Barem și Etape de Calcul:

1. Calcularea conjugatului și înlocuirea în expresie

   Pentru $z = 2 + i$, conjugatul este $\bar{z} = 2 - i$. Înlocuim în relația din enunț:

   $$z + \bar{z} + z \cdot \bar{z} = (2 + i) + (2 - i) + (2 + i)(2 - i)$$

   (2 puncte)

2. Efectuarea calculelor

   Reducem termenii asemenea și aplicăm formula diferenței de pătrate:

   $$z + \bar{z} = 4$$ $$z \cdot \bar{z} = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$$ $$z + \bar{z} + z \cdot \bar{z} = 4 + 5 = 9$$

   (3 puncte)

💡 Metodă Alternativă:

Știind că pentru orice număr complex $z = a + bi$ avem $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 2 \cdot 2 = 4$ și $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = 2^2 + 1^2 = 5$, suma devine direct:

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea ecuației de intersecție

   Graficele funcțiilor $f$ și $g$ au puncte comune în soluțiile ecuației $f(x) = g(x)$:

   $$2x - 1 = x^2 - 4x + m \iff x^2 - 6x + m + 1 = 0$$

   (2 puncte)

2. Condiția de punct comun unic

   Graficele au exact un punct comun dacă și numai dacă ecuația de gradul al doilea are soluție unică reală, adică discriminantul este nul ($\Delta = 0$):

   $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 1) = 36 - 4m - 4 = 32 - 4m$$ $$\Delta = 0 \iff 32 - 4m = 0 \iff 4m = 32 \iff m = 8$$

   (3 puncte)

💡 Verificare Rapidă:

Pentru $m = 8$, ecuația devine $x^2 - 6x + 9 = 0 \iff (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3$, obținând punctul unic comun $A(3, 5)$.

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiții de existență și transformarea ecuației

   Condițiile de existență ale logaritmilor impun:

   $$x > 0 \quad \text{și} \quad x \neq 1 \implies x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$$

   Desfăcând paranteza și folosind formula de schimbare a bazei $\log_x 2 \cdot \log_2 x = 1$:

   $$\log_2 x + \log_x 2 \cdot \log_2 x = 5 \iff \log_2 x + 1 = 5$$

   (3 puncte)

2. Determinarea soluției

   Rezolvăm ecuația simplă obținută:

   $$\log_2 x = 4 \implies x = 2^4 = 16$$

   Deoarece $16 \in (0, 1) \cup (1, \infty)$, soluția convine.

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă:

Exprimând $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$, ecuația devine direct:

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Determinarea numărului de cazuri posibile

   Numerele din mulțimea $A$ sunt de forma $\overline{ab}$, cu $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

   Cifra $a$ poate lua $9$ valori, iar cifra $b$ poate lua $9$ valori, deci numărul total de cazuri posibile este:

   $$n_{\text{posibile}} = 9 \times 9 = 81$$

   (2 puncte)

2. Determinarea numărului de cazuri favorabile și a probabilității

   Produsul cifrelor $a \cdot b$ este divizibil cu $5$ dacă și numai dacă cel puțin una dintre cifre este egală cu $5$:

   • Numărul de elemente din $A$ care nu conțin cifra $5$ este $8 \times 8 = 64$ (cifrele $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$).
   • Numărul de cazuri favorabile (care conțin cel puțin o cifră $5$) este:
   $$n_{\text{favorabile}} = 81 - 64 = 17$$

   Calculăm probabilitatea:

   $$p = \frac{n_{\text{favorabile}}}{n_{\text{posibile}}} = \frac{17}{81}$$

   (3 puncte)

💡 Numărare Directă:

• Cifra zecilor este $5$: numerele sunt $51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59$ ($9$ numere).
• Cifra unităților este $5$, dar zecile diferite de $5$: $15, 25, 35, 45, 65, 75, 85, 95$ ($8$ numere).
• Total cazuri favorabile: $9 + 8 = 17$, deci $p = \frac{17}{81}$.

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calcularea pantelor

   Originea reperului este $O(0, 0)$. Panta dreptei $OB$ este:

   $$m_{OB} = \frac{y_B - y_O}{x_B - x_O} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

   Fie $d$ dreapta perpendiculară pe $OB$. Din condiția de perpendicularitate $m_d \cdot m_{OB} = -1$:

   $$m_d \cdot \frac{1}{2} = -1 \implies m_d = -2$$

   (3 puncte)

2. Scrierea ecuației dreptei

   Dreapta $d$ trece prin punctul $A(0, 5)$ și are panta $m_d = -2$:

   $$y - y_A = m_d(x - x_A) \implies y - 5 = -2(x - 0)$$ $$y = -2x + 5 \quad \text{sau} \quad 2x + y - 5 = 0$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Proprietatea medianei și egalitatea distanțelor

