BACEduHub
matematicaPedagogicAnul 2026Model Oficial

Bacalaureat 2026 - Matematică Pedagogic - Model Oficial

Descarcă Subiect PDFDescarcă Barem PDF
Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Calcul Aritmetic cu Radicali (5p)

Arătați că:

64−42+22⋅(2−2)=4\sqrt{64} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cdot(2 - \sqrt{2}) = 4
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul radicalului și desfacerea parantezei

    Extragem rădăcina pătrată din 6464:

    64=8\sqrt{64} = 8

    Desfacem paranteza înmulțind termen cu termen:

    22⋅(2−2)=22⋅2−22⋅2=42−2⋅2=42−42\sqrt{2}\cdot(2 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}\cdot 2 - 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 2\cdot 2 = 4\sqrt{2} - 4

    Expresia devine:

    64−42+22⋅(2−2)=8−42+42−4\sqrt{64} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cdot(2 - \sqrt{2}) = 8 - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 4

    (3 puncte)

  2. Reducerea termenilor asemenea și finalizarea calculului

    Termenii −42-4\sqrt{2} și +42+4\sqrt{2} se reduc:

    8−4=48 - 4 = 4

    (2 puncte)

2. Funcție de Gradul I (5p)

Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=7x−4f(x) = 7x - 4. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=5af(a) = 5a.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Exprimarea valorii funcției în punctul aa

    Calculăm f(a)f(a):

    f(a)=7a−4,pentru orice numa˘r real af(a) = 7a - 4, \quad \text{pentru orice număr real } a

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Ecuația f(a)=5af(a) = 5a devine:

    7a−4=5a  ⟺  7a−5a=4  ⟺  2a=4  ⟹  a=27a - 4 = 5a \iff 7a - 5a = 4 \iff 2a = 4 \implies a = 2

    (3 puncte)

3. Ecuație Exponențială (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

9⋅3x=359 \cdot 3^x = 3^5
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aducerea la aceeași bază

    Scriem numărul 99 ca putere a lui 33: 9=329 = 3^2. Membrul stâng devine:

    9⋅3x=32⋅3x=32+x9 \cdot 3^x = 3^2 \cdot 3^x = 3^{2+x}

    Ecuația se rescrie:

    32+x=35  ⟹  2+x=53^{2+x} = 3^5 \implies 2 + x = 5

    (3 puncte)

  2. Aflarea necunoscutei

    x=5−2  ⟹  x=3x = 5 - 2 \implies x = 3

    (2 puncte)

4. Calcul Procentual (5p)

După o ieftinire cu 15%15\%, prețul unui obiect s-a micșorat cu 7575 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Scrierea relației procentuale

    Notăm cu xx prețul obiectului înainte de ieftinire (x>0x > 0). Micșorarea prețului reprezintă 15%15\% din prețul inițial xx:

    15100⋅x=75\frac{15}{100} \cdot x = 75

    (3 puncte)

  2. Calculul prețului inițial

    Izolăm necunoscuta xx:

    x=75⋅10015=5⋅100=500 leix = \frac{75 \cdot 100}{15} = 5 \cdot 100 = 500\text{ lei}

    Prețul obiectului înainte de ieftinire a fost de 500500 de lei.

    (2 puncte)

5. Geometrie Analitică - Distanțe în Plan (5p)

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,4)A(0,4), B(2,0)B(2,0) și C(6,6)C(6,6). Arătați că MA=MBMA = MB, unde punctul MM este mijlocul segmentului OCOC.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Determinarea coordonatelor punctului MM

    Originea reperului este O(0,0)O(0,0), iar C(6,6)C(6,6). Punctul MM fiind mijlocul segmentului OCOC:

    xM=xO+xC2=0+62=3,yM=yO+yC2=0+62=3  ⟹  M(3,3)x_M = \frac{x_O + x_C}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3, \quad y_M = \frac{y_O + y_C}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3 \implies M(3,3)

    (2 puncte)

  2. Calculul distanțelor MAMA și MBMB

    Calculăm lungimea segmentului MAMA:

    MA=(xA−xM)2+(yA−yM)2=(0−3)2+(4−3)2=(−3)2+12=9+1=10MA = \sqrt{(x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2} = \sqrt{(0 - 3)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}

    Calculăm lungimea segmentului MBMB:

    MB=(xB−xM)2+(yB−yM)2=(2−3)2+(0−3)2=(−1)2+(−3)2=1+9=10MB = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2} = \sqrt{(2 - 3)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}

    Deoarece MA=10MA = \sqrt{10} și MB=10MB = \sqrt{10}, rezultă că MA=MBMA = MB.

