matematicaMate-Info (M1)Anul 2026Sesiune Specială (Olimpici)

Bacalaureat 2026 - Matematică Mate-Info (M1) - Sesiune Specială (Olimpici)

Descarcă Subiect PDF Descarcă Barem PDF

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Examenul Național de Bacalaureat 2026

Proba E. c) Matematică M_mate-info

Varianta 2

SUBIECTUL I (30 de puncte)

Exercițiul 1

Determinați termenul $a_2$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$ , în care $a_1 = 6$ și $a_3 = 30$ . (5 puncte)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Exercițiul 1 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Folosirea proprietății termenului mediu în progresia aritmetică

Într-o progresie aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$ , orice termen începând cu al doilea este media aritmetică a vecinilor săi:

a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}

(3 puncte)

Înlocuim valorile date în enunț ( $a_1 = 6$ și $a_3 = 30$ ):

a_2 = \frac{6 + 30}{2} = \frac{36}{2} = 18

(2 puncte)

Metodă alternativă (utilizând rația progresiei $r$ ):

Formula termenului general este $a_n = a_1 + (n-1)r$ . Pentru $n = 3$ :

a_3 = a_1 + 2r \implies 30 = 6 + 2r \implies 2r = 24 \implies r = 12

Atunci:

a_2 = a_1 + r = 6 + 12 = 18

Ambele metode conduc la același rezultat și primesc punctaj maxim conform baremului.

Exercițiul 2

Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = ax^2 + 2ax - 1$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f \circ f)(0) = 0$ . (5 puncte)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Exercițiul 2 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Calculul valorii funcției în $x = 0$

Calculăm direct $f(0)$ :

f(0) = a \cdot 0^2 + 2a \cdot 0 - 1 = -1

(1 punct)

Pasul 2: Exprimarea compunerii $(f \circ f)(0)$

Prin definiția compunerii a două funcții:

(f \circ f)(0) = f(f(0)) = f(-1)

Calculăm $f(-1)$ înlocuind $x = -1$ în legea funcției:

f(-1) = a \cdot (-1)^2 + 2a \cdot (-1) - 1 = a \cdot 1 - 2a - 1 = -a - 1

Așadar, $(f \circ f)(0) = -a - 1$ , pentru orice număr real $a$ .

(2 puncte)

Pasul 3: Rezolvarea ecuației $(f \circ f)(0) = 0$

Impune condiția din enunț:

-a - 1 = 0 \implies -a = 1 \implies a = -1

(2 puncte)

Exercițiul 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: (5 puncte)

\log_2(2x^2 - 4x + 3) = 2\log_2 x

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Exercițiul 3 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Condiții de existență ale logaritmilor

Pentru ca termenii logaritmici să aibă sens în $\mathbb{R}$ , argumentele trebuie să fie strict pozitive:

$x > 0$ (din $\log_2 x$ )
$2x^2 - 4x + 3 > 0$ . Discriminantul trinomului este $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 < 0$ . Cum coeficientul dominant este $a = 2 > 0$ și $\Delta < 0$ , rezultă $2x^2 - 4x + 3 > 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

Domeniul de căutare a soluțiilor este $D = (0, +\infty)$ .

Pasul 2: Aplicarea proprietăților logaritmilor și egalarea argumentelor

Folosind proprietatea $2\log_2 x = \log_2(x^2)$ pentru $x > 0$ , ecuația devine:

\log_2(2x^2 - 4x + 3) = \log_2(x^2)

Prin injectivitatea funcției logaritmice cu baza $2 > 1$ , obținem:

2x^2 - 4x + 3 = x^2 \implies x^2 - 4x + 3 = 0

(2 puncte)

Pasul 3: Rezolvarea ecuației de gradul al doilea și verificarea condițiilor

Calculăm discriminantul ecuației $x^2 - 4x + 3 = 0$ :

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4

Soluțiile sunt:

x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1

x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3

Ambele valori satisfac condiția de existență $x > 0$ ( $1 > 0$ și $3 > 0$ ), deci soluțiile convin.

(3 puncte)

Mulțimea soluțiilor reale este $S = \{1, 3\}$ .

