Pasul 1: Determinarea rației progresiei geometrice

Într-o progresie geometrică $(b_n)_{n \ge 1}$, raportul oricăror doi termeni consecutivi este constant și egal cu rația $q$:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul termenului $b_3$

Folosim relația de recurență $b_3 = b_2 \cdot q$:

(2 puncte)

Metodă alternativă (folosind formula termenului general):

Formula termenului general este $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Pentru $n = 3$:

Ambele metode sunt echivalente didactic și primesc punctajul maxim.

Pasul 1: Calculul compunerii funcțiilor în punctul $x = 2$

Calculăm mai întâi valoarea funcției interioare $g$ în $x = 2$:

Aplicăm funcția $f$ valorii obținute:

pentru orice număr real $a$.

(3 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

Egalăm rezultatul cu valoarea cerută în enunț:

(2 puncte)

Pasul 1: Stabilirea condițiilor de existență

Argumentele tuturor logaritmilor trebuie să fie strict pozitive:

1. $x > 0$
2. $8 - x > 0 \implies x < 8$
3. $6 + x > 0 \implies x > -6$

Intersectând aceste condiții, mulțimea de valori admisibile este:

Pasul 2: Aplicarea proprietăților logaritmilor și obținerea ecuației algebrice

Folosim proprietatea sumei logaritmilor cu aceeași bază: $\log_8 A + \log_8 B = \log_8(A \cdot B)$:

Datorită injectivității funcției logaritmice, egalăm argumentele:

(2 puncte)

Pasul 3: Rezolvarea ecuației și verificarea condițiilor

Calculăm discriminantul:

Rădăcinile ecuației sunt:

Verificăm dacă soluțiile aparțin domeniului admisibil $D = (0, 8)$:

• $1 \in (0, 8)$, deci convine.
• $6 \in (0, 8)$, deci convine.

(3 puncte)

Mulțimea soluțiilor reale este $S = \{1, 6\}$.

Pasul 1: Analiza cifrei unităților

Fie numărul de două cifre $\overline{ab}$, unde $a, b \in A$. Pentru ca numărul să fie par, cifra unităților $b$ trebuie să fie o cifră pară. Cifrele pare din mulțimea $A = \{1, 2, 4, 6, 8\}$ sunt:

Așadar, cifra unităților se poate alege în $4$ moduri.

(2 puncte)

Pasul 2: Analiza cifrei zecilor și calculul totalului

Enunțul nu impune ca cifrele să fie distincte. Cifra zecilor $a$ poate fi oricare dintre elementele mulțimii $A$, deoarece toate elementele lui $A$ sunt nenule ($1, 2, 4, 6, 8$). Prin urmare, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte $5$ moduri. Conform regulii produsului, se pot forma:

(3 puncte)

Pasul 1: Determinarea pantei dreptei $AC$

Formula pantei unei drepte determinate de două puncte distincte $A(x_A, y_A)$ și $C(x_C, y_C)$ este:

Deoarece dreapta $d$ este paralelă cu dreapta $AC$, pantele celor două drepte sunt egale:

(3 puncte)

Pasul 2: Scrierea ecuației dreptei $d$

Dreapta $d$ trece prin punctul $B(2, 2)$ și are panta $m_d = 1$. Ecuația punct-pantă este:

Efectuăm calculele:

(2 puncte)

Pasul 1: Calculul argumentelor și al valorilor trigonometrice pentru $x = \frac{\pi}{2}$

Pentru $x = \frac{\pi}{2}$, argumentele devin:

1. $\frac{x}{3} = \frac{\frac{\pi}{2}}{3} = \frac{\pi}{6} \implies \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
2. $x = \frac{\pi}{2} \implies \sin\frac{\pi}{2} = 1$
3. $\frac{2x}{3} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{2}}{3} = \frac{\pi}{3} \implies \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3 puncte)

Pasul 2: Înlocuirea valorilor în expresia $E\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Substituim valorile obținute în expresie:

