Desfacerea parantezei și extragerea radicalilor

Desfacem paranteza:

Calculăm ceilalți radicali:

Expresia devine:

(3 puncte)

Finalizarea calculului

Reducem termenii cu $\sqrt{6}$:

(2 puncte)

Formularea ecuației de intersecție

Punctul de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ are ordonata $y = 0$, așadar rezolvăm ecuația:

(3 puncte)

Aflarea abscisei

Abscisa punctului de intersecție este $x = -4$.

(2 puncte)

Condiții și ridicarea la pătrat

Deoarece membrul stâng este un radical de ordin par, se impune $x \ge 0$ și $x^2 + 3x - 15 \ge 0$. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:

Reducem termenul $x^2$:

(3 puncte)

Determinarea soluției și verificarea

Verificare: $\sqrt{5^2 + 3 \cdot 5 - 15} = \sqrt{25 + 15 - 15} = \sqrt{25} = 5 = x$, condiția este îndeplinită. Așadar, soluția ecuației este $x = 5$.

(2 puncte)

Numărul cazurilor posibile

Mulțimea $A$ conține cifrele de la $0$ la $9$, adică $10$ elemente:

(2 puncte)

Numărul cazurilor favorabile și probabilitatea

Calculăm cubul fiecărui element $n \in A$:

• $0^3 = 0$ (o cifră)
• $1^3 = 1$ (o cifră)
• $2^3 = 8$ (o cifră)
• $3^3 = 27$ (număr de două cifre)
• $4^3 = 64$ (număr de două cifre)
• $5^3 = 125$ (trei cifre, iar pentru $n \ge 5$ avem $n^3 \ge 100$)

Numerele care convin sunt $n \in \{3, 4\}$, deci există $2$ cazuri favorabile. Probabilitatea este:

(3 puncte)

Determinarea coordonatelor punctului $M$

Originea reperului este $O(0,0)$ și $A(2,4)$. Coordonatele mijlocului $M$ sunt:

(3 puncte)

Calculul distanței $BM$

Calculăm distanța dintre $B(5,2)$ și $M(1,2)$:

(2 puncte)

Identificarea valorilor trigonometrice

Avem valorile cunoscute:

(3 puncte)

Înlocuirea și calculul numeric

Substituim în expresie:

(2 puncte)

Înlocuirea în formula legii

Pentru $x = 1$ și $y = 4$:

(3 puncte)

Calculul numeric

(2 puncte)

Calculul compunerii $x * 5$

Pentru orice număr real $x$:

(3 puncte)

Rezolvarea ecuației

Ecuația devine:

(2 puncte)

Desfacerea parantezelor în membrul drept

Calculăm expresia $\frac{1}{4}(x - 4)(y - 4) + 4$:

(2 puncte)

Distribuirea scalarului și identificarea legii

Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale $x$ și $y$.

(3 puncte)

Exprimarea celor doi membri folosind forma restrânsă

Folosind formula $x * y = \frac{1}{4}(x - 4)(y - 4) + 4$:

(2 puncte)

Simplificarea și deducerea relației

Egalitatea $x * (y + 1) = (x - 1) * y$ devine:

Dezvoltăm produsele:

Reducem termenul $xy$ și transpunem termenii cu necunoscute în stânga:

(3 puncte)

Stabilirea semnelor factorilor

Din $x \in [4, +\infty) \implies x \ge 4 \implies x - 4 \ge 0$. Din $y \in [4, +\infty) \implies y \ge 4 \implies y - 4 \ge 0$. Produsul a două numere reale mai mari sau egale cu zero este mai mare sau egal cu zero:

(3 puncte)

Finalizarea inegalității

Înmulțind cu $\frac{1}{4} > 0$ și adunând $4$:

Deoarece $x * y = \frac{1}{4}(x - 4)(y - 4) + 4$, rezultă că $x * y \ge 4$, deci $x * y \in [4, +\infty)$.