Exercițiul 4

Se consideră mulțimea $A = \{2, 4, 5, 6\}$ . Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A$ . (5 puncte)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Exercițiul 4 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Analiza structurii numărului par de trei cifre

Fie numărul $\overline{abc}$ , unde $a, b, c \in A$ sunt distincte. Pentru ca numărul să fie par, ultima sa cifră $c$ (cifra unităților) trebuie să fie pară. Cifrele pare din mulțimea $A = \{2, 4, 5, 6\}$ sunt:

c \in \{2, 4, 6\}

Așadar, cifra unităților se poate alege în $3$ moduri.

(2 puncte)

Pasul 2: Alegerea celorlalte cifre și aplicarea regulii produsului

Mulțimea $A$ conține $4$ elemente în total:

După ce am ales cifra unităților $c$ (1 cifră utilizată), au mai rămas $4 - 1 = 3$ cifre disponibile în $A$ (toate fiind nenule, deci oricare poate fi cifra sutelor).
Cifra sutelor $a$ se poate alege în $3$ moduri.
După fixarea cifrei sutelor $a$ și a cifrei unităților $c$ , mai rămân $4 - 2 = 2$ cifre disponibile în $A$ .
Cifra zecilor $b$ se poate alege în $2$ moduri.

Conform regulii produsului, numărul total de astfel de numere pare cu cifre distincte este:

3 \cdot 3 \cdot 2 = 18 \text{ numere}

(3 puncte)

Exercițiul 5

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6, 4)$ și $B(1, 3)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care: (5 puncte)

2\vec{BC} = \vec{OA}

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Exercițiul 5 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Exprimarea vectorilor în baza canonică $(\vec{i}, \vec{j})$

Vectorul de poziție al punctului $A(6, 4)$ este:

\vec{OA} = 6\vec{i} + 4\vec{j}

Fie $C(x_C, y_C)$ coordonatele căutate. Vectorul $\vec{BC}$ se exprimă prin diferența coordonatelor:

\vec{BC} = (x_C - x_B)\vec{i} + (y_C - y_B)\vec{j} = (x_C - 1)\vec{i} + (y_C - 3)\vec{j}

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea coordonatelor punctului $C$

Relația vectorială $2\vec{BC} = \vec{OA}$ este echivalentă cu:

\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{OA}

Înlocuind componentele vectoriale:

(x_C - 1)\vec{i} + (y_C - 3)\vec{j} = \frac{1}{2}(6\vec{i} + 4\vec{j}) = 3\vec{i} + 2\vec{j}

Egalând componentele pe axele de coordonate:

x_C - 1 = 3 \implies x_C = 4

y_C - 3 = 2 \implies y_C = 5

Așadar, coordonatele punctului $C$ sunt $(4, 5)$ , adică $C(4, 5)$ .

(3 puncte)

Exercițiul 6

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AC = 6$ și $\text{tg}\,C = \frac{1}{3}$ . Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $\sqrt{10}$ . (5 puncte)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Exercițiul 6 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei $AB$

În triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , tangenta unghiului $C$ reprezintă raportul dintre cateta opusă $AB$ și cateta alăturată $AC$ :

\text{tg}\,C = \frac{AB}{AC}

Înlocuim valorile cunoscute:

\frac{1}{3} = \frac{AB}{6} \implies AB = \frac{6}{3} = 2

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea ipotenuzei $BC$ și a razei cercului circumscris

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$ :

BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40

BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, iar raza cercului circumscris este egală cu jumătatea lungimii ipotenuzei:

R = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}

(3 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Problema 1

Se consideră matricea:

A(a) = \begin{pmatrix} 1 - 2a & a & 0 \\ 2a & 1 - a & 0 \\ 0 & 0 & 1 - 3a \end{pmatrix}

unde $a$ este număr real.

