Pasul 1: Desfacerea parantezelor și gruparea termenilor

Distribuim factorii în fiecare paranteză:

(3 puncte)

Pasul 2: Reducerea termenilor asemenea și folosirea relației $i^2 = -1$

Termenii imaginari $6i$ și $-6i$ se reduc:

(2 puncte)

Pasul 1: Exprimarea valorilor $f(a - 1)$ și $f(a + 1)$

Calculăm valorile funcției în cele două puncte:

pentru orice număr real $a$.

(2 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

Înlocuim expresiile obținute în relația din enunț:

(3 puncte)

Pasul 1: Stabilirea condițiilor de existență

Argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive:

1. $6x - 8 > 0 \implies 6x > 8 \implies x > \frac{4}{3}$
2. $x^4 > 0 \implies x \neq 0$

Intersectând aceste cerințe, mulțimea valorilor admisibile este:

Pasul 2: Aplicarea proprietăților logaritmilor și egalarea argumentelor

Folosim proprietatea $\frac{1}{2}\log_2(x^4) = \log_2\left((x^4)^{1/2}\right) = \log_2(x^2)$:

Prin injectivitatea funcției logaritmice, obținem ecuația algebrică:

(2 puncte)

Pasul 3: Rezolvarea ecuației și verificarea condițiilor

Calculăm discriminantul ecuației $x^2 - 6x + 8 = 0$:

Soluțiile sunt:

Verificăm dacă soluțiile aparțin domeniului admisibil $D = \left(\frac{4}{3}, +\infty\right)$:

• $2 > \frac{4}{3} \approx 1{,}33$, deci convine.
• $4 > \frac{4}{3}$, deci convine.

(3 puncte)

Mulțimea soluțiilor reale este $S = \{2, 4\}$.

Pasul 1: Numărul cazurilor posibile

Elementele mulțimii $A$ sunt multiplii nenuli ai lui $3$:

Așadar, mulțimea $A$ are $20$ de elemente, deci numărul de cazuri posibile este:

(2 puncte)

Pasul 2: Numărul cazurilor favorabile și calculul probabilității

Un număr de forma $3k$ ($k \in \{1, 2, \dots, 20\}$) este divizibil cu $5$ dacă și numai dacă $k$ este divizibil cu $5$, deoarece $\text{c.m.m.d.c.}(3, 5) = 1$. Valorile posibile pentru $k$ sunt:

Numerele corespunzătoare din $A$ sunt $15, 30, 45, 60$, deci sunt $4$ cazuri favorabile:

Probabilitatea cerută este:

(3 puncte)

Pasul 1: Interpretarea relației vectoriale

Relația $\vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OA}$ se rescrie sub forma:

Această relație exprimă faptul că punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$.

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea coordonatelor $a$ și $b$

Coordonatele mijlocului segmentului determinat de $B(a, 0)$ și $C(1, b)$ sunt egale cu coordonatele punctului $A(2, 2)$:

Așadar, numerele reale căutate sunt $a = 3$ și $b = 4$.

(3 puncte)

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei $AB$

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, tangenta unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă $AC$ și cateta alăturată $AB$:

Știind că $B = \frac{\pi}{3}$, avem $\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul ariei triunghiului dreptunghic

Aria unui triunghi dreptunghic este jumătatea produsului lungimilor catetelor:

(2 puncte)

Subpunctul a)

Înlocuim $a = 3$ în matricea $A(a)$:

Determinantul matricei $A(3)$ este:

(2 puncte)

Dezvoltăm după prima coloană:

(3 puncte)

Subpunctul b)

Calculăm produsul matricelor $A(a) \cdot A(a)$:

Calculăm fiecare element:

• Linia 1, Coloana 1: $(2a - 1)^2 + 0 + 0 = (2a - 1)^2$
• Linia 1, Coloana 2: $2(2a - 1) - 2 + 2 = 2(2a - 1)$
• Linia 1, Coloana 3: $(2a - 1) - 2a + 2a = 2a - 1 = 1(2a - 1)$
• Linia 2, Coloana 1: $0$
• Linia 2, Coloana 2: $0 + 1 - 2a = 1 - 2a = -(2a - 1) = (-1)(2a - 1)$
• Linia 2, Coloana 3: $0 + a - 2a^2 = -a(2a - 1)$
• Linia 3, Coloana 1: $0$
• Linia 3, Coloana 2: $0 - 2 + 4a = 2(2a - 1)$
• Linia 3, Coloana 3: $0 - 2a + 4a^2 = 2a(2a - 1)$

(3 puncte)

Dând factor comun pe $(2a - 1)$ din toate elementele matricei:

pentru orice număr real $a$.

