Barem și Etape de Calcul:

1. Relația dintre termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice

   Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi:

   $$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$$

   (3 puncte)

2. Aflarea primului termen $a_1$

   Înlocuim valorile date $a_2 = 4$ și $a_3 = 6$:

   $$4 = \frac{a_1 + 6}{2} \implies a_1 + 6 = 8 \implies a_1 = 2$$

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă (Folosind rația):

Rația progresiei aritmetice este:

Primul termen se obține scăzând rația din al doilea termen:

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul valorii funcției în $x = 0$

   $$f(0) = 0^2 - 0 + 4 = 4$$

   (2 puncte)

2. Calculul valorii funcției în $x = 1$ și concluzia

   $$f(1) = 1^2 - 1 + 4 = 1 - 1 + 4 = 4$$

   Deoarece $f(0) = 4$ și $f(1) = 4$, rezultă că:

   $$f(0) = f(1)$$

   (3 puncte)

💡 Explicație Didactică:

Graficul unei funcții de gradul al doilea $f(x) = ax^2 + bx + c$ este o parabolă simetrică față de axa de simetrie $x = -\frac{b}{2a}$. În acest caz, axa de simetrie este $x = \frac{1}{2}$, iar punctele $x = 0$ și $x = 1$ sunt simetrice față de $\frac{1}{2}$, motiv pentru care iau aceeași valoare: $f(0) = f(1) = 4$.

Barem și Etape de Calcul:

1. Aducerea termenilor la aceeași bază

   Scriem $49$ ca putere a lui $7$, adică $49 = 7^2$:

   $$49 \cdot 7^x = 7^2 \cdot 7^x = 7^{x + 2}$$

   Ecuația devine:

   $$7^{3x - 2} = 7^{x + 2}$$

   (3 puncte)

2. Egalarea exponenților și determinarea soluției

   Deoarece funcția exponențială $g(t) = 7^t$ este strict injectivă, egalitatea puterilor implică egalitatea exponenților:

   $$3x - 2 = x + 2 \iff 3x - x = 2 + 2 \iff 2x = 4 \implies x = 2$$

   Soluția ecuației este $x = 2 \in \mathbb{R}$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea ecuației problemei

   Notăm cu $x$ lungimea totală a traseului montan (exprimată în kilometri).
   Alpinistul a parcurs $75\%$ din traseu, adică $\frac{75}{100} \cdot x$. Partea rămasă de parcurs este:

   $$x - \frac{75}{100} x = 2$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației

   Simplificăm fracția $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$:

   $$x - \frac{3}{4} x = 2 \iff \frac{1}{4} x = 2 \implies x = 2 \cdot 4 = 8\text{ km}$$

   Lungimea întregului traseu montan este de $8\text{ km}$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul distanței $AB$

   Folosim formula distanței dintre două puncte în plan:

   $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

   Înlocuim coordonatele punctelor $A(2, 3)$ și $B(5, 7)$:

   $$AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

   (3 puncte)

2. Determinarea lungimii segmentului $AC$

   Deoarece $B$ este mijlocul segmentului $AC$, lungimea segmentului $AC$ este dublul distanței $AB$:

   $$AC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 5 = 10$$

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă (Prin coordonatele punctului $C$):

Dacă $B$ este mijlocul segmentului $AC$, atunci:

Așadar $C(8, 11)$. Calculăm direct lungimea segmentului $AC$:

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea valorilor trigonometrice uzuale

   $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   (2 puncte)

2. Efectuarea calculelor din paranteză și multiplicarea cu $4$

   $$\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$$ $$\sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

   Calculăm expresia completă:

   $$4(\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ) = 4\left(\frac{3}{4} - \frac{2}{4}\right) = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Substituirea numerelor în legea de compoziție

   Înlocuim $x = -2$ și $y = 4$ în definiția legii:

   $$(-2) * 4 = \frac{-2 + 4}{2} - 1 = \frac{2}{2} - 1$$

   (3 puncte)

2. Finalizarea calculului

   $$\frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea expresiei lui $y * x$

   Pentru orice numere reale $x$ și $y$:

   $$y * x = \frac{y + x}{2} - 1$$

   (3 puncte)

