ( 2 0 2 2 ) Observăm că:
M ( 2 ) ⋅ A = 2 ( 1 1 0 1 ) = 2 M ( 1 ) M(2) \cdot A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 M(1) M ( 2 ) ⋅ A = 2 ( 1 0 1 1 ) = 2 M ( 1 ) (3 puncte)
Ecuația devine:
2 M ( 1 ) = x M ( 1 ) 2 M(1) = x M(1) 2 M ( 1 ) = x M ( 1 ) Deoarece M ( 1 ) ≠ O 2 M(1) \neq O_2 M ( 1 ) = O 2
x = 2 x = 2 x = 2 (2 puncte)
c) Determinarea valorilor parametrului real a a a
Calculăm diferența M ( a ) − 2 I 2 M(a) - 2I_2 M ( a ) − 2 I 2
M ( a ) − 2 I 2 = ( a 1 2 − 2 a 2 − a ) − ( 2 0 0 2 ) = ( a − 2 1 2 − 2 a − a ) M(a) - 2I_2 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 - 2a & 2 - a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - 2 & 1 \\ 2 - 2a & -a \end{pmatrix} M ( a ) − 2 I 2 = ( a 2 − 2 a 1 2 − a ) − ( 2 0 0 2 ) = ( a − 2 2 − 2 a 1 − a ) Calculăm produsul ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) (M(a) - 2I_2) \cdot M(a) ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a )
( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a − 2 1 2 − 2 a − a ) ( a 1 2 − 2 a 2 − a ) (M(a) - 2I_2) \cdot M(a) = \begin{pmatrix} a - 2 & 1 \\ 2 - 2a & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 - 2a & 2 - a \end{pmatrix} ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a − 2 2 − 2 a 1 − a ) ( a 2 − 2 a 1 2 − a ) Efectuăm produsele pe fiecare poziție:
Rândul 1, coloana 1: ( a − 2 ) a + 1 ( 2 − 2 a ) = a 2 − 2 a + 2 − 2 a = a 2 − 4 a + 2 (a - 2)a + 1(2 - 2a) = a^2 - 2a + 2 - 2a = a^2 - 4a + 2 ( a − 2 ) a + 1 ( 2 − 2 a ) = a 2 − 2 a + 2 − 2 a = a 2 − 4 a + 2
Rândul 1, coloana 2: ( a − 2 ) ⋅ 1 + 1 ( 2 − a ) = a − 2 + 2 − a = 0 (a - 2)\cdot 1 + 1(2 - a) = a - 2 + 2 - a = 0 ( a − 2 ) ⋅ 1 + 1 ( 2 − a ) = a − 2 + 2 − a = 0
Rândul 2, coloana 1: ( 2 − 2 a ) a + ( − a ) ( 2 − 2 a ) = 2 a − 2 a 2 − 2 a + 2 a 2 = 0 (2 - 2a)a + (-a)(2 - 2a) = 2a - 2a^2 - 2a + 2a^2 = 0 ( 2 − 2 a ) a + ( − a ) ( 2 − 2 a ) = 2 a − 2 a 2 − 2 a + 2 a 2 = 0
Rândul 2, coloana 2: ( 2 − 2 a ) ⋅ 1 + ( − a ) ( 2 − a ) = 2 − 2 a − 2 a + a 2 = a 2 − 4 a + 2 (2 - 2a)\cdot 1 + (-a)(2 - a) = 2 - 2a - 2a + a^2 = a^2 - 4a + 2 ( 2 − 2 a ) ⋅ 1 + ( − a ) ( 2 − a ) = 2 − 2 a − 2 a + a 2 = a 2 − 4 a + 2
Așadar:
( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a 2 − 4 a + 2 0 0 a 2 − 4 a + 2 ) (M(a) - 2I_2) \cdot M(a) = \begin{pmatrix} a^2 - 4a + 2 & 0 \\ 0 & a^2 - 4a + 2 \end{pmatrix} ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a 2 − 4 a + 2 0 0 a 2 − 4 a + 2 ) pentru orice număr real a a a
(3 puncte)