Cerințe:

a) Arătați că $\det(A(1)) = 4$ . (5 puncte)
b) Arătați că $A(a) \cdot A(b) = A(a + b - 3ab)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ . (5 puncte)
c) Determinați numărul real $a$ pentru care $A(1) \cdot A(a) + A(5) = 2A(4)$ . (5 puncte)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Subiectul II.1 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Subpunctul a)

Înlocuim $a = 1$ în matricea $A(a)$ :

A(1) = \begin{pmatrix} 1 - 2(1) & 1 & 0 \\ 2(1) & 1 - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - 3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Determinantul matricei $A(1)$ este:

\det(A(1)) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix}

(2 puncte)

Dezvoltăm determinantul după a treia linie (sau aplicăm regula lui Sarrus):

\det(A(1)) = (-2) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (-2) \cdot [(-1) \cdot 0 - 1 \cdot 2] = (-2) \cdot (-2) = 4

Prin regula lui Sarrus:

\det(A(1)) = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (-4) = 4

(3 puncte)

Subpunctul b)

Calculăm produsul matricelor $A(a)$ și $A(b)$ :

A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 1 - 2a & a & 0 \\ 2a & 1 - a & 0 \\ 0 & 0 & 1 - 3a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 - 2b & b & 0 \\ 2b & 1 - b & 0 \\ 0 & 0 & 1 - 3b \end{pmatrix}

Calculăm fiecare element al matricei produs:

Linia 1, Coloana 1:

(1 - 2a)(1 - 2b) + a(2b) + 0 = 1 - 2b - 2a + 4ab + 2ab = 1 - 2a - 2b + 6ab = 1 - 2(a + b - 3ab)

Linia 1, Coloana 2:

(1 - 2a)b + a(1 - b) + 0 = b - 2ab + a - ab = a + b - 3ab

Linia 1, Coloana 3: $0 + 0 + 0 = 0$
Linia 2, Coloana 1:

2a(1 - 2b) + (1 - a)(2b) + 0 = 2a - 4ab + 2b - 2ab = 2a + 2b - 6ab = 2(a + b - 3ab)

Linia 2, Coloana 2:

2a \cdot b + (1 - a)(1 - b) + 0 = 2ab + 1 - b - a + ab = 1 - a - b + 3ab = 1 - (a + b - 3ab)

Linia 2, Coloana 3: $0 + 0 + 0 = 0$
Linia 3, Coloana 1: $0$ , Linia 3, Coloana 2: $0$
Linia 3, Coloana 3:

(1 - 3a)(1 - 3b) = 1 - 3b - 3a + 9ab = 1 - 3(a + b - 3ab)

(3 puncte)

Matricea produs obținută este:

A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 1 - 2(a + b - 3ab) & a + b - 3ab & 0 \\ 2(a + b - 3ab) & 1 - (a + b - 3ab) & 0 \\ 0 & 0 & 1 - 3(a + b - 3ab) \end{pmatrix} = A(a + b - 3ab)

pentru orice numere reale $a$ și $b$ .

(2 puncte)

Subpunctul c)

Folosind proprietatea demonstrată la subpunctul b):

A(1) \cdot A(a) = A(1 + a - 3 \cdot 1 \cdot a) = A(1 - 2a)

Ecuația din enunț este:

A(1) \cdot A(a) + A(5) = 2A(4) \iff A(1 - 2a) = 2A(4) - A(5)

Observăm că forma generală a matricei $A(x)$ se poate descompune liniar:

A(x) = I_3 + x \cdot M, \quad \text{unde } M = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}

Calculăm membrul drept:

2A(4) - A(5) = 2(I_3 + 4M) - (I_3 + 5M) = 2I_3 + 8M - I_3 - 5M = I_3 + 3M = A(3)

(2 puncte)

Ecuația devine:

A(1 - 2a) = A(3)

Egalând elementele corespunzătoare (de exemplu poziția $(1,2)$ ):

1 - 2a = 3 \implies -2a = 2 \implies a = -1

(3 puncte)

Problema 2

Se consideră polinomul:

f = mX^4 - mX^2 + X + 1

unde $m$ este număr real nenul.

Cerințe:

a) Arătați că $f(-1) = 0$ , pentru orice număr real nenul $m$ . (5 puncte)
b) Determinați numărul real nenul $m$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X + 2$ este egal cu $11$ . (5 puncte)
c) Determinați numărul real nenul $m$ pentru care $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 = 1$ , unde $x_1, x_2, x_3$ și $x_4$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . (5 puncte)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Subiectul II.2 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Subpunctul a)

Calculăm valoarea polinomului în $-1$ :

f(-1) = m(-1)^4 - m(-1)^2 + (-1) + 1

(3 puncte)

Efectuăm ridicările la putere: $(-1)^4 = 1$ și $(-1)^2 = 1$ :

f(-1) = m \cdot 1 - m \cdot 1 - 1 + 1 = m - m = 0

pentru orice număr real nenul $m$ .