2. Utilizarea comutativității adunării numerelor reale

   Deoarece adunarea pe $\mathbb{R}$ este comutativă ($y + x = x + y$), avem:

   $$\frac{y + x}{2} - 1 = \frac{x + y}{2} - 1 = x * y$$

   Prin urmare, $x * y = y * x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea „$*$” este comutativă.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Aplicarea legii de compoziție pentru elementele $x$ și $x + 1$

   $$x * (x + 1) = \frac{x + (x + 1)}{2} - 1 = \frac{2x + 1}{2} - 1$$

   (2 puncte)

2. Desfacerea fracției și simplificarea

   $$\frac{2x + 1}{2} - 1 = \frac{2x}{2} + \frac{1}{2} - 1 = x + \frac{1}{2} - 1 = x - \frac{1}{2}$$

   Așadar, $x * (x + 1) = x - \frac{1}{2}$, pentru orice număr real $x$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Exprimarea membrului stâng al ecuației

   Conform definiției legii de compoziție:

   $$x * x^2 = \frac{x + x^2}{2} - 1$$

   pentru orice număr real $x$.

   (2 puncte)

2. Formarea și rezolvarea ecuației de gradul al doilea

   Egalăm expresia cu $2$:

   $$\frac{x^2 + x}{2} - 1 = 2 \iff \frac{x^2 + x}{2} = 3 \iff x^2 + x = 6 \iff x^2 + x - 6 = 0$$

   Calculăm discriminantul:

   $$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

   Rădăcinile ecuației sunt:

   $$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 2$$

   Numerele reale căutate sunt $x = -3$ și $x = 2$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul compoziției termenilor

   Aplicăm definiția legii de compoziție pentru $x^2 + 3$ și $4x + 5$:

   $$(x^2 + 3) * (4x + 5) = \frac{(x^2 + 3) + (4x + 5)}{2} - 1 = \frac{x^2 + 4x + 8}{2} - 1$$

   Aducem la același numitor:

   $$\frac{x^2 + 4x + 8 - 2}{2} = \frac{x^2 + 4x + 6}{2}$$

   (2 puncte)

2. Restrângerea ca pătrat perfect și demonstrarea inegalității

   Descompunem numărătorul punând în evidență un binom la pătrat:

   $$\frac{x^2 + 4x + 6}{2} = \frac{(x^2 + 4x + 4) + 2}{2} = \frac{(x + 2)^2 + 2}{2} = \frac{(x + 2)^2}{2} + 1$$

   Deoarece $(x + 2)^2 \ge 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$, avem:

   $$\frac{(x + 2)^2}{2} \ge 0 \implies \frac{(x + 2)^2}{2} + 1 \ge 1$$

   Așadar, $(x^2 + 3) * (4x + 5) \ge 1$, pentru orice număr real $x$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Transcrierea inecuației prin legea de compoziție

   Pentru orice numere naturale $m$ și $n$:

   $$m * n = \frac{m + n}{2} - 1$$

   Inecuația devine:

   $$\frac{m + n}{2} - 1 \le 0 \iff \frac{m + n}{2} \le 1 \iff m + n \le 2$$

   (2 puncte)

2. Determinarea soluțiilor în mulțimea numerelor naturale

   Știm că $m, n \in \mathbb{N}$ și $m < n$. Analizăm valorile posibile pentru $m$:

   • Dacă $m = 0$: $n$ poate lua valorile $1$ sau $2$ ($0 < 1$ și $0 + 1 = 1 \le 2$; $0 < 2$ și $0 + 2 = 2 \le 2$). Obținem perechile $(0, 1)$ și $(0, 2)$.
   • Dacă $m = 1$: condiția $m < n$ impune $n \ge 2$, ceea ce implică $m + n \ge 1 + 2 = 3 > 2$, deci nu avem soluții.
   • Dacă $m \ge 2$: $m + n > 2 + 2 = 4 > 2$, imposibil.

