Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul parantezei și produsului (2 puncte):

   • Înlocuim $z = 3 - i$: $$z + 2i = 3 - i + 2i = 3 + i$$
   • Produsul devine: $$z(z + 2i) = (3 - i)(3 + i)$$

2. Finalizarea calculului algebric (3 puncte):

   • Aplicăm formula diferenței de pătrate $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$(3 - i)(3 + i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$$

💡 Metodă Alternativă:

Putem desface paranteza direct prin distributivitate: $z(z + 2i) = z^2 + 2iz$.

• $z^2 = (3 - i)^2 = 9 - 6i + i^2 = 8 - 6i$ (2p)
• $2iz = 2i(3 - i) = 6i - 2i^2 = 6i + 2$
• Însumând: $(8 - 6i) + (6i + 2) = 10$ (3p)

Barem și Etape de Calcul:

1. Exprimarea valorilor funcției în funcție de $a$ (3 puncte):

   • $f(a) = 3a - 4$
   • $f(-2a) = 3(-2a) - 4 = -6a - 4$

2. Rezolvarea ecuației de gradul I (2 puncte):

   • Înlocuim în relația dată: $$(3a - 4) + (-6a - 4) = a$$
   • Reducem termenii asemenea: $$-3a - 8 = a \implies -4a = 8 \implies a = -2$$

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiții de existență și ridicare la pătrat (2 puncte):

   • Condiția de existență a radicalilor: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$ (deoarece $x^2 + 7 > 0, \, \forall x \in \mathbb{R}$).
   • Ridicăm ambele părți ale ecuației la pătrat: $$x^2 + 7 = 4(x + 1) \implies x^2 + 7 = 4x + 4$$
   • Obținem ecuația de gradul al doilea: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$

2. Determinarea și verificarea soluțiilor (3 puncte):

   • Discriminantul: $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
   • Rădăcinile: $$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$
   • Ambele valori satisfac condiția $x \ge -1$, deci mulțimea soluțiilor este $S = \{1, 3\}$.

Barem și Etape de Calcul:

1. Reducerea problemei (3 puncte):

   • O submulțime de 3 elemente care îl conține obligatoriu pe $5$ este de forma $\{5, x, y\}$, unde $x, y \in A \setminus \{5\}$ cu $x \neq y$.
   • Prin urmare, numărul căutat este egal cu numărul submulțimilor de 2 elemente ale mulțimii $A \setminus \{5\} = \{1, 2, 3, 7\}$.

2. Calculul combinărilor (2 puncte):

   • Mulțimea $A \setminus \{5\}$ conține $4$ elemente.
   • Numărul submulțimilor cu 2 elemente este: $$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4 - 2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

💡 Metodă Alternativă (Enumerare Directă):

Submulțimile de 3 elemente care conțin elementul $5$ sunt: $\{1, 2, 5\}$, $\{1, 3, 5\}$, $\{1, 7, 5\}$, $\{2, 3, 5\}$, $\{2, 7, 5\}$, $\{3, 7, 5\}$. Sunt în total $6$ submulțimi. (5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Panta dreptei $OA$ (2 puncte):

   • Punctul $O$ este originea $(0,0)$. Panta dreptei $OA$ este: $$m_{OA} = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \frac{6 - 0}{3 - 0} = 2$$

2. Panta dreptei $BC$ și condiția de paralelism (3 puncte):

   • Panta dreptei $BC$ determinată de punctele $B(4,1)$ și $C(5,a)$ este: $$m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{a - 1}{5 - 4} = a - 1$$
   • Dreptele $OA$ și $BC$ sunt paralele dacă și numai dacă au pante egale: $$m_{OA} = m_{BC} \iff 2 = a - 1 \implies a = 3$$

💡 Metodă Alternativă (Vectorială):

Vectorii directori sunt $\vec{v}_{OA} = 3\vec{i} + 6\vec{j}$ și $\vec{v}_{BC} = (5-4)\vec{i} + (a-1)\vec{j} = \vec{i} + (a-1)\vec{j}$. Condiția de coliniaritate a vectorilor este proporționalitatea coordonatelor: $\frac{1}{3} = \frac{a - 1}{6} \implies 3(a - 1) = 6 \implies a = 3$. (5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul valorilor trigonometrice pentru $x = \frac{\pi}{3}$ (3 puncte):