Membrul drept al ecuației este:
( a + 2 ) I 2 = ( a + 2 0 0 a + 2 ) (a + 2)I_2 = \begin{pmatrix} a + 2 & 0 \\ 0 & a + 2 \end{pmatrix} ( a + 2 ) I 2 = ( a + 2 0 0 a + 2 ) Egalând matricele:
( a 2 − 4 a + 2 0 0 a 2 − 4 a + 2 ) = ( a + 2 0 0 a + 2 ) ⟹ a 2 − 4 a + 2 = a + 2 \begin{pmatrix} a^2 - 4a + 2 & 0 \\ 0 & a^2 - 4a + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2 & 0 \\ 0 & a + 2 \end{pmatrix} \implies a^2 - 4a + 2 = a + 2 ( a 2 − 4 a + 2 0 0 a 2 − 4 a + 2 ) = ( a + 2 0 0 a + 2 ) ⟹ a 2 − 4 a + 2 = a + 2 a 2 − 5 a = 0 ⟺ a ( a − 5 ) = 0 a^2 - 5a = 0 \iff a(a - 5) = 0 a 2 − 5 a = 0 ⟺ a ( a − 5 ) = 0 De unde obținem soluțiile:
a = 0 sau a = 5 a = 0 \quad \text{sau} \quad a = 5 a = 0 sau a = 5 (2 puncte)
2. Legi de Compoziție (15p)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = ( x − 6 ) ( y − 6 ) + 6 x \circ y = (x - 6)(y - 6) + 6 x ∘ y = ( x − 6 ) ( y − 6 ) + 6
a) Arătați că 9 ∘ 8 = 12 9 \circ 8 = 12 9 ∘ 8 = 12 (5p)
b) Arătați că e = 7 e = 7 e = 7 ∘ \circ ∘ (5p)
c) Determinați numerele reale nenule x x x x ∘ 6 x = 6 x x \circ \frac{6}{x} = 6x x ∘ x 6 = 6 x (5p)
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
a) Calculul compunerii 9 ∘ 8 9 \circ 8 9 ∘ 8
Înlocuim x = 9 x = 9 x = 9 y = 8 y = 8 y = 8
9 ∘ 8 = ( 9 − 6 ) ( 8 − 6 ) + 6 = 3 ⋅ 2 + 6 9 \circ 8 = (9 - 6)(8 - 6) + 6 = 3 \cdot 2 + 6 9 ∘ 8 = ( 9 − 6 ) ( 8 − 6 ) + 6 = 3 ⋅ 2 + 6 (3 puncte)
= 6 + 6 = 12 = 6 + 6 = 12 = 6 + 6 = 12 (2 puncte)
b) Verificarea elementului neutru e = 7 e = 7 e = 7
Elementul e ∈ R e \in \mathbb{R} e ∈ R x ∘ e = e ∘ x = x x \circ e = e \circ x = x x ∘ e = e ∘ x = x x x x
Calculăm x ∘ 7 x \circ 7 x ∘ 7
x ∘ 7 = ( x − 6 ) ( 7 − 6 ) + 6 = ( x − 6 ) ⋅ 1 + 6 = x − 6 + 6 = x x \circ 7 = (x - 6)(7 - 6) + 6 = (x - 6) \cdot 1 + 6 = x - 6 + 6 = x x ∘ 7 = ( x − 6 ) ( 7 − 6 ) + 6 = ( x − 6 ) ⋅ 1 + 6 = x − 6 + 6 = x (2 puncte)
Calculăm 7 ∘ x 7 \circ x 7 ∘ x
7 ∘ x = ( 7 − 6 ) ( x − 6 ) + 6 = 1 ⋅ ( x − 6 ) + 6 = x − 6 + 6 = x 7 \circ x = (7 - 6)(x - 6) + 6 = 1 \cdot (x - 6) + 6 = x - 6 + 6 = x 7 ∘ x = ( 7 − 6 ) ( x − 6 ) + 6 = 1 ⋅ ( x − 6 ) + 6 = x − 6 + 6 = x pentru orice număr real x x x
Deoarece x ∘ 7 = 7 ∘ x = x x \circ 7 = 7 \circ x = x x ∘ 7 = 7 ∘ x = x x x x e = 7 e = 7 e = 7 ∘ \circ ∘
(3 puncte)
c) Rezolvarea ecuației x ∘ 6 x = 6 x x \circ \frac{6}{x} = 6x x ∘ x 6 = 6 x
Fie x ∈ R ∗ x \in \mathbb{R}^* x ∈ R ∗
x ∘ 6 x = ( x − 6 ) ( 6 x − 6 ) + 6 x \circ \frac{6}{x} = (x - 6)\left(\frac{6}{x} - 6\right) + 6 x ∘ x 6 = ( x − 6 ) ( x 6 − 6 ) + 6 Aducem paranteza a doua la numitor comun:
6 x − 6 = 6 − 6 x x = 6 ( 1 − x ) x \frac{6}{x} - 6 = \frac{6 - 6x}{x} = \frac{6(1 - x)}{x} x 6 − 6 = x 6 − 6 x = x 6 ( 1 − x ) Astfel:
x ∘ 6 x = 6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) x + 6 x \circ \frac{6}{x} = \frac{6(x - 6)(1 - x)}{x} + 6 x ∘ x 6 = x 6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) + 6 pentru orice număr real nenul x x x
(2 puncte)
Ecuația dată în enunț este:
6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) x + 6 = 6 x \frac{6(x - 6)(1 - x)}{x} + 6 = 6x x 6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) + 6 = 6 x Trecem termenul liber 6 6 6
6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) x = 6 x − 6 = 6 ( x − 1 ) \frac{6(x - 6)(1 - x)}{x} = 6x - 6 = 6(x - 1) x 6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) = 6 x − 6 = 6 ( x − 1 ) Împărțim ambele părți ale ecuației prin 6 6 6
( x − 6 ) ( 1 − x ) x = x − 1 \frac{(x - 6)(1 - x)}{x} = x - 1 x ( x − 6 ) ( 1 − x ) = x − 1 Deoarece 1 − x = − ( x − 1 ) 1 - x = -(x - 1) 1 − x = − ( x − 1 )
− ( x − 6 ) ( x − 1 ) x = x − 1 -\frac{(x - 6)(x - 1)}{x} = x - 1 − x ( x − 6 ) ( x − 1 ) = x − 1 Trecem toți termenii în membrul stâng și dăm factor comun ( x − 1 ) (x - 1) ( x − 1 )
( x − 1 ) + ( x − 6 ) ( x − 1 ) x = 0 ⟺ ( x − 1 ) ( 1 + x − 6 x ) = 0 (x - 1) + \frac{(x - 6)(x - 1)}{x} = 0 \iff (x - 1)\left(1 + \frac{x - 6}{x}\right) = 0 ( x − 1 ) + x ( x − 6 ) ( x − 1 ) = 0 ⟺ ( x − 1 ) ( 1 + x x − 6 ) = 0 ( x − 1 ) ( x + x − 6 x ) = 0 ⟺ ( x − 1 ) ( 2 x − 6 x ) = 0 (x - 1)\left(\frac{x + x - 6}{x}\right) = 0 \iff (x - 1)\left(\frac{2x - 6}{x}\right) = 0 ( x − 1 ) ( x x + x − 6 ) = 0 ⟺ ( x − 1 ) ( x 2 x − 6 ) = 0 2 ( x − 1 ) ( x − 3 ) x = 0 ⟺ x 2 − 4 x + 3 = 0 \frac{2(x - 1)(x - 3)}{x} = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 x 2 ( x − 1 ) ( x − 3 ) = 0 ⟺ x 2 − 4 x + 3 = 0 Rădăcinile ecuației pătratice sunt:
x = 1 sau x = 3 x = 1 \quad \text{sau} \quad x = 3 x = 1 sau x = 3 Ambele valori sunt numere reale nenule (1 , 3 ∈ R ∗ 1, 3 \in \mathbb{R}^* 1 , 3 ∈ R ∗
(3 puncte)
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Analiză Matematică — Calcul Diferențial (15p)
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( x 2 − 5 ) x f(x) = (x^2 - 5)\sqrt{x} f ( x ) = ( x 2 − 5 ) x
a) Arătați că f ′ ( x ) = 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 x f'(x) = \frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}} f ′ ( x ) = 2 x 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x \in (0, +\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) (5p)