(2 puncte)

Subpunctul c)

Exprimăm produsul $A(n) \cdot B(n)$ folosind definiția matricei $B(n) = A(n) + nI_3$:

Folosind identitatea de la subpunctul b), $A(n) \cdot A(n) = (2n - 1)A(n)$, și faptul că $A(n) \cdot I_3 = A(n)$:

pentru orice număr natural $n$.

(3 puncte)

Înlocuim în ecuația din enunț:

Observăm că elementul de pe prima linie și a treia coloană din $A(n)$ este egal cu $1 \neq 0$, prin urmare matricea $A(n)$ nu este matricea nulă pentru nicio valoare a lui $n$. Egalitatea matricială impune anularea scalarului:

Calculăm discriminantul: $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. Rădăcinile ecuației sunt:

Deoarece $n$ este număr natural ($n \in \mathbb{N}$), singura soluție validă este:

(2 puncte)

Subpunctul a)

Pentru $a = 4$ și $b = 0$, polinomul devine:

Calculăm valoarea în $-1$:

(3 puncte)

Efectuăm ridicările la putere:

(2 puncte)

Subpunctul b)

Pentru $a = 1$ și $b = 1$, polinomul devine:

Grupăm primii trei termeni dând factor comun pe $X^2$:

Așadar, polinomul se scrie sub forma:

Cum gradul polinomului $R = X - 6$ este $1$, strict mai mic decât gradul împărțitorului $g = X^2 - X + 1$ (care este $2$), conform unicității din teorema împărțirii cu rest:

• Câtul împărțirii este:

(3 puncte)

• Restul împărțirii este:

(2 puncte)

Subpunctul c)

Fie două rădăcini opuse $x_1$ și $x_2 = -x_1$. Deoarece sunt rădăcini ale lui $f$, avem $f(x_1) = 0$ și $f(-x_1) = 0$:

Adunăm cele două ecuații:

Scădem cele două ecuații:

(2 puncte)

Deoarece termenul liber al polinomului este $-6 \neq 0$, rezultă că $x = 0$ nu poate fi rădăcină ($f(0) = -6 \neq 0$). Prin urmare, $x_1 \neq 0$. Din relația $x_1(x_1^2 - b) = 0$ obținem:

Înlocuim $x_1^2 = b$ în ecuația sumei:

Deoarece $a, b \in \mathbb{N}$ și $b = x_1^2 > 0$ (dacă $b = 0 \implies x_1 = 0$, contradicție), $b$ este un divizor natural al lui $6$:

Analizăm fiecare caz ținând cont că $a \in \mathbb{N}$, deci $a + b \ge b$:

1. Dacă $b = 1$:

Perechea obținută este $(a, b) = (5, 1)$. 2. Dacă $b = 2$:

Perechea obținută este $(a, b) = (1, 2)$. 3. Dacă $b = 3$:

4. Dacă $b = 6$:

Verificăm dacă perechile găsite convin:

• Pentru $(5, 1)$: $x_1 = 1, x_2 = -1$ sunt rădăcini opuse ale polinomului $f = X^4 - X^3 + 5X^2 + X - 6$.
• Pentru $(1, 2)$: $x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$ sunt rădăcini opuse ale polinomului $f = X^4 - X^3 + X^2 + 2X - 6$.