(2 puncte)

Reducerea la relația demonstrată anterior

Observăm că $2^{2m} = (2^2)^m = 4^m$, deci ecuația se scrie:

Notând $x = 4^m$ și $y = n$, ecuația are exact forma $x * (y + 1) = (x - 1) * y$. Conform subpunctului 4, această egalitate este echivalentă cu:

(3 puncte)

Determinarea soluțiilor naturale

Deoarece $m, n \in \mathbb{N}$:

• Dacă $m = 0$: $4^0 + n = 8 \iff 1 + n = 8 \implies n = 7 \in \mathbb{N}$, de unde obținem perechea $(0, 7)$.
• Dacă $m = 1$: $4^1 + n = 8 \iff 4 + n = 8 \implies n = 4 \in \mathbb{N}$, de unde obținem perechea $(1, 4)$.
• Dacă $m \ge 2$: $4^m \ge 16 > 8 \implies n = 8 - 4^m < 0$, imposibil pentru $n \in \mathbb{N}$.

Perechile căutate de numere naturale sunt $(0, 7)$ și $(1, 4)$.

(2 puncte)

Scrierea matricei $B(4)$ și a determinantului

Pentru $x = 4$:

Determinantul este:

(3 puncte)

Calculul numeric

(2 puncte)

Calculul membrului stâng

Avem:

Însumând cele două matrice:

(3 puncte)

Calculul membrului drept și concluzia

Cum ambii membri sunt identici, egalitatea este demonstrată.

(2 puncte)

Calculul produsului $B(-2) \cdot B(5)$

Avem:

Înmulțim linie cu coloană:

(3 puncte)

Identificarea numărului $a$

Observăm matricea $B(0)$:

Scoatem scalarul $3$ factor comun din produs:

Relația $3B(0) = aB(0)$ conduce la $a = 3$.

(2 puncte)

Calculul matricei $2B(m) - A$ și a determinantului

Avem:

Scădem matricea $A$:

Determinantul este:

(2 puncte)

Rezolvarea inecuației în mulțimea numerelor întregi

Inecuația devine:

Rădăcinile expresiei sunt $m_1 = \frac{3}{2} = 1{,}5$ și $m_2 = \frac{5}{2} = 2{,}5$. Produsul este strict negativ între rădăcini:

Deoarece $m \in \mathbb{Z}$, singurul număr întreg din acest interval este $m = 2$.

(3 puncte)

Calculul produsului $B(n) \cdot B(-n)$

Avem matricele:

Înmulțim cele două matrice:

• Elementul (1,1): $(n + 2)(2 - n) + 3 \cdot 2 = 4 - n^2 + 6 = 10 - n^2$
• Elementul (1,2): $(n + 2) \cdot 3 + 3(-(n + 2)) = 3n + 6 - 3n - 6 = 0$
• Elementul (2,1): $2(2 - n) + (n - 2) \cdot 2 = 4 - 2n + 2n - 4 = 0$
• Elementul (2,2): $2 \cdot 3 + (n - 2)(-(n + 2)) = 6 - (n^2 - 4) = 10 - n^2$

Așadar:

(3 puncte)

Identificarea perechilor $(n, p)$ de numere naturale

Relația $B(n) \cdot B(-n) = 2pI_2$ devine:

Cum $n, p \in \mathbb{N}$, $2p \ge 0 \implies n^2 \le 10 \implies n \in \{0, 1, 2, 3\}$. Deoarece $2p$ este par, $10 - n^2$ trebuie să fie par, deci $n^2$ este par $\implies n$ este par ($n \in \{0, 2\}$):

• Pentru $n = 0$: $10 - 0 = 2p \implies 2p = 10 \implies p = 5 \in \mathbb{N}$, perechea $(0, 5)$.
• Pentru $n = 2$: $10 - 4 = 2p \implies 2p = 6 \implies p = 3 \in \mathbb{N}$, perechea $(2, 3)$.

Perechile căutate sunt $(0, 5)$ și $(2, 3)$.

(2 puncte)

Inversabilitatea matricei $B(4)$ și formula soluției

Din subpunctul 1, $\det(B(4)) = 6 \neq 0$, deci matricea $B(4)$ este inversabilă. Înmulțim ecuația la stânga cu $(B(4))^{-1}$:

(2 puncte)

Calculul inversei $(B(4))^{-1}$ și determinarea matricei $X$

Avem matricea:

Inversa unei matrice de ordin $2$ este:

Calculăm matricea $2A$:

Înmulțim matricele:

Așadar, matricea căutată este:

(3 puncte)