matematicaPedagogicAnul 2026Simulare Națională

Bacalaureat 2026 - Matematică Pedagogic - Simulare Națională

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcul Aritmetic cu Paranteze (5p)

Arătați că:

0{,}25 \cdot 6 + (3 - 0{,}5) : 5 = 2

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Efectuarea înmulțirii și a parantezei

Calculăm produsul și diferența din paranteză:
$0{,}25 \cdot 6 = 1{,}5, \quad 3 - 0{,}5 = 2{,}5$
Apoi efectuăm împărțirea:
$0{,}25 \cdot 6 + (3 - 0{,}5) : 5 = 1{,}5 + 2{,}5 : 5$
(3 puncte)
Finalizarea calculului
$1{,}5 + 0{,}5 = 2$
(2 puncte)

2. Compunere de Funcții Pătratice (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - 2x - 3$ și numărul real $m$ , ordonata punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$ . Calculați $f(m)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Determinarea valorii $m$

Intersecția graficului cu axa $Oy$ se obține pentru $x = 0$ :
$m = f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3$
(2 puncte)
Calculul valorii $f(m)$

Calculăm valoarea funcției în punctul $m = -3$ :
$f(m) = f(-3) = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$
(3 puncte)

3. Ecuație Iradicală (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

x = 2\sqrt{2x}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Ridicarea la pătrat și obținerea ecuației algebrice

Ridicăm ambii membri la pătrat (cu condiția $x \geq 0$ ):
$x^2 = 4 \cdot 2x = 8x, \quad \text{de unde obținem} \quad x^2 - 8x = 0$
(3 puncte)
Rezolvarea ecuației

Factorizăm:
$x(x - 8) = 0 \implies x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 8$
Ambele soluții convin (verificarea în ecuația inițială: pentru $x = 0$ : $0 = 2\sqrt{0} = 0$ ✓; pentru $x = 8$ : $8 = 2\sqrt{16} = 8$ ✓).

(2 puncte)

4. Calcule Procentuale Succesive (5p)

După o scumpire cu $20\%$ , un obiect costă $600$ de lei. Obiectul este scumpit din nou, cu $5\%$ . Calculați diferența dintre prețul obiectului după cele două scumpiri și prețul înainte de cele două scumpiri.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Determinarea prețului inițial

Notăm cu $x$ prețul obiectului înainte de scumpiri. După prima scumpire cu $20\%$ :
$x + \frac{20}{100} \cdot x = 600 \implies 1{,}2x = 600 \implies x = 500$
(2 puncte)
Calculul prețului final și al diferenței

După a doua scumpire cu $5\%$ asupra prețului de $600$ lei:
$600 + \frac{5}{100} \cdot 600 = 600 + 30 = 630 \text{ lei}$
Diferența dintre prețul obiectului după cele două scumpiri și prețul înainte de cele două scumpiri este:
$630 - 500 = 130 \text{ lei}$
(3 puncte)

5. Geometrie Analitică – Mijlocul Segmentului (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,3)$ , $B(4,6)$ și $C$ , astfel încât $A$ este mijlocul segmentului $BC$ . Determinați lungimea segmentului $OC$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Determinarea coordonatelor punctului $C$

Dacă $A$ este mijlocul segmentului $BC$ , atunci:
$3 = \frac{4 + x_C}{2} \implies x_C = 6 - 4 = 2, \quad 3 = \frac{6 + y_C}{2} \implies y_C = 6 - 6 = 0$
Deci $C(2, 0)$ .

(3 puncte)
Calculul lungimii segmentului $OC$
$OC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4} = 2$
(2 puncte)

6. Trigonometrie în Triunghiul Dreptunghic (5p)

Se consideră triunghiul $DEF$ , dreptunghic în $D$ , cu $DE = 3$ și $\sin F = \dfrac{1}{3}$ . Arătați că $DF = 6\sqrt{2}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Determinarea ipotenuzei $EF$

În triunghiul dreptunghic $DEF$ cu unghi drept în $D$ , cateta $DE$ este opusă unghiului $F$ :
$\sin F = \frac{DE}{EF} \implies \frac{1}{3} = \frac{3}{EF} \implies EF = 9$
(3 puncte)
Calculul catetei $DF$ cu teorema lui Pitagora
$DF^2 = EF^2 - DE^2 = 81 - 9 = 72 \implies DF = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
(2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:

x * y = (x - 4y)(y - 4x) + 4

1. Calcul Direct (5p)

Arătați că $1 * 3 = 15$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Înlocuirea în legea de compoziție

Pentru $x = 1$ și $y = 3$ :
$1 * 3 = (1 - 4 \cdot 3)(3 - 4 \cdot 1) + 4 = (1 - 12)(3 - 4) + 4$
(3 puncte)
Finalizarea calculelor
$1 * 3 = (-11)(-1) + 4 = 11 + 4 = 15$
(2 puncte)

2. Comutativitatea Legii (5p)

Arătați că legea de compoziție „ $*$ ” este comutativă.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul expresiei $y * x$
$y * x = (y - 4x)(x - 4y) + 4 = (x - 4y)(y - 4x) + 4$
(3 puncte)
Concluzia

Observăm că $y * x = (x - 4y)(y - 4x) + 4 = x * y$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ , deci legea de compoziție „ $*$ ” este comutativă.