b) Arătați că lim x → + ∞ f ′ ( x ) x x = 5 2 \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \frac{5}{2} lim x → + ∞ x x f ′ ( x ) = 2 5 (5p)
c) Arătați că f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 26 f(x+2) - f(x) \le 26 f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 26 x ∈ ( 0 , 2 ] x \in (0, 2] x ∈ ( 0 , 2 ] (5p)
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
a) Calculul derivatei funcției f f f
Aplicăm regula de derivare a produsului ( u ⋅ v ) ′ = u ′ v + u v ′ (u \cdot v)' = u'v + uv' ( u ⋅ v ) ′ = u ′ v + u v ′ u ( x ) = x 2 − 5 u(x) = x^2 - 5 u ( x ) = x 2 − 5 v ( x ) = x v(x) = \sqrt{x} v ( x ) = x
f ′ ( x ) = ( x 2 − 5 ) ′ ⋅ x + ( x 2 − 5 ) ⋅ ( x ) ′ = 2 x ⋅ x + ( x 2 − 5 ) ⋅ 1 2 x f'(x) = (x^2 - 5)' \cdot \sqrt{x} + (x^2 - 5) \cdot (\sqrt{x})' = 2x \cdot \sqrt{x} + (x^2 - 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} f ′ ( x ) = ( x 2 − 5 ) ′ ⋅ x + ( x 2 − 5 ) ⋅ ( x ) ′ = 2 x ⋅ x + ( x 2 − 5 ) ⋅ 2 x 1 (3 puncte)
Aducem termenii la numitorul comun 2 x 2\sqrt{x} 2 x
f ′ ( x ) = 2 x ⋅ 2 x + x 2 − 5 2 x = 4 x 2 + x 2 − 5 2 x = 5 x 2 − 5 2 x = 5 ( x 2 − 1 ) 2 x = 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 x f'(x) = \frac{2x \cdot 2x + x^2 - 5}{2\sqrt{x}} = \frac{4x^2 + x^2 - 5}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2 - 5}{2\sqrt{x}} = \frac{5(x^2 - 1)}{2\sqrt{x}} = \frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}} f ′ ( x ) = 2 x 2 x ⋅ 2 x + x 2 − 5 = 2 x 4 x 2 + x 2 − 5 = 2 x 5 x 2 − 5 = 2 x 5 ( x 2 − 1 ) = 2 x 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) pentru orice x ∈ ( 0 , + ∞ ) x \in (0, +\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
(2 puncte)
b) Calculul limitei la infinit
Substituim expresia derivatei f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
lim x → + ∞ f ′ ( x ) x x = lim x → + ∞ 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 x x x = lim x → + ∞ 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 x ⋅ x = lim x → + ∞ 5 ( x 2 − 1 ) 2 x 2 \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}}{x\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5(x-1)(x+1)}{2x \cdot x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5(x^2 - 1)}{2x^2} x → + ∞ lim x x f ′ ( x ) = x → + ∞ lim x x 2 x 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x → + ∞ lim 2 x ⋅ x 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x → + ∞ lim 2 x 2 5 ( x 2 − 1 ) (3 puncte)