   • $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \implies \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} = 3$
   • $\sin\left(\frac{\pi/3}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
   • $\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \cos\pi = -1$

2. Evaluarea expresiei numerice (2 puncte):

   • Înlocuim aceste valori în expresie: $$E\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(1 + 3\right) \cdot \frac{1}{2} + (-1) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1$$

Barem și Etape de Calcul:

1. Rezolvare cerința a) (5 puncte):
   • Pentru $a = 1$, matricea este: $$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

(2 puncte)

• Calculăm determinantul aplicând regula lui Sarrus (sau dezvoltare după linia 3): $$\det(A(1)) = 1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1$$ $$\det(A(1)) = 3 + 2 + 0 - 0 - 2 - 1 = 2$$

(3 puncte)

2. Rezolvare cerința b) (5 puncte):
   • Calculăm determinantul matricei sistemului $A(a)$ pentru un număr real arbitrar $a$: $$\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$
   • Dezvoltăm după linia a treia: $$\det(A(a)) = 0 - 2 \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 3 \end{vmatrix} = -2(a - a^2) + (3 - a^2) = 2a^2 - 2a + 3 - a^2 = a^2 - 2a + 3$$

(3 puncte)

• Restrângem ca pătrat perfect: $$\det(A(a)) = (a - 1)^2 + 2$$
• Deoarece $(a - 1)^2 \ge 0$ pentru orice $a \in \mathbb{R}$, avem: $$\det(A(a)) \ge 2 > 0, \quad \forall a \in \mathbb{R}$$
• Deoarece $\det(A(a)) \neq 0$ pentru orice $a \in \mathbb{R}$, matricea sistemului este inversabilă (sistem de tip Cramer), așadar sistemul admite soluție unică pentru orice număr real $a$. (2 puncte)

3. Rezolvare cerința c) (5 puncte):
   • Rezolvăm sistemul prin regula lui Cramer sau substituție.
   • Din ecuația a 3-a: $z = -2y$.
   • Înlocuim $z = -2y$ în primele două ecuații: $$\begin{cases} x + ay + a(-2y) = 1 \implies x - ay = 1 \implies x = 1 + ay \\ ax + 3y + a(-2y) = 0 \implies ax + (3 - 2a)y = 0 \end{cases}$$
   • Înlocuim $x = 1 + ay$ în a doua relație: $$a(1 + ay) + (3 - 2a)y = 0 \implies a + (a^2 - 2a + 3)y = 0 \implies y_0 = \frac{-a}{a^2 - 2a + 3}$$
   • Rezultă valorile componentelor: $$z_0 = -2y_0 = \frac{2a}{a^2 - 2a + 3}$$ $$x_0 = 1 + a y_0 = 1 - \frac{a^2}{a^2 - 2a + 3} = \frac{3 - 2a}{a^2 - 2a + 3}$$
   • Relația din ipoteză $z_0 = nx_0$ devine: $$\frac{2a}{a^2 - 2a + 3} = n \cdot \frac{3 - 2a}{a^2 - 2a + 3} \implies 2a = n(3 - 2a)$$

(3 puncte)

• Deoarece $a \in \mathbb{N}^* \implies 2a > 0$, iar $n \in \mathbb{N}$, trebuie ca $3 - 2a > 0 \implies 2a < 3 \implies a < 1{,}5$.
• Singurul număr natural nenul este $a = 1$. Pentru $a = 1$, obținem $2(1) = n(3 - 2) \implies n = 2 \in \mathbb{N}$, care convine.
• Așadar, $a = 1$. (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Rezolvare cerința a) (5 puncte):
   • Înlocuim $x = 0$ și $y = 2$ în formula legii de compoziție: $$0 * 2 = \frac{2}{3}(0 - 3)(2 - 3) + 3$$

(3 puncte)

• Calculăm: $$0 * 2 = \frac{2}{3}(-3)(-1) + 3 = \frac{2}{3} \cdot 3 + 3 = 2 + 3 = 5$$

(2 puncte)