   Calculăm ipotenuza $BC$ cu teorema lui Pitagora:

   $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$

   Fiind triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză:

   $$AM = CM = \frac{BC}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$$

   Deoarece $M$ este mijlocul segmentului $BC$, ariile triunghiurilor $\triangle AMC$ și $\triangle AMB$ sunt egale, fiecare fiind jumătate din aria $\triangle ABC$. Rezultă că distanța de la $C$ la dreapta $AM$ este egală cu distanța de la $A$ la dreapta $BC$ (înălțimea $AD$ din $A$ pe $BC$):

   $$d(C, AM) = AD$$

   (3 puncte)

2. Calcularea înălțimii $AD$

   În triunghiul dreptunghic $ABC$, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este:

   $$AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = 7,2$$

   Prin urmare:

   $$d(C, AM) = 7,2$$

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă (Prin Arii):

Aria triunghiului $\triangle ABC$ este:

Deoarece $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, mediana $AM$ împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale:

Pe de altă parte, exprimând aria lui $\triangle AMC$ cu baza $AM$:

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul determinantului $\det(A(1))$

1. Scrierea matricei $A(1)$

   Pentru $a = 1$, matricea este:

   $$A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

   (2 puncte)

2. Dezvoltarea determinantului

   Aplicăm regula lui Sarrus sau regula triunghiului:

   $$\det(A(1)) = 1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1$$ $$\det(A(1)) = -1 + 3 + 2 - (-3) - 2 - 1 = 4$$

   (3 puncte)

b) Inversabilitatea matricei $A(a)$

1. Calculul determinantului general $\det(A(a))$

   Dezvoltăm determinantul matricei $A(a)$:

   $$\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A(a)) = a \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot a \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) \cdot 1 - 2 \cdot a \cdot a - 1 \cdot 1 \cdot 1$$ $$\det(A(a)) = -a + 3a + 2 + 3 - 2a^2 - 1 = -2a^2 + 2a + 4$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației $\det(A(a)) = 0$ și concluzia

   $$-2a^2 + 2a + 4 = 0 \iff a^2 - a - 2 = 0 \iff (a - 2)(a + 1) = 0$$

   Rădăcinile sunt $a_1 = -1$ și $a_2 = 2$.

   Matricea $A(a)$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det(A(a)) \neq 0$, deci:

   $$a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$$

   (2 puncte)

c) Rezolvarea sistemului și condiția $x_0 y_0 = y_1$

1. Determinarea lui $y_1$ pentru $a = 1$

   Pentru $a = 1$, sistemul este de tip Cramer ($\det(A(1)) = 4 \neq 0$):

   $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y + z = -4 \\ 3x + 2y + z = 8 \end{cases}$$

   Scăzând a doua ecuație din prima:

   $$(x + y + z) - (x - y + z) = 2 - (-4) \implies 2y = 6 \implies y_1 = 3$$

   (2 puncte)

2. Rezolvarea sistemului pentru $a = 2$ și găsirea soluțiilor cerute

   Pentru $a = 2$, sistemul devine:

   $$\begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - y + 2z = -4 \\ 3x + 2y + z = 8 \end{cases}$$

   Adunând primele două ecuații:

   $$3x + 3z = 0 \implies z = -x$$

   Din prima ecuație:

   $$2x + y - x = 4 \implies y = 4 - x$$

   Verificăm a treia ecuație: $3x + 2(4 - x) + (-x) = 3x + 8 - 2x - x = 8 = 8$ (identitate).

   Așadar, sistemul este compatibil nedeterminat, cu soluțiile de forma:

   $$(x_0, y_0, z_0) = (\alpha, 4 - \alpha, -\alpha), \quad \alpha \in \mathbb{R}$$

   Condiția $x_0 y_0 = y_1$ devine:

   $$\alpha(4 - \alpha) = 3 \iff 4\alpha - \alpha^2 = 3 \iff \alpha^2 - 4\alpha + 3 = 0$$ $$(\alpha - 1)(\alpha - 3) = 0 \implies \alpha = 1 \quad \text{sau} \quad \alpha = 3$$
   • Pentru $\alpha = 1$: $(x_0, y_0, z_0) = (1, 3, -1)$
   • Pentru $\alpha = 3$: $(x_0, y_0, z_0) = (3, 1, -3)$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul lui $0 * 1$ pentru $m = 3$

1. Înlocuirea valorilor în lege

   $$0 * 1 = \sqrt{(0^2 + 2)(1^2 + 2) + 3}$$

   (3 puncte)