Raționalizând primul termen sau simplificând: $3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ și $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$:

(2 puncte)

Subpunctul a)

Înlocuim $a = 2$ în matricea $A(a)$:

Determinantul matricei $A(2)$ este:

(2 puncte)

Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus (sau dezvoltare după linia 3):

(3 puncte)

Subpunctul b)

Pentru $a = 1$, sistemul devine:

Matricea sistemului este:

Calculăm determinantul matricei sistemului:

(2 puncte)

Alegem un minor principal de ordinul $2$:

Calculăm unicul determinant caracteristic $\Delta_{car}$ format cu ecuația a 3-a și coloana termenilor liberi:

Observăm că dacă adunăm coloana 2 la coloana 3:

Deoarece $\Delta_p \neq 0$ și $\Delta_{car} = 0$, conform teoremei lui Rouché-Kronecker sistemul este compatibil nedeterminat (are o infinitate de soluții).

(3 puncte)

Subpunctul c)

Calculăm determinantul matricei $A(a)$ pentru parametrul real $a$:

Dezvoltăm după linia a 3-a:

Pentru orice $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$, avem $a \neq 0$ și $a - 1 \neq 0$, deci $\det(A(a)) \neq 0$. Rezultă că sistemul este de tip Cramer și are o soluție unică $(x_0, y_0, z_0)$.

(2 puncte)

Aplicăm regula lui Cramer pentru determinarea necunoscutelor $x_0$ și $z_0$:

Dezvoltând determinantul:

Atunci:

Calculăm determinantul $\Delta_z$:

Scădem linia 3 din linia 2:

Atunci:

Calculăm produsul cerut:

pentru orice $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$.

(3 puncte)

Subpunctul a)

Înlocuim $X = 0$ în expresia polinomului $f$:

(3 puncte)

Efectuând calculele:

pentru orice număr real $a$.

(2 puncte)

Subpunctul b)

Polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ dacă și numai dacă rădăcina împărțitorului, $X = -2$, este rădăcină a polinomului $f$, adică $f(-2) = 0$:

pentru orice număr real $a$.

(3 puncte)

Egalăm cu zero:

(2 puncte)

Subpunctul c)

Fie $x_1, x_2, x_3$ rădăcinile complexe ale polinomului $f$. Scriem relațiile lui Viète:

Fără a restrânge generalitatea, presupunem că raportul a două rădăcini este $\frac{x_2}{x_1} = 2$, adică:

Înlocuim $x_2 = 2x_1$ în prima relație Viète:

Înlocuim $x_2$ și $x_3$ în produsul rădăcinilor:

Împărțim prin $-2$:

(3 puncte)

Căutăm rădăcini întregi printre divizorii lui $-4$: observăm că $x_1 = 1$ este soluție, deoarece $3(1)^3 + 1^2 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$. Descompunem ecuația în factori:

Ecuația de gradul al doilea $3x_1^2 + 4x_1 + 4 = 0$ are discriminantul $\Delta = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32 < 0$, deci nu are soluții reale. Cum $f$ are coeficienți reali și gradul 3, iar $x_2 = 2x_1$, dacă $x_1$ ar fi fost număr complex nereale, atunci conjugata sa $\overline{x_1}$ ar fi trebuit să fie rădăcină cu modulul egal cu $|x_1|$, însă $|x_2| = 2|x_1| \neq |x_1|$. Rezultă că $x_1$ trebuie să fie număr real, prin urmare $x_1 = 1$.

Deoarece $x_1 = 1$ este rădăcină a polinomului $f$, avem $f(1) = 0$:

Verificare: Pentru $a = -10$, rădăcinile sunt $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ și $x_3 = -1 - 3(1) = -4$, cu raportul $\frac{x_2}{x_1} = 2$.

