BACEduHub
matematicaPedagogicAnul 2026Sesiunea Iunie (Vară)

Bacalaureat 2026 - Matematică Pedagogic - Sesiunea Iunie (Vară)

Descarcă Subiect PDFDescarcă Barem PDF
Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcul Aritmetic cu Fracții (5p)

Arătați că:

145⋅(1−16)+23=3\frac{14}{5} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right) + \frac{2}{3} = 3
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Efectuarea operației din paranteză și a înmulțirii

    Calculăm diferența din paranteză:

    1−16=66−16=561 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

    Efectuăm înmulțirea și simplificăm prin factorul comun 55:

    145⋅56=146=73\frac{14}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}

    Expresia devine:

    145⋅(1−16)+23=73+23\frac{14}{5} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right) + \frac{2}{3} = \frac{7}{3} + \frac{2}{3}

    (3 puncte)

  2. Finalizarea calculului

    Adunăm fracțiile cu același numitor:

    7+23=93=3\frac{7 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3

    (2 puncte)

2. Compunere de Funcții Liniare (5p)

Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4x−1f(x) = 4x - 1 și numărul a=f(1)a = f(1). Calculați f(a)f(a).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul valorii a=f(1)a = f(1)

    Înlocuim x=1x = 1 în formula funcției:

    f(1)=4⋅1−1=4−1=3  ⟹  a=3f(1) = 4 \cdot 1 - 1 = 4 - 1 = 3 \implies a = 3

    (2 puncte)

  2. Calculul valorii f(a)f(a)

    Calculăm valoarea funcției în punctul a=3a = 3:

    f(a)=f(3)=4⋅3−1=12−1=11f(a) = f(3) = 4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11

    (3 puncte)

3. Ecuație Exponențială (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

103⋅10x=10010^3 \cdot 10^x = 100
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aducerea la baza 1010 și egalarea exponenților

    Aplicăm regula de adunare a exponenților la înmulțirea puterilor cu aceeași bază:

    103⋅10x=103+x10^3 \cdot 10^x = 10^{3+x}

    Scriem numărul 100100 ca putere a lui 1010: 100=102100 = 10^2. Ecuația devine:

    103+x=102  ⟹  3+x=210^{3+x} = 10^2 \implies 3 + x = 2

    (3 puncte)

  2. Aflarea soluției xx

    x=2−3  ⟹  x=−1x = 2 - 3 \implies x = -1

    (2 puncte)

4. Calcule Procentuale Succesive (5p)

După două ieftiniri succesive, cu câte 50%50\%, un obiect costă 200200 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de cele două ieftiniri.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Exprimarea prețului după prima ieftinire

    Notăm cu xx prețul inițial al obiectului (x>0x > 0). Prețul după prima ieftinire cu 50%50\% este:

    x−50100⋅x=x−12x=x2x - \frac{50}{100} \cdot x = x - \frac{1}{2}x = \frac{x}{2}

    (2 puncte)

  2. Exprimarea prețului final și determinarea lui xx

    A doua ieftinire aplică din nou o reducere de 50%50\% asupra noului preț x2\frac{x}{2}:

    x2−50100⋅x2=x2−12⋅x2=x2−x4=x4\frac{x}{2} - \frac{50}{100} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{2} - \frac{x}{4} = \frac{x}{4}

    Știind că prețul final este 200200 de lei:

    x4=200  ⟹  x=200⋅4=800 lei\frac{x}{4} = 200 \implies x = 200 \cdot 4 = 800\text{ lei}

    Prețul obiectului înainte de cele două ieftiniri a fost de 800800 de lei.