(2 puncte)

Subpunctul b)

Conform teoremei restului (teorema lui Bézout), restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul de gradul întâi $g = X + 2$ este egal cu valoarea polinomului $f$ în rădăcina împărțitorului, adică $X = -2$ :

R = f(-2) = m(-2)^4 - m(-2)^2 + (-2) + 1 = 16m - 4m - 1 = 12m - 1

pentru orice număr real nenul $m$ .

(3 puncte)

Egalăm restul obținut cu valoarea dată în enunț:

12m - 1 = 11 \implies 12m = 12 \implies m = 1

Valoarea $m = 1$ este un număr real nenul, conform cerinței.

(2 puncte)

Subpunctul c)

Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul 4, $f = mX^4 + 0 \cdot X^3 - mX^2 + X + 1$ :

S_1 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{0}{m} = 0

S_3 = x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -\frac{1}{m}

P = x_1x_2x_3x_4 = \frac{1}{m} \neq 0

(3 puncte)

Deoarece $x_i$ ( $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ ) sunt rădăcini ale lui $f$ , avem $f(x_i) = 0$ :

m x_i^4 - m x_i^2 + x_i + 1 = 0

Cum $x_i \neq 0$ (deoarece termenul liber este $1 \neq 0$ ), împărțim relația la $x_i$ :

m x_i^3 - m x_i + 1 + \frac{1}{x_i} = 0 \implies m x_i^3 = m x_i - 1 - \frac{1}{x_i}

Însumând aceste relații pentru $i = 1, 2, 3, 4$ :

m(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3) = m(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) - 4 - \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4}\right)

Observăm că suma inverselor rădăcinilor este:

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4} = \frac{S_3}{P} = \frac{-\frac{1}{m}}{\frac{1}{m}} = -1

Înlocuind $S_1 = 0$ și suma inverselor în relația de mai sus:

m(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3) = m \cdot 0 - 4 - (-1) = -4 + 1 = -3

Cum din enunț avem $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 = 1$ :

m \cdot 1 = -3 \implies m = -3

Numărul $m = -3$ este real nenul, deci este soluția căutată.

(2 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Problema 1

Se consideră funcția:

f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{e^x + 2x + 1}{x + 1}

Cerințe:

a) Arătați că: (5 puncte) $f'(x) = \frac{xe^x + 1}{(x + 1)^2}, \quad x \in (-1, +\infty)$
b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ . (5 puncte)
c) Demonstrați că funcția $f$ este strict crescătoare. (5 puncte)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Subiectul III.1 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Subpunctul a)

Funcția $f$ este derivabilă pe $(-1, +\infty)$ fiind câtul a două funcții derivabile. Aplicăm formula de derivare a câtului $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ :

f'(x) = \frac{(e^x + 2x + 1)'(x + 1) - (e^x + 2x + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(e^x + 2)(x + 1) - (e^x + 2x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}

(3 puncte)

Desfacem parantezele la numărător:

f'(x) = \frac{xe^x + e^x + 2x + 2 - e^x - 2x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{xe^x + 1}{(x + 1)^2}, \quad x \in (-1, +\infty)

(2 puncte)

Subpunctul b)

Calculăm coordonatele punctului de tangență și panta tangentei:

f(0) = \frac{e^0 + 2 \cdot 0 + 1}{0 + 1} = \frac{1 + 0 + 1}{1} = 2

f'(0) = \frac{0 \cdot e^0 + 1}{(0 + 1)^2} = \frac{0 + 1}{1} = 1

(2 puncte)

Ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0 = 0$ este:

y - f(0) = f'(0)(x - 0)

Înlocuind valorile calculate:

y - 2 = 1 \cdot x \implies y = x + 2

(3 puncte)

Subpunctul c)