(2 puncte)

Subpunctul a)

Funcția $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$. Derivăm termen cu termen:

(3 puncte)

Adunând termenii:

(2 puncte)

Subpunctul b)

Calculăm mai întâi valoarea funcției în $x = 0$:

Limita prezintă o nedeterminare de tipul $\left[\frac{0}{0}\right]$. Aplicăm regula lui l’Hospital:

(3 puncte)

Separăm factorii din limită:

Deoarece $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x} = 1$, avem:

Prin urmare:

(2 puncte)

Subpunctul c)

Ecuația dată se scrie echivalent:

Studiem monotonia și punctele de extrem ale funcției $f$:

Analizăm semnul derivatei $f'(x) = 4(x - 1)(1 - e^{2x})$:

1. Pentru $x \in (-\infty, 0)$: $x - 1 < 0$ și $1 - e^{2x} > 0$ (deoarece $2x < 0 \implies e^{2x} < 1$). Produsul este strict negativ: $f'(x) < 0$. Deci $f$ este strict descrescătoare pe intervalul $(-\infty, 0]$.
2. Pentru $x \in [0, 1]$: $x - 1 \le 0$ și $1 - e^{2x} \le 0$ (deoarece $2x \ge 0 \implies e^{2x} \ge 1$). Produsul este pozitiv: $f'(x) \ge 0$. Deci $f$ este crescătoare pe intervalul $[0, 1]$.
3. Pentru $x \in [1, +\infty)$: $x - 1 \ge 0$ și $1 - e^{2x} < 0$. Produsul este strict negativ: $f'(x) < 0$ pe $(1, +\infty)$. Deci $f$ este strict descrescătoare pe intervalul $[1, +\infty)$.

(3 puncte)

Calculăm valorile remarcabile și limitele la capete:

• $f(0) = 0$ (minim local al funcției).
• $f(1) = 2 - 4 - 3 - (2 - 3)e^2 = -5 + e^2 > 0$ (deoarece $e^2 > 2{,}7^2 = 7{,}29 > 5$).
• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, deoarece $2x^2 - 4x - 3 \to +\infty$ și $(2x - 3)e^{2x} \to 0$.
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$, deoarece termenul exponențial $-(2x - 3)e^{2x}$ domină și tinde la $-\infty$.

Analizăm existența soluțiilor pe fiecare interval:

1. Pe $(-\infty, 0]$: $f(x) \ge f(0) = 0$ pentru orice $x \in (-\infty, 0]$. Cum $-n < 0$, ecuația $f(x) = -n$ nu are soluții pe acest interval.
2. Pe $[0, 1]$: $f(x) \in [0, e^2 - 5]$. Cum $-n < 0$, ecuația $f(x) = -n$ nu are soluții nici pe acest interval.
3. Pe $[1, +\infty)$: funcția $f$ este continuă și strict descrescătoare, iar $f([1, +\infty)) = (-\infty, e^2 - 5]$. Deoarece $-n < 0 < e^2 - 5$, valoarea $-n$ aparține intervalului de imagine. Conform teoremei valorilor intermediare (proprietatea lui Darboux) și a strictei monotonii, ecuația $f(x) = -n$ are o soluție unică pe intervalul $[1, +\infty)$.

În concluzie, ecuația $f(x) + n = 0$ are soluție unică în $\mathbb{R}$ pentru orice număr natural nenul $n$.

(2 puncte)

Subpunctul a)

Înlocuim $f(x)$ în integrala dată:

Integrala devine:

(3 puncte)

Aplicăm formula Leibniz-Newton:

(2 puncte)

Subpunctul b)

Observăm că derivata expresiei de sub radical este:

Prin urmare, rescriem integrala sub forma:

(3 puncte)

Calculăm valorile în capetele de integrare:

(2 puncte)

Subpunctul c)

Formula volumului corpului obținut prin rotația graficului funcției $g$ în jurul axei $Ox$ este:

Calculăm pătratul funcției $f$:

Integrala volumului devine:

(3 puncte)

Calculăm valorile în capete:

Știind că $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$ și $\text{arctg}(0) = 0$:

Egalăm rezultatul cu expresia din enunț:

Prin identificare, obținem:

(2 puncte)