    (3 puncte)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,0)A(4,0), B(6,2)B(6,2) și CC, mijlocul segmentului OBOB. Arătați că AC=2AC = \sqrt{2}.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Coordonatele mijlocului CC

    Originea reperului este O(0,0)O(0,0) și B(6,2)B(6,2). Coordonatele punctului CC sunt:

    xC=xO+xB2=0+62=3,yC=yO+yB2=0+22=1  ⟹  C(3,1)x_C = \frac{x_O + x_B}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3, \quad y_C = \frac{y_O + y_B}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1 \implies C(3,1)

    (2 puncte)

  2. Calculul distanței ACAC

    Folosim formula distanței dintre două puncte pentru A(4,0)A(4,0) și C(3,1)C(3,1):

    AC=(xC−xA)2+(yC−yA)2=(3−4)2+(1−0)2=(−1)2+12=1+1=2AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(3 - 4)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}

    (3 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Arătați că:

2sin⁡45∘⋅sin⁡30∘−2cos⁡60∘=02\sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ - \sqrt{2}\cos 60^\circ = 0
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Identificarea valorilor tabelare

    Avem:

    sin⁡45∘=22,sin⁡30∘=12,cos⁡60∘=12\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    Înlocuim valorile în expresie:

    2⋅22⋅12−2⋅12=22−22=02 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0

    (2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:

x∗y=xy−x−2y+4x * y = xy - x - 2y + 4

1. Calcul Direct (5p)

Arătați că 3∗3=43 * 3 = 4.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Înlocuirea în legea de compoziție

    Pentru x=3x = 3 și y=3y = 3:

    3∗3=3⋅3−3−2⋅3+43 * 3 = 3 \cdot 3 - 3 - 2 \cdot 3 + 4

    (3 puncte)

  2. Finalizarea calculelor

    3∗3=9−3−6+4=6−6+4=43 * 3 = 9 - 3 - 6 + 4 = 6 - 6 + 4 = 4

    (2 puncte)

2. Ecuație Liniară (5p)

Determinați numărul real xx pentru care x∗(−2)=xx * (-2) = x.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Exprimarea compunerii x∗(−2)x * (-2)

    Pentru orice număr real xx:

    x∗(−2)=x(−2)−x−2(−2)+4=−2x−x+4+4=−3x+8x * (-2) = x(-2) - x - 2(-2) + 4 = -2x - x + 4 + 4 = -3x + 8

    (3 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Ecuația −3x+8=x-3x + 8 = x devine:

    8=x+3x  ⟺  4x=8  ⟹  x=28 = x + 3x \iff 4x = 8 \implies x = 2

    (2 puncte)

3. Ecuație de Gradul al II-lea (5p)

Determinați numerele reale xx pentru care (−x)∗x=2x(-x) * x = 2x.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul expresiei (−x)∗x(-x) * x

    Înlocuim în definiția legii:

    (−x)∗x=(−x)⋅x−(−x)−2x+4=−x2+x−2x+4=−x2−x+4(-x) * x = (-x) \cdot x - (-x) - 2x + 4 = -x^2 + x - 2x + 4 = -x^2 - x + 4

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației de gradul al II-lea

    Ecuația (−x)∗x=2x(-x) * x = 2x devine:

    −x2−x+4=2x  ⟺  x2+3x−4=0-x^2 - x + 4 = 2x \iff x^2 + 3x - 4 = 0

    Calculăm discriminantul:

    Δ=32−4⋅1⋅(−4)=9+16=25=52\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2

    Rădăcinile sunt:

    x1=−3−52=−4,x2=−3+52=1x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1

    Numerele reale căutate sunt x=−4x = -4 și x=1x = 1.

    (3 puncte)

4. Forma Restrânsă a Legii (5p)

Arătați că x∗y=(x−2)(y−1)+2x * y = (x - 2)(y - 1) + 2, pentru orice numere reale xx și yy.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Descompunerea expresiei algebrice

    Grupăm termenii expresiei legii x∗y=xy−x−2y+4x * y = xy - x - 2y + 4:

    x∗y=xy−2y−x+2+2x * y = xy - 2y - x + 2 + 2

    (2 puncte)

  2. Factorizarea prin grupare

    Scoatem factor comun pe primii doi termeni și pe următorii doi:

    xy−2y−(x−2)+2=y(x−2)−1⋅(x−2)+2=(x−2)(y−1)+2xy - 2y - (x - 2) + 2 = y(x - 2) - 1 \cdot (x - 2) + 2 = (x - 2)(y - 1) + 2

    Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale xx și yy.