Pentru a arăta că $f$ este strict crescătoare pe $(-1, +\infty)$ , demonstrăm că $f'(x) > 0$ pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ . Numitorul derivatei este $(x + 1)^2 > 0$ pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ . Studiem semnul numărătorului considerând funcția auxiliară:

g : [-1, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad g(x) = xe^x + 1

Derivata funcției $g$ este:

g'(x) = (x)'e^x + x(e^x)' + 0 = e^x + xe^x = (x + 1)e^x

Pentru orice $x \in [-1, +\infty)$ , avem $x + 1 \ge 0$ și $e^x > 0$ , deci $g'(x) \ge 0$ . Rezultă că funcția $g$ este crescătoare pe $[-1, +\infty)$ . Calculăm valoarea funcției în capătul din stânga $x = -1$ :

g(-1) = (-1)e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e}

Deoarece $e \approx 2{,}718 > 1$ , avem $\frac{1}{e} < 1$ , deci:

g(-1) = 1 - \frac{1}{e} > 0

Cum $g$ este strict crescătoare pe $(-1, +\infty)$ , pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ avem:

g(x) > g(-1) > 0

(3 puncte)

Deoarece numărătorul $g(x) > 0$ și numitorul $(x + 1)^2 > 0$ pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ , rezultă:

f'(x) = \frac{g(x)}{(x + 1)^2} > 0, \quad \forall x \in (-1, +\infty)

Prin urmare, funcția $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(-1, +\infty)$ .

(2 puncte)

Problema 2

Se consideră funcția:

f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad f(x) = 6 + \frac{1}{x} + \frac{\ln^2 x}{x}

Cerințe:

a) Arătați că: (5 puncte) $\int_{1}^{3} \left(f(x) - \frac{\ln^2 x}{x}\right) dx = 12 + \ln 3$
b) Arătați că: (5 puncte) $\int_{1}^{e} \left(f(x) - 6 - \frac{1}{x}\right) dx = \frac{1}{3}$
c) Determinați numărul real $m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției: $g : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad g(x) = \frac{f(x) - 6}{x}$ axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = e$ este egală cu $m\left(1 - \frac{2}{e}\right)$ . (5 puncte)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial - Subiectul III.2 Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Subpunctul a)

Înlocuim expresia funcției $f(x)$ :

f(x) - \frac{\ln^2 x}{x} = 6 + \frac{1}{x}

Integrala devine:

\int_{1}^{3} \left(f(x) - \frac{\ln^2 x}{x}\right) dx = \int_{1}^{3} \left(6 + \frac{1}{x}\right) dx = (6x + \ln x)\Big|_{1}^{3}

(3 puncte)

Aplicăm formula Leibniz-Newton:

(6 \cdot 3 + \ln 3) - (6 \cdot 1 + \ln 1) = 18 + \ln 3 - 6 - 0 = 12 + \ln 3

(2 puncte)

Subpunctul b)

Înlocuim expresia funcției:

f(x) - 6 - \frac{1}{x} = \frac{\ln^2 x}{x}

Integrala devine:

\int_{1}^{e} \left(f(x) - 6 - \frac{1}{x}\right) dx = \int_{1}^{e} \frac{\ln^2 x}{x} \, dx = \int_{1}^{e} (\ln x)' \ln^2 x \, dx = \frac{\ln^3 x}{3}\Big|_{1}^{e}

(3 puncte)

Calculăm valorile în capete:

\frac{\ln^3 e}{3} - \frac{\ln^3 1}{3} = \frac{1^3}{3} - \frac{0}{3} = \frac{1}{3}

(2 puncte)

Subpunctul c)

Exprimăm funcția $g(x)$ :

g(x) = \frac{f(x) - 6}{x} = \frac{\frac{1}{x} + \frac{\ln^2 x}{x}}{x} = \frac{1}{x^2} + \frac{\ln^2 x}{x^2}, \quad x \in (0, +\infty)

Pentru $x \in [1, e]$ , avem $\frac{1}{x^2} > 0$ și $\frac{\ln^2 x}{x^2} \ge 0$ , deci $g(x) > 0$ . Aria suprafeței plane este dată de:

\mathcal{A} = \int_{1}^{e} g(x) \, dx = \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} \, dx + \int_{1}^{e} \frac{\ln^2 x}{x^2} \, dx

Calculăm prima integrală:

\int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} \, dx = \left(-\frac{1}{x}\right)\Big|_{1}^{e} = -\frac{1}{e} - \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 - \frac{1}{e}