Factorizăm x 2 x^2 x 2
= lim x → + ∞ 5 x 2 ( 1 − 1 x 2 ) 2 x 2 = lim x → + ∞ 5 ( 1 − 1 x 2 ) 2 = 5 ( 1 − 0 ) 2 = 5 2 = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)}{2x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)}{2} = \frac{5(1 - 0)}{2} = \frac{5}{2} = x → + ∞ lim 2 x 2 5 x 2 ( 1 − x 2 1 ) = x → + ∞ lim 2 5 ( 1 − x 2 1 ) = 2 5 ( 1 − 0 ) = 2 5 (2 puncte)
c) Demonstrarea inegalității pentru x ∈ ( 0 , 2 ] x \in (0, 2] x ∈ ( 0 , 2 ]
Determinăm punctele critice ale funcției rezolvând ecuația f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f ′ ( x ) = 0 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) ( 0 , + ∞ )
5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 x = 0 ⟹ x − 1 = 0 ⟹ x = 1 ( deoarece x > 0 ) \frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \quad (\text{deoarece } x > 0) 2 x 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⟹ x − 1 = 0 ⟹ x = 1 ( deoarece x > 0 ) Studiem semnul derivatei f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
Pentru x ∈ ( 0 , 1 ] x \in (0, 1] x ∈ ( 0 , 1 ] x − 1 ≤ 0 x - 1 \le 0 x − 1 ≤ 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x) \le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f ( 0 , 1 ] (0, 1] ( 0 , 1 ]
Pentru x ∈ [ 1 , + ∞ ) x \in [1, +\infty) x ∈ [ 1 , + ∞ ) x − 1 ≥ 0 x - 1 \ge 0 x − 1 ≥ 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x) \ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 1 , + ∞ ) [1, +\infty) [ 1 , + ∞ )
(2 puncte)
Deoarece x ∈ ( 0 , 2 ] x \in (0, 2] x ∈ ( 0 , 2 ] f f f x = 1 x = 1 x = 1
f ( x ) ≥ f ( 1 ) = ( 1 2 − 5 ) 1 = − 4 ⟹ − f ( x ) ≤ 4 f(x) \ge f(1) = (1^2 - 5)\sqrt{1} = -4 \implies -f(x) \le 4 f ( x ) ≥ f ( 1 ) = ( 1 2 − 5 ) 1 = − 4 ⟹ − f ( x ) ≤ 4 Pentru x ∈ ( 0 , 2 ] x \in (0, 2] x ∈ ( 0 , 2 ] x + 2 ∈ ( 2 , 4 ] ⊂ [ 1 , + ∞ ) x + 2 \in (2, 4] \subset [1, +\infty) x + 2 ∈ ( 2 , 4 ] ⊂ [ 1 , + ∞ ) f f f [ 1 , + ∞ ) [1, +\infty) [ 1 , + ∞ ) f ( x + 2 ) f(x+2) f ( x + 2 ) x + 2 = 4 x + 2 = 4 x + 2 = 4
f ( x + 2 ) ≤ f ( 4 ) = ( 4 2 − 5 ) 4 = ( 16 − 5 ) ⋅ 2 = 11 ⋅ 2 = 22 f(x+2) \le f(4) = (4^2 - 5)\sqrt{4} = (16 - 5) \cdot 2 = 11 \cdot 2 = 22 f ( x + 2 ) ≤ f ( 4 ) = ( 4 2 − 5 ) 4 = ( 16 − 5 ) ⋅ 2 = 11 ⋅ 2 = 22 Însumând cele două inegalități:
f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 22 + 4 = 26 f(x+2) - f(x) \le 22 + 4 = 26 f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 22 + 4 = 26 pentru orice x ∈ ( 0 , 2 ] x \in (0, 2] x ∈ ( 0 , 2 ]