    (3 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Arătați că:

4(sin⁡60∘)2−(sin⁡45∘)2−2(sin⁡30∘)2=24(\sin 60^\circ)^2 - (\sin 45^\circ)^2 - 2(\sin 30^\circ)^2 = 2
📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Valorile funcțiilor trigonometrice uzuale

    Avem valorile tabelare fundamentale:

    sin⁡60∘=32,sin⁡45∘=22,sin⁡30∘=12\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}

    (3 puncte)

  2. Înlocuirea și calculul numeric

    Ridicăm la pătrat valorile trigonometrice:

    (sin⁡60∘)2=(32)2=34(\sin 60^\circ)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} (sin⁡45∘)2=(22)2=24=12(\sin 45^\circ)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} (sin⁡30∘)2=(12)2=14(\sin 30^\circ)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

    Înlocuim în expresia dată:

    4⋅34−24−2⋅14=3−12−12=3−1=24 \cdot \frac{3}{4} - \frac{2}{4} - 2 \cdot \frac{1}{4} = 3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 3 - 1 = 2

    (2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:

x∗y=x+y3−4x * y = \frac{x + y}{3} - 4

1. Calcul Direct (5p)

Arătați că 7∗8=17 * 8 = 1.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Aplicarea legii de compoziție

    Înlocuim x=7x = 7 și y=8y = 8 în definiția legii:

    7∗8=7+83−47 * 8 = \frac{7 + 8}{3} - 4

    (3 puncte)

  2. Finalizarea calculului

    7∗8=153−4=5−4=17 * 8 = \frac{15}{3} - 4 = 5 - 4 = 1

    (2 puncte)

2. Ecuație de Gradul I în Legea de Compoziție (5p)

Determinați numărul real xx pentru care 4∗x=x4 * x = x.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Scrierea ecuației algebrice

    Conform legii, pentru orice număr real xx:

    4∗x=4+x3−44 * x = \frac{4 + x}{3} - 4

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Ecuația 4∗x=x4 * x = x devine:

    4+x3−4=x\frac{4 + x}{3} - 4 = x

    Aducem la numitor comun prin înmulțire cu 33:

    4+x−12=3x  ⟺  x−8=3x  ⟺  2x=−8  ⟹  x=−44 + x - 12 = 3x \iff x - 8 = 3x \iff 2x = -8 \implies x = -4

    (3 puncte)

3. Ecuație de Gradul al II-lea (5p)

Determinați numerele reale xx pentru care x∗x2=0x * x^2 = 0.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Formularea ecuației de gradul al doilea

    Aplicăm definiția legii pentru elementele xx și x2x^2:

    x∗x2=x+x23−4x * x^2 = \frac{x + x^2}{3} - 4

    Egalăm cu 00:

    x2+x3−4=0  ⟺  x2+x−12=0\frac{x^2 + x}{3} - 4 = 0 \iff x^2 + x - 12 = 0

    (3 puncte)

  2. Determinarea soluțiilor reale

    Rezolvăm ecuația x2+x−12=0x^2 + x - 12 = 0:

    Δ=12−4⋅1⋅(−12)=1+48=49=72\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2

    Rădăcinile sunt:

    x1=−1−72=−4,x2=−1+72=3x_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3

    Soluțiile ecuației sunt x=−4x = -4 și x=3x = 3.