    (3 puncte)

5. Ecuație Rațională cu Compuneri (5p)

Determinați numerele reale nenule aa pentru care 4∗(4∗a)=1a4 * (4 * a) = \frac{1}{a}.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul compunerilor succesive

    Folosim forma restrânsă a legii x∗y=(x−2)(y−1)+2x * y = (x - 2)(y - 1) + 2:

    4∗a=(4−2)(a−1)+2=2(a−1)+2=2a−2+2=2a4 * a = (4 - 2)(a - 1) + 2 = 2(a - 1) + 2 = 2a - 2 + 2 = 2a

    Calculăm apoi:

    4∗(4∗a)=4∗(2a)=(4−2)(2a−1)+2=2(2a−1)+2=4a−2+2=4a4 * (4 * a) = 4 * (2a) = (4 - 2)(2a - 1) + 2 = 2(2a - 1) + 2 = 4a - 2 + 2 = 4a

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Ecuația devine:

    4a=1a4a = \frac{1}{a}

    Deoarece a≠0a \neq 0, înmulțim cu aa:

    4a2=1  ⟺  a2=14  ⟹  a=−12saua=124a^2 = 1 \iff a^2 = \frac{1}{4} \implies a = -\frac{1}{2} \quad \text{sau} \quad a = \frac{1}{2}

    Ambele soluții sunt nenule și convin.

    (3 puncte)

6. Perechi de Numere Naturale (5p)

Determinați perechile (n,p)(n, p) de numere naturale pentru care n∗p=pn * p = p.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Transformarea ecuației prin forma restrânsă

    Folosim forma restrânsă a legii de la subpunctul 4:

    n∗p=(n−2)(p−1)+2n * p = (n - 2)(p - 1) + 2

    Ecuația n∗p=pn * p = p se scrie:

    (n−2)(p−1)+2=p  ⟺  (n−2)(p−1)−(p−2)=0(n - 2)(p - 1) + 2 = p \iff (n - 2)(p - 1) - (p - 2) = 0

    Scriem p−2=(p−1)−1p - 2 = (p - 1) - 1:

    (n−2)(p−1)−(p−1)+1=0  ⟺  (n−3)(p−1)=−1(n - 2)(p - 1) - (p - 1) + 1 = 0 \iff (n - 3)(p - 1) = -1

    (2 puncte)

  2. Analiza în mulțimea numerelor naturale

    • Cazul 1:

      {n−3=1  ⟹  n=4p−1=−1  ⟹  p=0\begin{cases} n - 3 = 1 \implies n = 4 \\ p - 1 = -1 \implies p = 0 \end{cases}

      Cum 4∈N4 \in \mathbb{N} și 0∈N0 \in \mathbb{N}, obținem perechea (4,0)(4, 0).

    • Cazul 2:

      {n−3=−1  ⟹  n=2p−1=1  ⟹  p=2\begin{cases} n - 3 = -1 \implies n = 2 \\ p - 1 = 1 \implies p = 2 \end{cases}

      Cum 2∈N2 \in \mathbb{N}, obținem perechea (2,2)(2, 2).

    Perechile căutate sunt (2,2)(2, 2) și (4,0)(4, 0).

    (3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele:

I2=(1001),A(x)=(4−xx−x1−x)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A(x) = \begin{pmatrix} 4-x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}

unde xx este număr real.

1. Calculul Determinantului Matricei A(2)A(2) (5p)

Arătați că det⁡(A(2))=2\det(A(2)) = 2.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Determinarea matricei A(2)A(2) și a determinantului

    Pentru x=2x = 2:

    A(2)=(4−22−21−2)=(22−2−1)A(2) = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 2 \\ -2 & 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}

    Determinantul este:

    det⁡(A(2))=∣22−2−1∣=2⋅(−1)−2⋅(−2)\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) - 2 \cdot (-2)

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    det⁡(A(2))=−2−(−4)=−2+4=2\det(A(2)) = -2 - (-4) = -2 + 4 = 2

    (2 puncte)

2. Relație Matriceală Liniară (5p)

Determinați numărul real aa pentru care 3A(2)−A(4)=2A(a)3A(2) - A(4) = 2A(a).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul membrului stâng

    Avem:

    3A(2)=3(22−2−1)=(66−6−3)3A(2) = 3\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -6 & -3 \end{pmatrix}

    Pentru x=4x = 4:

    A(4)=(4−44−41−4)=(04−4−3)A(4) = \begin{pmatrix} 4 - 4 & 4 \\ -4 & 1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}