(3 puncte)
2. Analiză Matematică — Calcul Integral (15p)
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 + 4 ln x f(x) = x^2 + 4\ln x f ( x ) = x 2 + 4 ln x
a) Arătați că ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = 7 3 \int_1^2 (f(x) - 4\ln x)\,dx = \frac{7}{3} ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = 3 7 (5p)
b) Arătați că ∫ 1 e f ( x ) − x 2 x d x = 2 \int_1^e \frac{f(x) - x^2}{x}\,dx = 2 ∫ 1 e x f ( x ) − x 2 d x = 2 (5p)
c) Determinați numărul real m m m ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′ ′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = m ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) \int_1^2 \left(f(x)f''(x) + (f'(x))^2\right)dx = m(f(2) - f(1)) ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = m ( f ( 2 ) − f ( 1 )) (5p)
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial
Arată Rezolvarea Pas cu Pas
a) Calculul integralei ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x \int_1^2 (f(x) - 4\ln x)\,dx ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x
Înlocuim f ( x ) − 4 ln x = x 2 f(x) - 4\ln x = x^2 f ( x ) − 4 ln x = x 2
∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = ∫ 1 2 x 2 d x = x 3 3 ∣ 1 2 \int_1^2 (f(x) - 4\ln x)\,dx = \int_1^2 x^2\,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_1^2 ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = ∫ 1 2 x 2 d x = 3 x 3 1 2 (3 puncte)
Aplicăm formula Leibniz-Newton:
= 2 3 3 − 1 3 3 = 8 3 − 1 3 = 7 3 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} = 3 2 3 − 3 1 3 = 3 8 − 3 1 = 3 7 (2 puncte)
b) Calculul integralei ∫ 1 e f ( x ) − x 2 x d x \int_1^e \frac{f(x) - x^2}{x}\,dx ∫ 1 e x f ( x ) − x 2 d x
Expresia de la numărător este f ( x ) − x 2 = 4 ln x f(x) - x^2 = 4\ln x f ( x ) − x 2 = 4 ln x
∫ 1 e f ( x ) − x 2 x d x = ∫ 1 e 4 ln x x d x = 4 ∫ 1 e ln x ⋅ ( ln x ) ′ d x \int_1^e \frac{f(x) - x^2}{x}\,dx = \int_1^e \frac{4\ln x}{x}\,dx = 4 \int_1^e \ln x \cdot (\ln x)'\,dx ∫ 1 e x f ( x ) − x 2 d x = ∫ 1 e x 4 ln x d x = 4 ∫ 1 e ln x ⋅ ( ln x ) ′ d x (3 puncte)
O primitivă a funcției ln x ⋅ 1 x \ln x \cdot \frac{1}{x} ln x ⋅ x 1 ln 2 x 2 \frac{\ln^2 x}{2} 2 l n 2 x
= 4 ⋅ ln 2 x 2 ∣ 1 e = 2 ln 2 x ∣ 1 e = 2 ln 2 e − 2 ln 2 1 = 2 ⋅ 1 2 − 2 ⋅ 0 = 2 = \left. 4 \cdot \frac{\ln^2 x}{2} \right|_1^e = \left. 2\ln^2 x \right|_1^e = 2\ln^2 e - 2\ln^2 1 = 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 0 = 2 = 4 ⋅ 2 ln 2 x 1 e = 2 ln 2 x 1 e = 2 ln 2 e − 2 ln 2 1 = 2 ⋅ 1 2 − 2 ⋅ 0 = 2 (2 puncte)