   Prin urmare, perechile căutate sunt $(0, 1)$ și $(0, 2)$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea matricei $A(2)$ și a formulei determinantului

   Înlocuim $a = 2$ în expresia matricei:

   $$A(2) = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 2 \\ 2 & 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

   Determinantul unei matrice de ordinul 2 este:

   $$\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2$$

   (3 puncte)

2. Finalizarea calculului

   $$\det(A(2)) = 3 - 4 = -1$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul sumei $A(0) + A(2)$

   Avem matricele:

   $$A(0) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

   Adunăm matricele element cu element:

   $$A(0) + A(2) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 1 & 0 + 2 \\ 0 + 2 & 1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

   (3 puncte)

2. Calculul matricei $2 A(1)$ și verificarea egalității

   Matricea $A(1)$ este:

   $$A(1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

   Înmulțim cu scalarul $2$:

   $$2 A(1) = 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

   Deoarece ambele expresii conduc la aceeași matrice $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, egalitatea este demonstrată:

   $$A(0) + A(2) = 2 A(1)$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Efectuarea produsului matricial

   Avem $A(0) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
   Calculăm produsul conform regulii „linie pe coloană”:

   $$A(0) \cdot A(0) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 & (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix}$$

   (3 puncte)

2. Obținerea matricei unitate

   $$A(0) \cdot A(0) = \begin{pmatrix} 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$$

   (2 puncte)

💡 Explicație Didactică:

O matrice $M$ pentru care $M^2 = I$ se numește matrice involutivă (sau simetrie). Matricea diagonală $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ schimbă semnul primei coordonate și păstrează a doua coordonată (o reflexie geometrică față de axa $Oy$), iar aplicată de două ori consecutiv readuce orice punct în poziția inițială.

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul determinantului matricei $A(a)$

   $$\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a - 1 & a \\ a & a + 1 \end{vmatrix} = (a - 1)(a + 1) - a \cdot a$$

   Aplicăm formula diferenței de pătrate $(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$:

   $$\det(A(a)) = a^2 - 1 - a^2 = -1$$

   (3 puncte)

2. Concluzia privind inversabilitatea

   O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este nenul.
   Deoarece $\det(A(a)) = -1 \neq 0$ pentru orice număr real $a$, rezultă că matricea $A(a)$ este inversabilă pentru orice $a \in \mathbb{R}$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul matricei $A(a) + a I_2$ și a determinantului său

   $$A(a) + a I_2 = \begin{pmatrix} a - 1 & a \\ a & a + 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a - 1 & a \\ a & 2a + 1 \end{pmatrix}$$

   Calculăm determinantul acestei matrice:

   $$\det(A(a) + a I_2) = (2a - 1)(2a + 1) - a \cdot a = (4a^2 - 1) - a^2 = 3a^2 - 1$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației

   Egalăm determinantul cu $11$:

   $$3a^2 - 1 = 11 \iff 3a^2 = 12 \iff a^2 = 4$$

   De unde obținem soluțiile reale:

   $$a = -2 \quad \text{sau} \quad a = 2$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Determinarea matricei $C(a, b)$

   Calculăm termenii $a A(b)$ și $b A(a)$:

   $$a A(b) = a \begin{pmatrix} b - 1 & b \\ b & b + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab - a & ab \\ ab & ab + a \end{pmatrix}$$ $$b A(a) = b \begin{pmatrix} a - 1 & a \\ a & a + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab - b & ab \\ ab & ab + b \end{pmatrix}$$

   Adunăm cele două matrice:

   $$C(a, b) = a A(b) + b A(a) = \begin{pmatrix} 2ab - a - b & 2ab \\ 2ab & 2ab + a + b \end{pmatrix}$$

   (2 puncte)

2. Calculul sumei elementelor și găsirea soluțiilor în $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$

   Suma tuturor celor 4 elemente ale matricei $C(a, b)$ este:

   $$S = (2ab - a - b) + 2ab + 2ab + (2ab + a + b) = 8ab$$

   Condiția din enunț este $S = 24$:

   $$8ab = 24 \implies ab = 3$$

   Deoarece $a$ și $b$ sunt numere naturale, perechile de divizori ai lui $3$ sunt:

   $$(a, b) \in \{(1, 3), (3, 1)\}$$

   Perechile căutate sunt $(1, 3)$ și $(3, 1)$.

   (3 puncte)