Perechile căutate de numere naturale sunt:

(3 puncte)

Subpunctul a)

Funcția $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$. Derivăm aplicând regulile pentru radical și logaritm compus:

(3 puncte)

Aducem la același numitor comun $2x^2 + 1 = \sqrt{2x^2 + 1} \cdot \sqrt{2x^2 + 1}$:

(2 puncte)

Subpunctul b)

Calculăm coordonatele punctului de pe grafic corespunzător abscisei $x = 0$ și panta tangentei:

(2 puncte)

Ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $x = 0$ este:

(3 puncte)

Subpunctul c)

Determinăm punctele critice ale funcției rezolvând ecuația $f'(x) = 0$:

Din $\sqrt{2x^2 + 1} = 3 \implies 2x^2 + 1 = 9 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = -2 \text{ sau } x = 2$. Așadar, derivata se anulează în $x \in \{-2, 0, 2\}$.

Studiem semnul derivatei $f'(x)$ pe intervalele determinate de aceste puncte:

• Pentru $x \in (-\infty, -2)$: $x < 0$ și $\sqrt{2x^2 + 1} > 3$, deci $f'(x) < 0 \implies f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, -2]$.
• Pentru $x \in [-2, 0]$: $x \le 0$ și $\sqrt{2x^2 + 1} \le 3$, deci $f'(x) \ge 0 \implies f$ este crescătoare pe $[-2, 0]$.
• Pentru $x \in [0, 2]$: $x \ge 0$ și $\sqrt{2x^2 + 1} \le 3$, deci $f'(x) \le 0 \implies f$ este descrescătoare pe $[0, 2]$.
• Pentru $x \in [2, +\infty)$: $x > 0$ și $\sqrt{2x^2 + 1} > 3$, deci $f'(x) > 0 \implies f$ este strict crescătoare pe $[2, +\infty)$.

(2 puncte)

Calculăm valorile funcției în punctele critice și limitele la infinit:

• În $x = 0$: $f(0) = 2$ este punct de maxim local.
• În $x = \pm 2$:

Cum $e \approx 2{,}718 < 3$, avem $\ln 3 > 1$, deci $f(\pm 2) = 6(1 - \ln 3) < 0$.

• La infinit: notând $u = \sqrt{2x^2 + 1} \to +\infty$, avem $f(x) = 2u - 6\ln u = u\left(2 - 6\frac{\ln u}{u}\right) \to +\infty$. Deci $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Pentru orice $m \in (2, +\infty)$, avem $m > f(0) = 2$:

1. Pe intervalul $[-2, 2]$, maximul funcției este $f(0) = 2$. Deoarece $m > 2$, ecuația $f(x) = m$ nu are nicio soluție pe intervalul $[-2, 2]$.
2. Pe intervalul $(-\infty, -2]$, funcția este continuă și strict descrescătoare de la $+\infty$ la $f(-2) < 0$. Deoarece $m \in (f(-2), +\infty)$, conform teoremei valorilor intermediare (proprietatea Darboux), ecuația are exact o soluție în $(-\infty, -2)$.
3. Pe intervalul $[2, +\infty)$, funcția este continuă și strict crescătoare de la $f(2) < 0$ la $+\infty$. Deoarece $m \in (f(2), +\infty)$, ecuația are exact o soluție în $(2, +\infty)$.

În concluzie, ecuația $f(x) = m$ are exact două soluții reale pentru orice $m \in (2, +\infty)$.

(3 puncte)

Subpunctul a)

Înlocuim $f(x)$ în expresia integralei:

Integrala devine:

(3 puncte)

Aplicăm formula Leibniz-Newton:

(2 puncte)

Subpunctul b)

Observăm că numitorul este:

Fracția din integrală devine:

Integrăm prin părți, observând că $(2x^2 + 8x)' = 4x + 8$:

(3 puncte)

Calculăm termenul din paranteză și a doua integrală:

Scădem rezultatele:

(2 puncte)

Subpunctul c)

Exprimăm legea funcției $g(x)$:

Pentru orice $x \in [0, 1]$, avem $e^x > 0 \implies e^x + 2 > 0$, deci $g(x) > 0$. Aria suprafeței plane delimitate este:

Amplificăm convenabil pentru a pune în evidență derivata numitorului:

Integrala devine:

(3 puncte)

Calculăm valorile în capetele de integrare:

(2 puncte)