2. Rezolvare cerința b) (5 puncte):
   • Calculăm $x * \frac{3x}{2}$: $$x * \frac{3x}{2} = \frac{2}{3}(x - 3)\left(\frac{3x}{2} - 3\right) + 3 = \frac{2}{3}(x - 3) \cdot \frac{3}{2}(x - 2) + 3 = (x - 3)(x - 2) + 3$$ $$x * \frac{3x}{2} = x^2 - 5x + 6 + 3 = x^2 - 5x + 9$$

(2 puncte)

• Ecuația dată devine: $$x^2 - 5x + 9 = 5x \implies x^2 - 10x + 9 = 0$$
• Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: $$\Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$$ $$x_1 = \frac{10 - 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$$
• Soluțiile reale sunt $x = 1$ și $x = 9$. (3 puncte)

3. Rezolvare cerința c) (5 puncte):
   • Calculăm mai întâi $m * m$: $$m * m = \frac{2}{3}(m - 3)^2 + 3$$
   • Compunem cu $n$: $$(m * m) * n = \frac{2}{3}\left(\left[\frac{2}{3}(m - 3)^2 + 3\right] - 3\right)(n - 3) + 3 = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}(m - 3)^2\right) \cdot (n - 3) + 3$$ $$m * m * n = \frac{4}{9}(m - 3)^2(n - 3) + 3$$

(2 puncte)

• Egalăm cu $-1$: $$\frac{4}{9}(m - 3)^2(n - 3) + 3 = -1 \implies \frac{4}{9}(m - 3)^2(n - 3) = -4 \implies (m - 3)^2(n - 3) = -9$$
• Deoarece $m, n \in \mathbb{N}$, avem $(m - 3)^2 \in \{0, 1, 4, 9, 16, \dots\}$ fiind pătrat perfect de număr întreg.
• Deoarece produsul este $-9 < 0$, $(m - 3)^2$ trebuie să fie strict pozitiv și divizor al lui $9$.
• Divizorii pătrate perfecte ale lui $9$ sunt $1$ și $9$:
  • Cazul 1: $(m - 3)^2 = 9 \implies m - 3 \in \{-3, 3\} \implies m = 0$ sau $m = 6$ (ambele în $\mathbb{N}$). Atunci $n - 3 = \frac{-9}{9} = -1 \implies n = 2 \in \mathbb{N}$. Obținem perechile $(0, 2)$ și $(6, 2)$.
  • Cazul 2: $(m - 3)^2 = 1 \implies m - 3 \in \{-1, 1\} \implies m = 2$ sau $m = 4$. Atunci $n - 3 = \frac{-9}{1} = -9 \implies n = -6 \notin \mathbb{N}$ (nu convine).
• Perechile de numere naturale sunt $(0, 2)$ și $(6, 2)$. (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Rezolvare cerința a) (5 puncte):
   • Aplicăm formula de derivare a raportului $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{(x^3 - 4x)'(x^2 + 5) - (x^3 - 4x)(x^2 + 5)'}{(x^2 + 5)^2} = \frac{(3x^2 - 4)(x^2 + 5) - (x^3 - 4x)(2x)}{(x^2 + 5)^2}$$

(3 puncte)

• Desfacem parantezele la numărător: $$(3x^4 + 15x^2 - 4x^2 - 20) - (2x^4 - 8x^2) = 3x^4 + 11x^2 - 20 - 2x^4 + 8x^2 = x^4 + 19x^2 - 20$$
• Factorizăm trinomul bipătrat $x^4 + 19x^2 - 20 = (x^2 - 1)(x^2 + 20)$: $$f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 20)}{(x^2 + 5)^2}, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

(2 puncte)

2. Rezolvare cerința b) (5 puncte):
   • O dreaptă $y = mx + n$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ dacă $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ și $n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$.
   • Calculăm diferența $f(x) - x$: $$f(x) - x = \frac{x^3 - 4x}{x^2 + 5} - x = \frac{x^3 - 4x - x(x^2 + 5)}{x^2 + 5} = \frac{x^3 - 4x - x^3 - 5x}{x^2 + 5} = \frac{-9x}{x^2 + 5}$$

(2 puncte)

• Calculăm limita diferenței când $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{-9x}{x^2 + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-9/x}{1 + 5/x^2} = 0$$
• Deoarece limita diferenței este $0$, rezultă că dreapta de ecuație $y = x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$. (3 puncte)