(2 puncte)

3. Ecuație cu Element Nul (5p)

Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * 0 = 0$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul expresiei $x * 0$

Înlocuim $y = 0$ în definiția legii:
$x * 0 = (x - 4 \cdot 0)(0 - 4x) + 4 = x \cdot (-4x) + 4 = -4x^2 + 4$
(3 puncte)
Rezolvarea ecuației

Ecuația $x * 0 = 0$ devine:
$-4x^2 + 4 = 0 \iff x^2 = 1 \implies x = -1 \quad \text{sau} \quad x = 1$
(2 puncte)

4. Identitate Algebrică cu Legea de Compoziție (5p)

Arătați că $x * (x + 1) = 9x(x + 1)$ , pentru orice număr real $x$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul expresiei $x * (x + 1)$

Înlocuim $y = x + 1$ în legea de compoziție:
$x * (x + 1) = (x - 4(x + 1))((x + 1) - 4x) + 4 = (-3x - 4)(1 - 3x) + 4$
(3 puncte)
Dezvoltarea și simplificarea
$(-3x - 4)(1 - 3x) = -3x + 9x^2 - 4 + 12x = 9x^2 + 9x - 4$
Deci:
$x * (x + 1) = 9x^2 + 9x - 4 + 4 = 9x^2 + 9x = 9x(x + 1)$
pentru orice număr real $x$ .

(2 puncte)

5. Ecuație cu Compuneri (5p)

Determinați numărul real $x$ pentru care $(x - 1) * x = (x + 1) * (x + 2)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul fiecărei compuneri folosind rezultatul de la subpunctul 4

Din identitatea $x * (x + 1) = 9x(x + 1)$ , obținem:
$(x - 1) * x = 9(x - 1) \cdot x = 9x(x - 1)$ $(x + 1) * (x + 2) = 9(x + 1)(x + 2)$
(3 puncte)
Rezolvarea ecuației

Ecuația devine:
$9x(x - 1) = 9(x + 1)(x + 2)$
Simplificăm cu $9$ :
$x^2 - x = x^2 + 3x + 2 \iff -x = 3x + 2 \iff -4x = 2 \implies x = -\frac{1}{2}$
(2 puncte)

6. Determinarea Parametrului din Identitate (5p)

Determinați numerele reale $m$ pentru care $x * (mx) = 4$ , pentru orice număr real $x$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul expresiei $x * (mx)$

Înlocuim $y = mx$ în legea de compoziție:
$x * (mx) = (x - 4mx)(mx - 4x) + 4 = x^2(1 - 4m)(m - 4) + 4$
(2 puncte)
Determinarea valorilor lui $m$

Egalitatea $x * (mx) = 4$ pentru orice $x$ impune:
$x^2(1 - 4m)(m - 4) + 4 = 4 \implies x^2(1 - 4m)(m - 4) = 0$
pentru orice număr real $x$ , deci $(1 - 4m)(m - 4) = 0$ , de unde obținem:
$m = \frac{1}{4} \quad \text{sau} \quad m = 4$
(3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele:

I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A(x) = \begin{pmatrix} x & 2 - x \\ x - 1 & 3 - x \end{pmatrix}

unde $x$ este număr real.

1. Calculul Determinantului Matricei $A(4)$ (5p)

Arătați că $\det(A(4)) = 2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Determinarea matricei $A(4)$ și calculul determinantului

Pentru $x = 4$ :
$A(4) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \implies \det(A(4)) = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-1) - (-2) \cdot 3$
(3 puncte)
Calculul numeric
$\det(A(4)) = -4 + 6 = 2$
(2 puncte)

2. Ecuație Matriceală Liniară (5p)

Determinați numărul real $x$ pentru care $A(3) + 3A(x) = 4A(6)$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul matricelor $A(3)$ și $A(6)$
$A(3) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad A(6) = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$
Ecuația $3A(x) = 4A(6) - A(3)$ se scrie:

(2 puncte)
Calculul și identificarea lui $x$
$4A(6) - A(3) = \begin{pmatrix} 24 - 3 & -16 + 1 \\ 20 - 2 & -12 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & -15 \\ 18 & -12 \end{pmatrix} = 3A(7)$
Deci $3A(x) = 3A(7)$ , de unde obținem $x = 7$ .

