BACEduHub
matematicaPedagogicAnul 2026Sesiunea August (Toamnă)

Bacalaureat 2026 - Matematică Pedagogic - Sesiunea August (Toamnă)

Descarcă Subiect PDFDescarcă Barem PDF
Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Progresie Aritmetică (5p)

Determinați termenul a3a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1}, în care a1=2a_1 = 2 și a2=16a_2 = 16.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aflarea rației progresiei aritmetice

    Rația rr a progresiei aritmetice este diferența dintre doi termeni consecutivi:

    r=a2−a1=16−2=14r = a_2 - a_1 = 16 - 2 = 14

    (3 puncte)

  2. Calculul termenului a3a_3

    a3=a2+r=16+14=30a_3 = a_2 + r = 16 + 14 = 30

    (2 puncte)

2. Ecuație cu Funcții Liniare (5p)

Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−2f(x) = x - 2. Determinați numărul real mm pentru care f(3)+f(5)=f(m)f(3) + f(5) = f(m).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul valorilor funcției

    Calculăm valorile termenilor:

    f(3)=3−2=1,f(5)=5−2=3f(3) = 3 - 2 = 1, \quad f(5) = 5 - 2 = 3 f(m)=m−2,pentru orice numa˘r real mf(m) = m - 2, \quad \text{pentru orice număr real } m

    (3 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Relația f(3)+f(5)=f(m)f(3) + f(5) = f(m) devine:

    1+3=m−2  ⟺  4=m−2  ⟹  m=61 + 3 = m - 2 \iff 4 = m - 2 \implies m = 6

    (2 puncte)

3. Ecuație Irațională (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

3x=12−x\sqrt{3x} = \sqrt{12 - x}
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Condiții de existență și ridicare la pătrat

    Condițiile de existență pentru radicali impun:

    3x≥0  ⟹  x≥0și12−x≥0  ⟹  x≤12  ⟹  x∈[0,12]3x \ge 0 \implies x \ge 0 \quad \text{și} \quad 12 - x \ge 0 \implies x \le 12 \implies x \in [0, 12]

    Ridicăm ambii membri la pătrat:

    3x=12−x3x = 12 - x

    (3 puncte)

  2. Aflarea soluției și verificarea

    3x+x=12  ⟺  4x=12  ⟹  x=33x + x = 12 \iff 4x = 12 \implies x = 3

    Cum 3∈[0,12]3 \in [0, 12], soluția convine.

    (2 puncte)

4. Probabilități (5p)

Se consideră mulțimea A={20,21,22,…,35}A = \{20, 21, 22, \dots, 35\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea AA, acesta să fie multiplu de 55.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Numărul cazurilor posibile

    Mulțimea AA conține numerele naturale consecutive de la 2020 la 3535. Numărul cazurilor posibile este:

    nr. cazuri posibile=35−20+1=16\text{nr. cazuri posibile} = 35 - 20 + 1 = 16

    (2 puncte)

  2. Numărul cazurilor favorabile și calculul probabilității

    Multiplii de 55 din mulțimea AA sunt:

    20, 25, 30, 35  ⟹  nr. cazuri favorabile=420, \, 25, \, 30, \, 35 \implies \text{nr. cazuri favorabile} = 4

    Probabilitatea este:

    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=416=14p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

    (3 puncte)

5. Geometrie Analitică - Triunghi Dreptunghic (5p)

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(1,3)M(1,3) și N(7,1)N(7,1). Arătați că triunghiul OMNOMN este dreptunghic.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul pătratelor lungimilor laturilor

    Originea reperului este O(0,0)O(0,0). Calculăm lungimile laturilor triunghiului:

    OM=(1−0)2+(3−0)2=1+9=10  ⟹  OM2=10OM = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \implies OM^2 = 10 ON=(7−0)2+(1−0)2=49+1=50  ⟹  ON2=50ON = \sqrt{(7 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \implies ON^2 = 50 MN=(7−1)2+(1−3)2=62+(−2)2=36+4=40  ⟹  MN2=40MN = \sqrt{(7 - 1)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \implies MN^2 = 40

    (2 puncte)

  2. Verificarea reciprocei teoremei lui Pitagora

    Observăm că:

    OM2+MN2=10+40=50=ON2OM^2 + MN^2 = 10 + 40 = 50 = ON^2

    Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul OMNOMN este dreptunghic în MM (cu ipotenuza ONON).