    (2 puncte)

4. Identitate Algebrică (5p)

Arătați că (2x)∗(2y)=2⋅(x∗(y+6))(2x) * (2y) = 2 \cdot (x * (y + 6)), pentru orice numere reale xx și yy.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul membrului stâng

    Aplicăm definiția legii pentru elementele 2x2x și 2y2y:

    (2x)∗(2y)=2x+2y3−4(2x) * (2y) = \frac{2x + 2y}{3} - 4

    (2 puncte)

  2. Calculul membrului drept și concluzia

    Calculăm compunerea x∗(y+6)x * (y + 6):

    x∗(y+6)=x+(y+6)3−4=x+y+6−123=x+y−63=x+y3−2x * (y + 6) = \frac{x + (y + 6)}{3} - 4 = \frac{x + y + 6 - 12}{3} = \frac{x + y - 6}{3} = \frac{x + y}{3} - 2

    Înmulțim cu scalarul 22:

    2⋅(x∗(y+6))=2⋅(x+y3−2)=2(x+y)3−4=2x+2y3−42 \cdot (x * (y + 6)) = 2 \cdot \left(\frac{x + y}{3} - 2\right) = \frac{2(x + y)}{3} - 4 = \frac{2x + 2y}{3} - 4

    Deoarece ambii membri conduc la aceeași expresie, identitatea este demonstrată pentru orice numere reale xx și yy.

    (3 puncte)

5. Inecuație cu Numere Naturale (5p)

Determinați numerele naturale nn pentru care (3n)∗((2n)∗n)≤−n(3n) * ((2n) * n) \le -n.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul compunerilor succesive

    Mai întâi, calculăm termenul interior:

    (2n)∗n=2n+n3−4=3n3−4=n−4(2n) * n = \frac{2n + n}{3} - 4 = \frac{3n}{3} - 4 = n - 4

    Calculăm compunerea finală:

    (3n)∗((2n)∗n)=(3n)∗(n−4)=3n+(n−4)3−4=4n−4−123=4n−163(3n) * ((2n) * n) = (3n) * (n - 4) = \frac{3n + (n - 4)}{3} - 4 = \frac{4n - 4 - 12}{3} = \frac{4n - 16}{3}

    (2 puncte)

  2. Rezolvarea inecuației în mulțimea numerelor naturale

    Inecuația devine:

    4n−163≤−n\frac{4n - 16}{3} \le -n

    Înmulțim cu 33:

    4n−16≤−3n  ⟺  4n+3n≤16  ⟺  7n≤16  ⟹  n≤1674n - 16 \le -3n \iff 4n + 3n \le 16 \iff 7n \le 16 \implies n \le \frac{16}{7}

    Deoarece 167=2,28…\frac{16}{7} = 2{,}28\dots și n∈Nn \in \mathbb{N}, valorile posibile pentru nn sunt:

    n∈{0,1,2}n \in \{0, 1, 2\}

    (3 puncte)

6. Ecuație Logaritmică (5p)

Determinați x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty) pentru care lg⁡x∗lg⁡x=(−3)∗lg⁡1x\lg x * \lg x = (-3) * \lg\frac{1}{x}.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul membrilor ecuației

    Membrul stâng:

    lg⁡x∗lg⁡x=lg⁡x+lg⁡x3−4=2lg⁡x3−4\lg x * \lg x = \frac{\lg x + \lg x}{3} - 4 = \frac{2\lg x}{3} - 4

    Pentru membrul drept, folosim proprietatea logaritmilor lg⁡1x=−lg⁡x\lg\frac{1}{x} = -\lg x:

    (−3)∗lg⁡1x=(−3)∗(−lg⁡x)=−3−lg⁡x3−4=−1−lg⁡x3−4=−lg⁡x3−5(-3) * \lg\frac{1}{x} = (-3) * (-\lg x) = \frac{-3 - \lg x}{3} - 4 = -1 - \frac{\lg x}{3} - 4 = -\frac{\lg x}{3} - 5

    (2 puncte)

  2. Aflarea soluției xx

    Egalăm cele două expresii:

    2lg⁡x3−4=−lg⁡x3−5\frac{2\lg x}{3} - 4 = -\frac{\lg x}{3} - 5

    Trecem termenii cu logaritm în stânga:

    2lg⁡x3+lg⁡x3=−5+4  ⟺  3lg⁡x3=−1  ⟺  lg⁡x=−1\frac{2\lg x}{3} + \frac{\lg x}{3} = -5 + 4 \iff \frac{3\lg x}{3} = -1 \iff \lg x = -1

    Prin definiția logaritmului zecimal:

    x=10−1=110x = 10^{-1} = \frac{1}{10}

    Deoarece 110∈(0,+∞)\frac{1}{10} \in (0, +\infty), soluția este validă.