3. Rezolvare cerința c) (5 puncte):
   • Studiul variației funcției $f$:
     • Rădăcinile derivatei $f'(x) = 0$ sunt date de $x^2 - 1 = 0 \implies x_1 = -1$ și $x_2 = 1$ (deoarece $x^2 + 20 > 0$ și $(x^2+5)^2 > 0$).
     • Semnul derivatei:
       • Pe $(-\infty, -1)$, $f'(x) > 0 \implies f$ este strict crescătoare;
       • Pe $(-1, 1)$, $f'(x) < 0 \implies f$ este strict descrescătoare;
       • Pe $(1, +\infty)$, $f'(x) > 0 \implies f$ este strict crescătoare. (2 puncte)
   • Calculăm valorile în punctele critice și limitele la extremități:
     • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$
     • $f(-1) = \frac{(-1)^3 - 4(-1)}{(-1)^2 + 5} = \frac{-1 + 4}{1 + 5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (punct de maxim local)
     • $f(1) = \frac{1^3 - 4(1)}{1^2 + 5} = \frac{1 - 4}{1 + 5} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$ (punct de minim local)
     • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
   • Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. Din tabloul de variație:
     • Pe $(-\infty, -1]$, funcția crește strict de la $-\infty$ la $\frac{1}{2}$;
     • Pe $[-1, 1]$, funcția descrește strict de la $\frac{1}{2}$ la $-\frac{1}{2}$;
     • Pe $[1, +\infty)$, funcția crește strict de la $-\frac{1}{2}$ la $+\infty$.
   • Ecuația $f(x) = m$ are exact trei soluții reale distincte dacă și numai dacă orizontala $y = m$ intersectează graficul în 3 puncte, adică $m \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Rezolvare cerința a) (5 puncte):
   • Expresia din integrală se simplifică: $$f(x) \cdot x \ln x = \frac{x^2 - 4}{x \ln x} \cdot x \ln x = x^2 - 4$$
   • Integrala devine: $$\int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3}$$

(3 puncte)

• Înlocuim limitele de integrare: $$\left(\frac{3^3}{3} - 4 \cdot 3\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2\right) = (9 - 12) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 - \frac{8}{3} + 8 = 5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$$

(2 puncte)

2. Rezolvare cerința b) (5 puncte):
   • Simplificăm expresia de sub integrală: $$\frac{f(x)}{x^2 - 4} = \frac{\frac{x^2 - 4}{x \ln x}}{x^2 - 4} = \frac{1}{x \ln x}$$
   • Observăm că $\frac{1}{x \ln x} = \frac{(\ln x)'}{\ln x}$: $$\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln x} \, dx = \int_{e}^{e^2} \frac{(\ln x)'}{\ln x} \, dx = \left[ \ln(\ln x) \right]_{e}^{e^2}$$

(3 puncte)

• Calculăm valoarea integralei: $$\ln(\ln(e^2)) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$$

(2 puncte)

3. Rezolvare cerința c) (5 puncte):
   • Limita de calculat este un caz de nedeterminare de tipul $\left[\frac{0}{0}\right]$, deoarece când $x \to 2$:
     • $\int_{2}^{2} (t - 2) F(t) \, dt = 0$
     • $F^2(2) = (F(2))^2 = 0^2 = 0$
   • Aplicăm regula lui l’Hôpital și teorema de derivare a unei integrale cu limită variabilă: $$\lim_{x \to 2} \frac{\int_{2}^{x} (t - 2) F(t) \, dt}{F^2(x)} = \lim_{x \to 2} \frac{\left( \int_{2}^{x} (t - 2) F(t) \, dt \right)'}{\left( F^2(x) \right)'} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) F(x)}{2 F(x) F'(x)}$$

(3 puncte)

• Simplificăm prin $F(x)$ (deoarece $x \to 2$ cu $x \neq 2 \implies F(x) \neq 0$ în vecinătate) și folosim că $F'(x) = f(x)$: $$= \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{2 f(x)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{2 \cdot \frac{x^2 - 4}{x \ln x}} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) \cdot x \ln x}{2(x - 2)(x + 2)}$$
• Simplificăm factorul $x - 2$: $$= \lim_{x \to 2} \frac{x \ln x}{2(x + 2)} = \frac{2 \ln 2}{2(2 + 2)} = \frac{2 \ln 2}{8} = \frac{\ln 2}{4}$$

(2 puncte)