2. Finalizarea calculului

   $$0 * 1 = \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$$

   (2 puncte)

b) Rezolvarea ecuației $x * (2x) = 5$ pentru $m = 7$

1. Exprimarea legii pentru valorile date

   Pentru $m = 7$, legea devine $x * y = \sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2) + 7}$. Calculăm $x * (2x)$:

   $$x * (2x) = \sqrt{(x^2 + 2)((2x)^2 + 2) + 7} = \sqrt{(x^2 + 2)(4x^2 + 2) + 7}$$

   (2 puncte)

2. Rezolvarea ecuației bipătrate

   Egalăm cu $5$ și ridicăm la pătrat:

   $$(x^2 + 2)(4x^2 + 2) + 7 = 25$$ $$4x^4 + 2x^2 + 8x^2 + 4 + 7 = 25 \iff 4x^4 + 10x^2 - 14 = 0 \iff 2x^4 + 5x^2 - 7 = 0$$

   Notând $t = x^2 \ge 0$, obținem $2t^2 + 5t - 7 = 0$:

   $$\Delta = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$$ $$t_1 = \frac{-5 + 9}{4} = 1 \ge 0, \quad t_2 = \frac{-5 - 9}{4} = -\frac{7}{2} < 0 \text{ (nu convine)}$$

   Cum $x^2 = 1$, obținem:

   $$x = -1 \quad \text{sau} \quad x = 1$$

   (3 puncte)

c) Asociativitatea legii de compoziție

1. Scrierea egalității de asociativitate

   Legea este asociativă dacă $(x * y) * z = x * (y * z)$ pentru orice $x, y, z \in \mathbb{R}$:

   $$(x * y) * z = \sqrt{((x * y)^2 + 2)(z^2 + 2) + m} = \sqrt{((x^2 + 2)(y^2 + 2) + m + 2)(z^2 + 2) + m}$$ $$x * (y * z) = \sqrt{(x^2 + 2)((y * z)^2 + 2) + m} = \sqrt{(x^2 + 2)((y^2 + 2)(z^2 + 2) + m + 2) + m}$$

   (3 puncte)

2. Identificarea valorii lui $m$

   Egalitatea membrilor are loc dacă și numai dacă expresiile de sub radicali sunt egale:

   $$((x^2 + 2)(y^2 + 2) + m + 2)(z^2 + 2) = (x^2 + 2)((y^2 + 2)(z^2 + 2) + m + 2)$$

   Desfăcând termenii:

   $$(x^2 + 2)(y^2 + 2)(z^2 + 2) + (m + 2)(z^2 + 2) = (x^2 + 2)(y^2 + 2)(z^2 + 2) + (m + 2)(x^2 + 2)$$ $$(m + 2)(z^2 + 2) = (m + 2)(x^2 + 2) \iff (m + 2)(z^2 - x^2) = 0$$

   Această relație trebuie să fie adevărată pentru orice numere reale $x$ și $z$, ceea ce impune:

   $$m + 2 = 0 \implies m = -2$$

   Deoarece $-2 \in [-4, \infty)$, valoarea obținută este soluție unică și convine.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul derivatei $f'(x)$

1. Aplicarea regulii de derivare a câtului

   Folosim formula $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, unde $u(x) = e^{x-2}$ și $v(x) = \sqrt{x - 1}$:

   $$u'(x) = (e^{x-2})' = e^{x-2}, \quad v'(x) = (\sqrt{x - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$$ $$f'(x) = \frac{e^{x-2}\sqrt{x - 1} - e^{x-2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}}{(\sqrt{x - 1})^2}$$

   (3 puncte)

2. Aducerea la numitor comun și simplificarea

   $$f'(x) = \frac{\frac{2e^{x-2}(x - 1) - e^{x-2}}{2\sqrt{x - 1}}}{x - 1} = \frac{e^{x-2}(2x - 2 - 1)}{2(x - 1)\sqrt{x - 1}} = \frac{e^{x-2}(2x - 3)}{2(x - 1)\sqrt{x - 1}}$$

   pentru orice $x \in (1, \infty)$.

   (2 puncte)

b) Calculul limitei de tipul $1^\infty$

1. Identificarea cazului de nedeterminare și rescrierea limitei

   Avem $f(2) = \frac{e^{2-2}}{\sqrt{2 - 1}} = \frac{e^0}{\sqrt{1}} = 1$. Când $x \to 2$, limita este de tipul nedeterminat $1^\infty$:

   $$\lim_{x \to 2} (f(x))^{\frac{1}{x - 2}} = \lim_{x \to 2} \left(1 + (f(x) - 1)\right)^{\frac{1}{x - 2}} = \lim_{x \to 2} \left[\left(1 + (f(x) - 1)\right)^{\frac{1}{f(x) - 1}}\right]^{\frac{f(x) - 1}{x - 2}}$$