    (3 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele:

I2=(1001),A=(160−2),B=(1200)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

și M(x,y)=xA+yBM(x,y) = xA + yB, unde xx și yy sunt numere reale.

1. Calculul Determinantului Matricei AA (5p)

Arătați că det⁡A=−2\det A = -2.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Scrierea determinantului

    det⁡A=∣160−2∣=1⋅(−2)−6⋅0\det A = \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - 6 \cdot 0

    (3 puncte)

  2. Calculul numeric

    det⁡A=−2−0=−2\det A = -2 - 0 = -2

    (2 puncte)

2. Relație Liniară de Matrice (5p)

Determinați numărul real aa pentru care A+2I2=aBA + 2I_2 = aB.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul sumei matriciale A+2I2A + 2I_2

    Avem:

    2I2=(2002)2I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

    Însumând:

    A+2I2=(160−2)+(2002)=(1+26+00+0−2+2)=(3600)A + 2I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & -2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Identificarea parametrului aa

    Observăm că:

    (3600)=3(1200)=3B\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 3B

    Relația devine 3B=aB3B = aB, de unde obținem a=3a = 3.

    (2 puncte)

3. Relație Pătratică de Matrice (5p)

Arătați că A⋅A+A=2I2A \cdot A + A = 2I_2.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul produsului A⋅AA \cdot A

    Efectuăm înmulțirea linie cu coloană:

    A⋅A=(160−2)(160−2)=(1⋅1+6⋅01⋅6+6⋅(−2)0⋅1+(−2)⋅00⋅6+(−2)⋅(−2))=(1−604)A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 6 \cdot 0 & 1 \cdot 6 + 6 \cdot (-2) \\ 0 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 & 0 \cdot 6 + (-2) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Efectuarea adunării și concluzia

    Adunăm matricea AA:

    A⋅A+A=(1−604)+(160−2)=(1+1−6+60+04−2)=(2002)=2I2A \cdot A + A = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1 & -6 + 6 \\ 0 + 0 & 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_2

    (2 puncte)

4. Ecuație Matriceală (5p)

Determinați numerele reale xx și yy pentru care M(x,y)⋅A=BM(x,y) \cdot A = B.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Exprimarea matricei M(x,y)M(x,y) și a produsului M(x,y)⋅AM(x,y) \cdot A

    Avem:

    M(x,y)=x(160−2)+y(1200)=(x+y6x+2y0−2x)M(x,y) = x \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y & 6x + 2y \\ 0 & -2x \end{pmatrix}

    Calculăm produsul cu AA:

    M(x,y)⋅A=(x+y6x+2y0−2x)(160−2)=((x+y)⋅1+0(x+y)⋅6+(6x+2y)⋅(−2)00+(−2x)⋅(−2))M(x,y) \cdot A = \begin{pmatrix} x + y & 6x + 2y \\ 0 & -2x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x+y)\cdot 1 + 0 & (x+y)\cdot 6 + (6x+2y)\cdot(-2) \\ 0 & 0 + (-2x)\cdot(-2) \end{pmatrix} M(x,y)⋅A=(x+y6x+6y−12x−4y04x)=(x+y−6x+2y04x)M(x,y) \cdot A = \begin{pmatrix} x + y & 6x + 6y - 12x - 4y \\ 0 & 4x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y & -6x + 2y \\ 0 & 4x \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Identificarea coeficienților xx și yy

    Egalăm cu matricea BB:

    (x+y−6x+2y04x)=(1200)\begin{pmatrix} x + y & -6x + 2y \\ 0 & 4x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

    Obținem sistemul de ecuații:

    {4x=0  ⟹  x=0x+y=1  ⟹  0+y=1  ⟹  y=1\begin{cases} 4x = 0 \implies x = 0 \\ x + y = 1 \implies 0 + y = 1 \implies y = 1 \end{cases}

    Verificăm și al doilea element din prima linie: −6(0)+2(1)=2-6(0) + 2(1) = 2, adevărat. Prin urmare, soluția unică este x=0x = 0 și y=1y = 1.