(3 puncte)

3. Produs Matriceal Special (5p)

Arătați că $A(5) \cdot (3I_2 - A(5)) = 2I_2$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul matricelor
$A(5) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}, \quad 3I_2 - A(5) = \begin{pmatrix} 3 - 5 & 0 - (-3) \\ 0 - 4 & 3 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$
Produsul matriceal:
$A(5) \cdot (3I_2 - A(5)) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 + 12 & 15 - 15 \\ -8 + 8 & 12 - 10 \end{pmatrix}$
(3 puncte)
Rezultatul final
$A(5) \cdot (3I_2 - A(5)) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_2$
(2 puncte)

4. Determinant Nul (5p)

Arătați că $\det(A(0) \cdot A(1) - A(x)) = 0$ , pentru orice număr real $x$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul produsului $A(0) \cdot A(1)$ și al diferenței
$A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ $A(0) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\ -1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 & -1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$ $A(0) \cdot A(1) - A(x) = \begin{pmatrix} 0 - x & 4 - (2 - x) \\ -1 - (x - 1) & 5 - (3 - x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x & x + 2 \\ -x & x + 2 \end{pmatrix}$
(3 puncte)
Calculul determinantului
$\det(A(0) \cdot A(1) - A(x)) = (-x)(x + 2) - (-x)(x + 2) = -x(x + 2) + x(x + 2) = 0$
pentru orice număr real $x$ .

(2 puncte)

5. Număr Natural Par (5p)

Arătați că numărul $N = \det(A(n) + nI_2)$ este natural par, pentru orice număr natural $n$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Calculul matricei $A(n) + nI_2$ și al determinantului
$A(n) + nI_2 = \begin{pmatrix} n & 2 - n \\ n - 1 & 3 - n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n & 0 \\ 0 & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2n & 2 - n \\ n - 1 & 3 \end{pmatrix}$ $N = \det(A(n) + nI_2) = 2n \cdot 3 - (2 - n)(n - 1) = 6n - (2n - 2 - n^2 + n) = n^2 + 3n + 2$
(2 puncte)
Demonstrarea parității

Factorizăm:
$N = n^2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)$
Cum pentru orice număr natural $n$ , numerele $n + 1$ și $n + 2$ sunt naturale consecutive, produsul lor este întotdeauna par (unul dintre doi consecutivi este par).

Deci $N$ este număr natural par, pentru orice număr natural $n$ .

(3 puncte)

6. Ecuație Matriceală (5p)

Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(5) \cdot X = A(0) + 3X$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

Izolarea matricei necunoscute $X$

Rescriem ecuația:
$A(5) \cdot X - 3X = A(0) \iff (A(5) - 3I_2) \cdot X = A(0)$
Din subpunctul 3, am arătat că $A(5) \cdot (3I_2 - A(5)) = 2I_2$ , deci $(A(5) - 3I_2)^{-1} = -\frac{1}{2}A(5)$ .

Obținem:
$X = -\frac{1}{2} A(5) \cdot A(0)$
(3 puncte)
Calculul produsului matriceal
$A(5) \cdot A(0) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 3 & 10 - 9 \\ 0 + 2 & 8 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$
Așadar:
$X = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$
(2 puncte)

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcul Aritmetic cu Paranteze (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Compunere de Funcții Pătratice (5p)

Barem și Etape de Calcul:

3. Ecuație Iradicală (5p)

Barem și Etape de Calcul:

4. Calcule Procentuale Succesive (5p)

Barem și Etape de Calcul:

5. Geometrie Analitică – Mijlocul Segmentului (5p)

Barem și Etape de Calcul:

6. Trigonometrie în Triunghiul Dreptunghic (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Calcul Direct (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Comutativitatea Legii (5p)

Barem și Etape de Calcul:

3. Ecuație cu Element Nul (5p)

Barem și Etape de Calcul:

4. Identitate Algebrică cu Legea de Compoziție (5p)

Barem și Etape de Calcul:

5. Ecuație cu Compuneri (5p)

Barem și Etape de Calcul:

6. Determinarea Parametrului din Identitate (5p)

Barem și Etape de Calcul:

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Calculul Determinantului Matricei A(4)A(4)A(4) (5p)

Barem și Etape de Calcul:

2. Ecuație Matriceală Liniară (5p)

Barem și Etape de Calcul:

3. Produs Matriceal Special (5p)

Barem și Etape de Calcul:

4. Determinant Nul (5p)

Barem și Etape de Calcul:

5. Număr Natural Par (5p)

Barem și Etape de Calcul:

6. Ecuație Matriceală (5p)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul Determinantului Matricei $A(4)$ (5p)