    (3 puncte)

6. Trigonometrie și Perimetru (5p)

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=8BC = 8 și măsura unghiului BB egală cu 45∘45^\circ. Arătați că perimetrul triunghiului ABCABC este egal cu 8(1+2)8(1 + \sqrt{2}).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Determinarea lungimilor catetelor

    Deoarece ∢A=90∘\sphericalangle A = 90^\circ și ∢B=45∘\sphericalangle B = 45^\circ, unghiul CC are măsura:

    ∢C=180∘−90∘−45∘=45∘\sphericalangle C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ

    Triunghiul ABCABC este dreptunghic isoscel, cu AB=ACAB = AC. Folosind funcția sinus pentru unghiul BB:

    sin⁡45∘=ACBC  ⟹  AC=BC⋅sin⁡45∘=8⋅22=42\sin 45^\circ = \frac{AC}{BC} \implies AC = BC \cdot \sin 45^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}

    Așadar, AB=AC=42AB = AC = 4\sqrt{2}.

    (2 puncte)

  2. Calculul perimetrului

    Perimetrul triunghiului ABCABC este suma tuturor laturilor:

    P△ABC=AB+AC+BC=42+42+8=82+8=8(1+2)P_{\triangle ABC} = AB + AC + BC = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 8 = 8\sqrt{2} + 8 = 8(1 + \sqrt{2})

    (3 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă:

x∘y=13(x−2)(y−2)+2x \circ y = \frac{1}{3}(x - 2)(y - 2) + 2

1. Calcul Direct (5p)

Arătați că 4∘8=64 \circ 8 = 6.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aplicarea formulei legii

    Pentru x=4x = 4 și y=8y = 8:

    4∘8=13(4−2)(8−2)+24 \circ 8 = \frac{1}{3}(4 - 2)(8 - 2) + 2

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    4∘8=13⋅2⋅6+2=123+2=4+2=64 \circ 8 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 6 + 2 = \frac{12}{3} + 2 = 4 + 2 = 6

    (2 puncte)

2. Ecuație de Gradul I (5p)

Determinați numărul real xx pentru care (−1)∘x=x(-1) \circ x = x.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul compunerii (−1)∘x(-1) \circ x

    Pentru orice număr real xx:

    (−1)∘x=13(−1−2)(x−2)+2=13(−3)(x−2)+2=−(x−2)+2=−x+4(-1) \circ x = \frac{1}{3}(-1 - 2)(x - 2) + 2 = \frac{1}{3}(-3)(x - 2) + 2 = -(x - 2) + 2 = -x + 4

    (3 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Ecuația (−1)∘x=x(-1) \circ x = x devine:

    −x+4=x  ⟺  2x=4  ⟹  x=2-x + 4 = x \iff 2x = 4 \implies x = 2

    (2 puncte)

3. Element Neutru (5p)

Arătați că e=5e = 5 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Verificarea identității x∘5=xx \circ 5 = x

    Pentru orice număr real xx:

    x∘5=13(x−2)(5−2)+2=13(x−2)⋅3+2=x−2+2=xx \circ 5 = \frac{1}{3}(x - 2)(5 - 2) + 2 = \frac{1}{3}(x - 2) \cdot 3 + 2 = x - 2 + 2 = x

    (2 puncte)

  2. Verificarea identității 5∘x=x5 \circ x = x și concluzia

    Deoarece legea este simetrică în raport cu xx și yy (comutativă):

    5∘x=13(5−2)(x−2)+2=13⋅3⋅(x−2)+2=x−2+2=x5 \circ x = \frac{1}{3}(5 - 2)(x - 2) + 2 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (x - 2) + 2 = x - 2 + 2 = x

    Cum x∘5=5∘x=xx \circ 5 = 5 \circ x = x pentru orice număr real xx, e=5e = 5 este elementul neutru al legii „∘\circ”.