    (2 puncte)

5. Proprietate a Determinanților (5p)

Arătați că, dacă xx și yy sunt numere reale distincte astfel încât det⁡(M(x,y))=det⁡(M(y,x))\det(M(x,y)) = \det(M(y,x)), atunci x+y=0x + y = 0.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul determinanților det⁡(M(x,y))\det(M(x,y)) și det⁡(M(y,x))\det(M(y,x))

    Avem matricea:

    M(x,y)=(x+y6x+2y0−2x)M(x,y) = \begin{pmatrix} x+y & 6x+2y \\ 0 & -2x \end{pmatrix}

    Determinantul este:

    det⁡(M(x,y))=(x+y)(−2x)−0⋅(6x+2y)=−2x(x+y)\det(M(x,y)) = (x + y)(-2x) - 0 \cdot (6x + 2y) = -2x(x + y)

    Permutând xx cu yy, obținem:

    M(y,x)=(y+x6y+2x0−2y)M(y,x) = \begin{pmatrix} y+x & 6y+2x \\ 0 & -2y \end{pmatrix}

    Prin urmare:

    det⁡(M(y,x))=(y+x)(−2y)−0=−2y(x+y)\det(M(y,x)) = (y + x)(-2y) - 0 = -2y(x + y)

    (2 puncte)

  2. Folosirea ipotezei că xx și yy sunt distincte

    Egalitatea det⁡(M(x,y))=det⁡(M(y,x))\det(M(x,y)) = \det(M(y,x)) devine:

    −2x(x+y)=−2y(x+y)  ⟺  −2x(x+y)+2y(x+y)=0  ⟺  −2(x−y)(x+y)=0-2x(x + y) = -2y(x + y) \iff -2x(x + y) + 2y(x + y) = 0 \iff -2(x - y)(x + y) = 0

    Împărțim prin −2-2:

    (x−y)(x+y)=0(x - y)(x + y) = 0

    Cum xx și yy sunt numere reale distincte (x≠yx \neq y), avem x−y≠0x - y \neq 0. Rezultă obligatoriu:

    x+y=0x + y = 0

    (3 puncte)

6. Ecuație cu Matrice Parametrice (5p)

Determinați numerele reale xx pentru care M(x,x)⋅M(x,−x)=M(−2,2)M(x,x) \cdot M(x,-x) = M(-2,2).

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Barem și Etape de Calcul:

  1. Calculul produsului M(x,x)⋅M(x,−x)M(x,x) \cdot M(x,-x) și a matricei M(−2,2)M(-2,2)

    Construim matricele din stânga:

    M(x,x)=(x+x6x+2x0−2x)=(2x8x0−2x)M(x,x) = \begin{pmatrix} x+x & 6x+2x \\ 0 & -2x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 8x \\ 0 & -2x \end{pmatrix} M(x,−x)=(x+(−x)6x+2(−x)0−2x)=(04x0−2x)M(x,-x) = \begin{pmatrix} x+(-x) & 6x+2(-x) \\ 0 & -2x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4x \\ 0 & -2x \end{pmatrix}

    Înmulțim cele două matrice:

    M(x,x)⋅M(x,−x)=(2x8x0−2x)(04x0−2x)=(08x2−16x204x2)=(0−8x204x2)M(x,x) \cdot M(x,-x) = \begin{pmatrix} 2x & 8x \\ 0 & -2x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 4x \\ 0 & -2x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8x^2 - 16x^2 \\ 0 & 4x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -8x^2 \\ 0 & 4x^2 \end{pmatrix}

    Calculăm membrul drept:

    M(−2,2)=−2A+2B=(−2−1204)+(2400)=(0−804)M(-2,2) = -2A + 2B = \begin{pmatrix} -2 & -12 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -8 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

    (3 puncte)

  2. Rezolvarea ecuației

    Egalând cele două matrice:

    (0−8x204x2)=(0−804)\begin{pmatrix} 0 & -8x^2 \\ 0 & 4x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -8 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

    Obținem ecuația:

    4x2=4  ⟺  x2=1  ⟹  x=−1saux=14x^2 = 4 \iff x^2 = 1 \implies x = -1 \quad \text{sau} \quad x = 1

    Ambele soluții satisfac și egalitatea −8x2=−8-8x^2 = -8.

    (2 puncte)