c) Determinarea numărului real m m m
Recunoaștem că expresia de sub integrală este chiar derivata produsului f ( x ) f ′ ( x ) f(x)f'(x) f ( x ) f ′ ( x )
( f ( x ) f ′ ( x ) ) ′ = ( f ( x ) ) ′ ⋅ f ′ ( x ) + f ( x ) ⋅ ( f ′ ( x ) ) ′ = ( f ′ ( x ) ) 2 + f ( x ) f ′ ′ ( x ) (f(x)f'(x))' = (f(x))' \cdot f'(x) + f(x) \cdot (f'(x))' = (f'(x))^2 + f(x)f''(x) ( f ( x ) f ′ ( x ) ) ′ = ( f ( x ) ) ′ ⋅ f ′ ( x ) + f ( x ) ⋅ ( f ′ ( x ) ) ′ = ( f ′ ( x ) ) 2 + f ( x ) f ′′ ( x ) Prin urmare:
∫ 1 2 ( f ( x ) f ′ ′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′ ( x ) ) ′ d x = f ( x ) f ′ ( x ) ∣ 1 2 = f ( 2 ) f ′ ( 2 ) − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) \int_1^2 \left(f(x)f''(x) + (f'(x))^2\right)dx = \int_1^2 (f(x)f'(x))'\,dx = \left. f(x)f'(x) \right|_1^2 = f(2)f'(2) - f(1)f'(1) ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′ ( x ) ) ′ d x = f ( x ) f ′ ( x ) ∣ 1 2 = f ( 2 ) f ′ ( 2 ) − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) (3 puncte)
Calculăm derivata funcției f f f
f ′ ( x ) = ( x 2 + 4 ln x ) ′ = 2 x + 4 x , x ∈ ( 0 , + ∞ ) f'(x) = (x^2 + 4\ln x)' = 2x + \frac{4}{x}, \quad x \in (0, +\infty) f ′ ( x ) = ( x 2 + 4 ln x ) ′ = 2 x + x 4 , x ∈ ( 0 , + ∞ ) Evaluăm derivata în punctele 1 1 1 2 2 2
f ′ ( 1 ) = 2 ⋅ 1 + 4 1 = 2 + 4 = 6 f'(1) = 2 \cdot 1 + \frac{4}{1} = 2 + 4 = 6 f ′ ( 1 ) = 2 ⋅ 1 + 1 4 = 2 + 4 = 6 f ′ ( 2 ) = 2 ⋅ 2 + 4 2 = 4 + 2 = 6 f'(2) = 2 \cdot 2 + \frac{4}{2} = 4 + 2 = 6 f ′ ( 2 ) = 2 ⋅ 2 + 2 4 = 4 + 2 = 6 Deoarece f ′ ( 1 ) = f ′ ( 2 ) = 6 f'(1) = f'(2) = 6 f ′ ( 1 ) = f ′ ( 2 ) = 6
f ( 2 ) ⋅ 6 − f ( 1 ) ⋅ 6 = 6 ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) f(2) \cdot 6 - f(1) \cdot 6 = 6(f(2) - f(1)) f ( 2 ) ⋅ 6 − f ( 1 ) ⋅ 6 = 6 ( f ( 2 ) − f ( 1 )) Egalând cu membrul drept din ipoteză:
6 ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) = m ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) 6(f(2) - f(1)) = m(f(2) - f(1)) 6 ( f ( 2 ) − f ( 1 )) = m ( f ( 2 ) − f ( 1 )) Calculăm f ( 1 ) f(1) f ( 1 ) f ( 2 ) f(2) f ( 2 )
f ( 1 ) = 1 2 + 4 ln 1 = 1 , f ( 2 ) = 2 2 + 4 ln 2 = 4 + 4 ln 2 ≠ 1 f(1) = 1^2 + 4\ln 1 = 1, \quad f(2) = 2^2 + 4\ln 2 = 4 + 4\ln 2 \neq 1 f ( 1 ) = 1 2 + 4 ln 1 = 1 , f ( 2 ) = 2 2 + 4 ln 2 = 4 + 4 ln 2 = 1 Cum f ( 2 ) − f ( 1 ) ≠ 0 f(2) - f(1) \neq 0 f ( 2 ) − f ( 1 ) = 0 f ( 2 ) − f ( 1 ) f(2) - f(1) f ( 2 ) − f ( 1 )
m = 6 m = 6 m = 6 (2 puncte)