    (3 puncte)

4. Numere Naturale și Divizibilitate (5p)

Determinați numerele naturale nn pentru care numărul N=n∘(−n)N = n \circ (-n) este natural.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Exprimarea numărului NN în funcție de nn

    Aplicăm definiția legii pentru elementele nn și −n-n:

    N=n∘(−n)=13(n−2)(−n−2)+2=−13(n−2)(n+2)+2=−n2−43+2=−n2+4+63=10−n23N = n \circ (-n) = \frac{1}{3}(n - 2)(-n - 2) + 2 = -\frac{1}{3}(n - 2)(n + 2) + 2 = -\frac{n^2 - 4}{3} + 2 = \frac{-n^2 + 4 + 6}{3} = \frac{10 - n^2}{3}

    (2 puncte)

  2. Determinarea valorilor acceptabile ale lui nn

    Condiția N∈NN \in \mathbb{N} implică N≥0N \ge 0 și 10−n210 - n^2 să fie divizibil cu 33. Din N≥0  ⟹  10−n2≥0  ⟹  n2≤10N \ge 0 \implies 10 - n^2 \ge 0 \implies n^2 \le 10. Deoarece n∈Nn \in \mathbb{N}, valorile posibile sunt n∈{0,1,2,3}n \in \{0, 1, 2, 3\}.

    Analizăm fiecare caz:

    • Pentru n=0n = 0: N=103∉NN = \frac{10}{3} \notin \mathbb{N}
    • Pentru n=1n = 1: N=10−13=93=3∈NN = \frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \in \mathbb{N} (convine)
    • Pentru n=2n = 2: N=10−43=63=2∈NN = \frac{10 - 4}{3} = \frac{6}{3} = 2 \in \mathbb{N} (convine)
    • Pentru n=3n = 3: N=10−93=13∉NN = \frac{10 - 9}{3} = \frac{1}{3} \notin \mathbb{N}

    Așadar, numerele naturale căutate sunt n=1n = 1 și n=2n = 2.

    (3 puncte)

5. Element Simetric (5p)

Determinați numărul real xx, știind că 11 este simetricul lui xx în raport cu legea de compoziție „∘\circ”.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Scrierea condiției de simetric

    Elementul neutru al legii este e=5e = 5. Dacă 11 este simetricul lui xx:

    x∘1=5x \circ 1 = 5

    Calculăm x∘1x \circ 1:

    x∘1=13(x−2)(1−2)+2=−13(x−2)+2x \circ 1 = \frac{1}{3}(x - 2)(1 - 2) + 2 = -\frac{1}{3}(x - 2) + 2

    Ecuația devine:

    −13(x−2)+2=5-\frac{1}{3}(x - 2) + 2 = 5

    (3 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    −13(x−2)=5−2  ⟺  −13(x−2)=3  ⟺  x−2=−9  ⟹  x=−7-\frac{1}{3}(x - 2) = 5 - 2 \iff -\frac{1}{3}(x - 2) = 3 \iff x - 2 = -9 \implies x = -7

    (2 puncte)

6. Ecuație Exponențială în Legea de Compoziție (5p)

Determinați numerele naturale mm și pp pentru care 2m∘3p=42^m \circ 3^p = 4.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Formularea ecuației algebrice

    Aplicăm definiția legii:

    2m∘3p=13(2m−2)(3p−2)+2=42^m \circ 3^p = \frac{1}{3}(2^m - 2)(3^p - 2) + 2 = 4

    Scădem 22 și înmulțim cu 33:

    13(2m−2)(3p−2)=2  ⟺  (2m−2)(3p−2)=6\frac{1}{3}(2^m - 2)(3^p - 2) = 2 \iff (2^m - 2)(3^p - 2) = 6

    (2 puncte)

  2. Determinarea soluțiilor în numere naturale

    Deoarece m,p∈Nm, p \in \mathbb{N}, factorii sunt numere întregi. Analizăm puterile lui 22:

    • Dacă m=0  ⟹  20−2=1−2=−1  ⟹  3p−2=−6  ⟹  3p=−4m = 0 \implies 2^0 - 2 = 1 - 2 = -1 \implies 3^p - 2 = -6 \implies 3^p = -4, imposibil în N\mathbb{N}.
    • Dacă m=1  ⟹  21−2=0  ⟹  0⋅(3p−2)=0≠6m = 1 \implies 2^1 - 2 = 0 \implies 0 \cdot (3^p - 2) = 0 \neq 6.
    • Dacă m=2  ⟹  22−2=2  ⟹  2(3p−2)=6  ⟹  3p−2=3  ⟹  3p=5m = 2 \implies 2^2 - 2 = 2 \implies 2(3^p - 2) = 6 \implies 3^p - 2 = 3 \implies 3^p = 5, fără soluții în N\mathbb{N}.
    • Dacă m=3  ⟹  23−2=6  ⟹  6(3p−2)=6  ⟹  3p−2=1  ⟹  3p=3  ⟹  p=1∈Nm = 3 \implies 2^3 - 2 = 6 \implies 6(3^p - 2) = 6 \implies 3^p - 2 = 1 \implies 3^p = 3 \implies p = 1 \in \mathbb{N}.
    • Dacă m≥4  ⟹  2m−2≥16−2=14>6m \ge 4 \implies 2^m - 2 \ge 16 - 2 = 14 > 6, iar factorul 3p−2≥1−2=−13^p - 2 \ge 1 - 2 = -1, produsul nu poate fi 66.

    Așadar, singurele numere naturale sunt m=3m = 3 și p=1p = 1.

    (3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele:

I2=(1001),A(x)=(20xx−3)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A(x) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ x & x-3 \end{pmatrix}

unde xx este număr real.

1. Determinantul Matricei A(5)A(5) (5p)

Arătați că det⁡(A(5))=4\det(A(5)) = 4.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Scrierea matricei A(5)A(5) și a formulei determinantului

    Pentru x=5x = 5:

    A(5)=(2055−3)=(2052)A(5) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}

    Determinantul este:

    det⁡(A(5))=∣2052∣=2⋅2−0⋅5\det(A(5)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 0 \cdot 5

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    det⁡(A(5))=4−0=4\det(A(5)) = 4 - 0 = 4

    (2 puncte)

2. Ecuație Matriceală Liniară (5p)

Determinați numărul real xx pentru care 3A(5)−A(1)=2A(x)3A(5) - A(1) = 2A(x).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul membrului stâng

    Avem:

    3A(5)=3(2052)=(60156)3A(5) = 3\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 15 & 6 \end{pmatrix}

    Pentru x=1x = 1:

    A(1)=(2011−3)=(201−2)A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

    Efectuăm scăderea:

    3A(5)−A(1)=(6−20−015−16−(−2))=(40148)=2(2074)3A(5) - A(1) = \begin{pmatrix} 6 - 2 & 0 - 0 \\ 15 - 1 & 6 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 14 & 8 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Identificarea numărului real xx

    Egalitatea 3A(5)−A(1)=2A(x)3A(5) - A(1) = 2A(x) devine:

    2A(x)=2(2074)  ⟹  A(x)=(2074)2A(x) = 2 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 7 & 4 \end{pmatrix} \implies A(x) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}

    Cum forma generală a matricei este:

    A(x)=(20xx−3)A(x) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ x & x - 3 \end{pmatrix}

    obținem x=7x = 7 (și x−3=7−3=4x - 3 = 7 - 3 = 4, verificat).

    Așadar, x=7x = 7.

    (2 puncte)

3. Relație cu Pătratul unei Matrice (5p)

Determinați numărul real mm pentru care A(4)⋅A(4)+2I2=mA(4)A(4) \cdot A(4) + 2I_2 = mA(4).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul matricei A(4)2A(4)^2 și al membrului stâng

    Pentru x=4x = 4:

    A(4)=(2041)A(4) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}

    Înmulțim A(4)A(4) cu ea însăși:

    A(4)⋅A(4)=(2041)(2041)=(2⋅2+004⋅2+1⋅40+1⋅1)=(40121)A(4) \cdot A(4) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 0 & 0 \\ 4 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 1 \end{pmatrix}

    Adunăm 2I22I_2:

    A(4)⋅A(4)+2I2=(40121)+(2002)=(60123)=3(2041)=3A(4)A(4) \cdot A(4) + 2I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 12 & 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 3A(4)

    (3 puncte)

  2. Aflarea valorii parametrului mm

    Egalitatea devine:

    3A(4)=mA(4)  ⟹  m=33A(4) = mA(4) \implies m = 3

    (2 puncte)

4. Ecuație cu Sumă de Matrice (5p)

Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A(x)+A(x2))=0\det(A(x) + A(x^2)) = 0.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul matricei sumă și al determinantului său

    Avem:

    A(x)+A(x2)=(20xx−3)+(20x2x2−3)=(40x+x2x2+x−6)A(x) + A(x^2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ x & x - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ x^2 & x^2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ x + x^2 & x^2 + x - 6 \end{pmatrix}

    Determinantul este:

    det⁡(A(x)+A(x2))=4(x2+x−6)−0⋅(x+x2)=4(x2+x−6)\det(A(x) + A(x^2)) = 4(x^2 + x - 6) - 0 \cdot (x + x^2) = 4(x^2 + x - 6)

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Ecuația det⁡(A(x)+A(x2))=0\det(A(x) + A(x^2)) = 0 devine:

    4(x2+x−6)=0  ⟺  x2+x−6=04(x^2 + x - 6) = 0 \iff x^2 + x - 6 = 0

    Factorizăm trinomul:

    (x+3)(x−2)=0  ⟹  x=−3saux=2(x + 3)(x - 2) = 0 \implies x = -3 \quad \text{sau} \quad x = 2

    (3 puncte)

5. Suma Elementelor unei Matrice (5p)

Determinați numerele reale aa și bb pentru care suma elementelor matricei A(x)⋅A(a)A(x) \cdot A(a) este egală cu bb, pentru orice număr real xx.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul produsului A(x)⋅A(a)A(x) \cdot A(a) și a sumei elementelor

    Efectuăm produsul matricial:

    A(x)⋅A(a)=(20xx−3)(20aa−3)=(402x+a(x−3)(x−3)(a−3))A(x) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ x & x - 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ a & a - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 2x + a(x - 3) & (x - 3)(a - 3) \end{pmatrix}

    Suma tuturor elementelor matricei produs este:

    S(x)=4+0+[2x+a(x−3)]+(x−3)(a−3)S(x) = 4 + 0 + [2x + a(x - 3)] + (x - 3)(a - 3) S(x)=4+2x+ax−3a+ax−3x−3a+9=(2a−1)x−6a+13S(x) = 4 + 2x + ax - 3a + ax - 3x - 3a + 9 = (2a - 1)x - 6a + 13

    (2 puncte)

  2. Condiția de independență față de xx

    Pentru ca S(x)=bS(x) = b să fie constantă pentru orice număr real xx, coeficientul lui xx trebuie să fie nul:

    2a−1=0  ⟹  a=122a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}

    Valoarea constantei bb este atunci:

    b=−6a+13=−6⋅12+13=−3+13=10b = -6a + 13 = -6 \cdot \frac{1}{2} + 13 = -3 + 13 = 10

    Așadar, a=12a = \frac{1}{2} și b=10b = 10.

    (3 puncte)

6. Ecuație cu Matrice Coloană (5p)

Se consideră matricea:

B=(40)B = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}

Determinați matricea C∈M2,1(R)C \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R}) pentru care A(5)⋅C=BA(5) \cdot C = B.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Reprezentarea matricei CC și a ecuației

    Fie matricea:

    C=(ab),unde a,b∈RC = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \quad \text{unde } a, b \in \mathbb{R}

    Avem matricea:

    A(5)=(2052)A(5) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}

    Calculăm produsul:

    A(5)⋅C=(2052)(ab)=(2a5a+2b)A(5) \cdot C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a \\ 5a + 2b \end{pmatrix}

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea sistemului

    Ecuația A(5)⋅C=BA(5) \cdot C = B devine:

    (2a5a+2b)=(40)\begin{pmatrix} 2a \\ 5a + 2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}

    Din prima linie:

    2a=4  ⟹  a=22a = 4 \implies a = 2

    Înlocuind în a doua linie:

    5⋅2+2b=0  ⟺  10+2b=0  ⟺  2b=−10  ⟹  b=−55 \cdot 2 + 2b = 0 \iff 10 + 2b = 0 \iff 2b = -10 \implies b = -5

    Așadar, matricea căutată este:

    C=(2−5)C = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}

    (3 puncte)