Calculăm a doua integrală prin părți, observând că $\frac{1}{x^2} = \left(-\frac{1}{x}\right)'$ :

\int_{1}^{e} \frac{\ln^2 x}{x^2} \, dx = \int_{1}^{e} \left(-\frac{1}{x}\right)' \ln^2 x \, dx = \left(-\frac{\ln^2 x}{x}\right)\Big|_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \left(-\frac{1}{x}\right) \frac{2\ln x}{x} \, dx

= \left(-\frac{\ln^2 e}{e} - 0\right) + 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^2} \, dx = -\frac{1}{e} + 2 \int_{1}^{e} \left(-\frac{1}{x}\right)' \ln x \, dx

Integrăm din nou prin părți:

\int_{1}^{e} \left(-\frac{1}{x}\right)' \ln x \, dx = \left(-\frac{\ln x}{x}\right)\Big|_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \left(-\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x} \, dx = -\frac{1}{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{e} + \left(1 - \frac{1}{e}\right) = 1 - \frac{2}{e}

Revenim la a doua integrală:

\int_{1}^{e} \frac{\ln^2 x}{x^2} \, dx = -\frac{1}{e} + 2\left(1 - \frac{2}{e}\right) = 2 - \frac{5}{e}

(2 puncte)

Însumăm cele două rezultate pentru aria totală:

\mathcal{A} = \left(1 - \frac{1}{e}\right) + \left(2 - \frac{5}{e}\right) = 3 - \frac{6}{e} = 3\left(1 - \frac{2}{e}\right)

Egalăm cu expresia din enunț:

m\left(1 - \frac{2}{e}\right) = 3\left(1 - \frac{2}{e}\right)

Deoarece $1 - \frac{2}{e} \neq 0$ ( $e \approx 2{,}718 \implies \frac{2}{e} < 1$ ), împărțim prin $1 - \frac{2}{e}$ și obținem:

m = 3

(3 puncte)

Examenul Național de Bacalaureat 2026

Proba E. c) Matematică M_mate-info

Varianta 2

SUBIECTUL I (30 de puncte)

Exercițiul 1

Pasul 1: Folosirea proprietății termenului mediu în progresia aritmetică

Metodă alternativă (utilizând rația progresiei rrr):

Exercițiul 2

Pasul 1: Calculul valorii funcției în x=0x = 0x=0

Pasul 2: Exprimarea compunerii (f∘f)(0)(f \circ f)(0)(f∘f)(0)

Pasul 3: Rezolvarea ecuației (f∘f)(0)=0(f \circ f)(0) = 0(f∘f)(0)=0

Exercițiul 3

Pasul 1: Condiții de existență ale logaritmilor

Pasul 2: Aplicarea proprietăților logaritmilor și egalarea argumentelor

Pasul 3: Rezolvarea ecuației de gradul al doilea și verificarea condițiilor

Exercițiul 4

Pasul 1: Analiza structurii numărului par de trei cifre

Pasul 2: Alegerea celorlalte cifre și aplicarea regulii produsului

Exercițiul 5

Pasul 1: Exprimarea vectorilor în baza canonică (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j})(i,j​)

Pasul 2: Determinarea coordonatelor punctului CCC

Exercițiul 6

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei ABABAB

Pasul 2: Determinarea ipotenuzei BCBCBC și a razei cercului circumscris

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Problema 1

Subpunctul a)

Subpunctul b)

Subpunctul c)

Problema 2

Subpunctul a)

Subpunctul b)

Subpunctul c)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Problema 1

Subpunctul a)

Subpunctul b)

Subpunctul c)

Problema 2

Subpunctul a)

Subpunctul b)

Subpunctul c)

Metodă alternativă (utilizând rația progresiei $r$ ):

Pasul 1: Calculul valorii funcției în $x = 0$

Pasul 2: Exprimarea compunerii $(f \circ f)(0)$

Pasul 3: Rezolvarea ecuației $(f \circ f)(0) = 0$

Pasul 1: Exprimarea vectorilor în baza canonică $(\vec{i}, \vec{j})$

Pasul 2: Determinarea coordonatelor punctului $C$

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei $AB$

Pasul 2: Determinarea ipotenuzei $BC$ și a razei cercului circumscris