    Scădem cele două matrice:

    3A(2)−A(4)=(6−06−4−6−(−4)−3−(−3))=(62−20)=2(31−10)3A(2) - A(4) = \begin{pmatrix} 6 - 0 & 6 - 4 \\ -6 - (-4) & -3 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Identificarea parametrului aa

    Membrul drept este:

    2A(a)=2(4−aa−a1−a)2A(a) = 2 \begin{pmatrix} 4 - a & a \\ -a & 1 - a \end{pmatrix}

    Egalitatea 2A(a)=3A(2)−A(4)2A(a) = 3A(2) - A(4) impune:

    2A(a)=2(31−10)  ⟹  a=12A(a) = 2 \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \implies a = 1

    (Se observă că 4−1=34 - 1 = 3 și 1−1=01 - 1 = 0, verificate).

    (2 puncte)

3. Ecuație cu Determinant (5p)

Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A(x))=x\det(A(x)) = x.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul determinantului det⁡(A(x))\det(A(x))

    Pentru un xx real arbitrar:

    det⁡(A(x))=∣4−xx−x1−x∣=(4−x)(1−x)−x(−x)\det(A(x)) = \begin{vmatrix} 4 - x & x \\ -x & 1 - x \end{vmatrix} = (4 - x)(1 - x) - x(-x) det⁡(A(x))=4−4x−x+x2+x2=2x2−5x+4\det(A(x)) = 4 - 4x - x + x^2 + x^2 = 2x^2 - 5x + 4

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Ecuația det⁡(A(x))=x\det(A(x)) = x devine:

    2x2−5x+4=x  ⟺  2x2−6x+4=0  ⟺  x2−3x+2=02x^2 - 5x + 4 = x \iff 2x^2 - 6x + 4 = 0 \iff x^2 - 3x + 2 = 0

    Descompunem:

    (x−1)(x−2)=0  ⟹  x=1saux=2(x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 1 \quad \text{sau} \quad x = 2

    (3 puncte)

4. Inversa unei Matrice (5p)

Arătați că matricea B=12(I2−A(2))B = \frac{1}{2}(I_2 - A(2)) este inversa matricei A(2)A(2).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Construirea matricei BB

    Calculăm I2−A(2)I_2 - A(2):

    I2−A(2)=(1001)−(22−2−1)=(−1−222)I_2 - A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

    Înmulțim cu scalarul 12\frac{1}{2}:

    B=12(−1−222)=(−12−111)B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

    (2 puncte)

  2. Verificarea proprietății de inversă

    Efectuăm produsul A(2)⋅BA(2) \cdot B:

    A(2)⋅B=(22−2−1)(−12−111)=(2⋅(−12)+2⋅12⋅(−1)+2⋅1(−2)⋅(−12)+(−1)⋅1(−2)⋅(−1)+(−1)⋅1)A(2) \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot(-\frac{1}{2}) + 2\cdot 1 & 2\cdot(-1) + 2\cdot 1 \\ (-2)\cdot(-\frac{1}{2}) + (-1)\cdot 1 & (-2)\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 \end{pmatrix} A(2)⋅B=(−1+2−2+21−12−1)=(1001)=I2A(2) \cdot B = \begin{pmatrix} -1 + 2 & -2 + 2 \\ 1 - 1 & 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2

    În mod similar, B⋅A(2)=I2B \cdot A(2) = I_2, deci matricea BB este inversa matricei A(2)A(2).

    (3 puncte)

5. Pătratul Matricei Parametrice (5p)

Determinați numerele reale xx și yy pentru care A(x)⋅A(x)=yI2A(x) \cdot A(x) = yI_2.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul matricei A(x)⋅A(x)A(x) \cdot A(x)

    A(x)⋅A(x)=(4−xx−x1−x)(4−xx−x1−x)A(x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} 4-x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4-x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}

    Calculăm fiecare element:

    • Linie 1, Coloană 1: (4−x)2−x2=16−8x+x2−x2=16−8x(4 - x)^2 - x^2 = 16 - 8x + x^2 - x^2 = 16 - 8x
    • Linie 1, Coloană 2: (4−x)x+x(1−x)=4x−x2+x−x2=5x−2x2(4 - x)x + x(1 - x) = 4x - x^2 + x - x^2 = 5x - 2x^2
    • Linie 2, Coloană 1: −x(4−x)+(1−x)(−x)=−4x+x2−x+x2=−5x+2x2-x(4 - x) + (1 - x)(-x) = -4x + x^2 - x + x^2 = -5x + 2x^2
    • Linie 2, Coloană 2: −x2+(1−x)2=−x2+1−2x+x2=1−2x-x^2 + (1 - x)^2 = -x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1 - 2x

    Așadar:

    A(x)⋅A(x)=(16−8x5x−2x2−(5x−2x2)1−2x)A(x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} 16 - 8x & 5x - 2x^2 \\ -(5x - 2x^2) & 1 - 2x \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Identificarea soluțiilor xx și yy

    Egalitatea cu yI2yI_2 impune:

    (16−8x5x−2x2−(5x−2x2)1−2x)=(y00y)\begin{pmatrix} 16 - 8x & 5x - 2x^2 \\ -(5x - 2x^2) & 1 - 2x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix}

    Egalăm elementele din afara diagonalei principale cu zero:

    5x−2x2=0  ⟺  x(5−2x)=0  ⟹  x=0saux=525x - 2x^2 = 0 \iff x(5 - 2x) = 0 \implies x = 0 \quad \text{sau} \quad x = \frac{5}{2}
    • Dacă x=0x = 0, elementele diagonale ar fi 16−0=1616 - 0 = 16 și 1−0=11 - 0 = 1, dar 16≠116 \neq 1, așadar nu există un astfel de yy.
    • Dacă x=52x = \frac{5}{2}:
      • 16−8⋅52=16−20=−416 - 8\cdot\frac{5}{2} = 16 - 20 = -4
      • 1−2⋅52=1−5=−41 - 2\cdot\frac{5}{2} = 1 - 5 = -4

    Ambele elemente de pe diagonala principală sunt egale cu −4-4. Rezultă soluția unică: x=52x = \frac{5}{2} și y=−4y = -4.

    (2 puncte)

6. Ecuație Matriceală de Gradul I (5p)

Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care X−A(2)⋅X=A(3)X - A(2) \cdot X = A(3).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Izolarea matricei necunoscute XX

    Factorizăm matricea XX la dreapta:

    (I2−A(2))⋅X=A(3)(I_2 - A(2)) \cdot X = A(3)

    Conform subpunctului 4, avem B=12(I2−A(2))  ⟹  I2−A(2)=2BB = \frac{1}{2}(I_2 - A(2)) \implies I_2 - A(2) = 2B. Inversa matricei I2−A(2)I_2 - A(2) este:

    (I2−A(2))−1=(2B)−1=12B−1=12A(2)(I_2 - A(2))^{-1} = (2B)^{-1} = \frac{1}{2}B^{-1} = \frac{1}{2}A(2)

    Înmulțind la stânga ecuația cu 12A(2)\frac{1}{2}A(2):

    X=12A(2)⋅A(3)X = \frac{1}{2}A(2) \cdot A(3)

    (3 puncte)

  2. Calculul produsului matricial

    Avem matricele:

    A(2)=(22−2−1),A(3)=(4−33−31−3)=(13−3−2)A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}, \quad A(3) = \begin{pmatrix} 4-3 & 3 \\ -3 & 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}

    Calculăm produsul:

    A(2)⋅A(3)=(22−2−1)(13−3−2)=(2⋅1+2⋅(−3)2⋅3+2⋅(−2)(−2)⋅1+(−1)⋅(−3)(−2)⋅3+(−1)⋅(−2))A(2) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 1 + 2\cdot(-3) & 2\cdot 3 + 2\cdot(-2) \\ (-2)\cdot 1 + (-1)\cdot(-3) & (-2)\cdot 3 + (-1)\cdot(-2) \end{pmatrix} A(2)⋅A(3)=(2−66−4−2+3−6+2)=(−421−4)A(2) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 2 - 6 & 6 - 4 \\ -2 + 3 & -6 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}

    Așadar, matricea XX este:

    X=12(−421−4)=(−2112−2)X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{1}{2} & -2 \end{pmatrix}

    (2 puncte)