   (3 puncte)

2. Calculul exponentului prin derivată

   Exponentul este limita raportului de variație, adică derivata funcției în punctul $x = 2$:

   $$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 1}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)$$

   Folosind formula derivatei demonstrată la punctul anterior:

   $$f'(2) = \frac{e^{2-2}(2 \cdot 2 - 3)}{2(2 - 1)\sqrt{2 - 1}} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$

   Rezultă:

   $$\lim_{x \to 2} (f(x))^{\frac{1}{x - 2}} = e^{f'(2)} = e^{1/2} = \sqrt{e}$$

   (2 puncte)

c) Numărul de soluții ale ecuației $f(x) = mx$

1. Studiul funcției auxiliare

   Pentru $x \in (1, \infty)$, ecuația $f(x) = mx$ este echivalentă cu:

   $$\frac{f(x)}{x} = m$$

   Definim funcția $g : (1, \infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \frac{f(x)}{x} = \frac{e^{x-2}}{x\sqrt{x - 1}}$. Calculăm derivata funcției $g$:

   $$g'(x) = \frac{f'(x) \cdot x - f(x)}{x^2}$$ $$f'(x) \cdot x - f(x) = \frac{e^{x-2}(2x - 3)x}{2(x - 1)\sqrt{x - 1}} - \frac{e^{x-2}}{\sqrt{x - 1}} = \frac{e^{x-2}[x(2x - 3) - 2(x - 1)]}{2(x - 1)\sqrt{x - 1}}$$ $$f'(x) \cdot x - f(x) = \frac{e^{x-2}(2x^2 - 5x + 2)}{2(x - 1)\sqrt{x - 1}} = \frac{e^{x-2}(x - 2)(2x - 1)}{2(x - 1)\sqrt{x - 1}}$$

   Deci:

   $$g'(x) = \frac{e^{x-2}(x - 2)(2x - 1)}{2x^2(x - 1)\sqrt{x - 1}}$$

   Pentru $x \in (1, \infty)$, factorii $e^{x-2}$, $2x - 1$, $x^2$, $x - 1$ și $\sqrt{x - 1}$ sunt strict pozitivi. Așadar, semnul derivatei este dat de $x - 2$:

   • $g'(x) < 0$ pentru $x \in (1, 2) \implies g$ este strict descrescătoare pe $(1, 2]$;
   • $g'(2) = 0$;
   • $g'(x) > 0$ pentru $x \in (2, \infty) \implies g$ este strict crescătoare pe $[2, \infty)$.

   (3 puncte)

2. Calculul extremului, limitelor și concluzia

   Punctul de minim global al funcției $g$ este $x = 2$:

   $$g(2) = \frac{f(2)}{2} = \frac{1}{2}$$

   Calculăm limitele la capetele intervalului de definiție:

   $$\lim_{x \searrow 1} g(x) = \lim_{x \searrow 1} \frac{e^{x-2}}{x\sqrt{x - 1}} = \frac{e^{-1}}{1 \cdot 0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{x-2}}{x\sqrt{x - 1}} = +\infty$$

   Deoarece funcția $g$ este continuă pe $(1, \infty)$, strict descrescătoare pe $(1, 2]$ de la $+\infty$ la $\frac{1}{2}$ și strict crescătoare pe $[2, \infty)$ de la $\frac{1}{2}$ la $+\infty$, ecuația $g(x) = m$ are:

   • $0$ soluții pentru $m < \frac{1}{2}$;
   • $1$ soluție pentru $m = \frac{1}{2}$;
   • exact $2$ soluții dacă și numai dacă:
   $$m \in \left(\frac{1}{2}, \infty\right)$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

a) Calculul integralei $\int_2^3 \frac{f(x)}{\ln x} \, dx$

1. Simplificarea integrandului

   Pentru $x \in [2, 3]$, avem $\ln x \neq 0$:

   $$\frac{f(x)}{\ln x} = 4x + \frac{6}{x^2}$$ $$\int_2^3 \frac{f(x)}{\ln x} \, dx = \int_2^3 \left(4x + \frac{6}{x^2}\right) \, dx = \left(2x^2 - \frac{6}{x}\right) \Bigg|_2^3$$

   (3 puncte)

2. Calculul numeric al integralei definite

   $$\left(2 \cdot 3^2 - \frac{6}{3}\right) - \left(2 \cdot 2^2 - \frac{6}{2}\right) = (18 - 2) - (8 - 3) = 16 - 5 = 11$$

   (2 puncte)

b) Calculul integralei $\int_1^e x(f(x) - 4x\ln x) \, dx$

1. Reducerea expresiei din integrală

   $$f(x) - 4x\ln x = \left(4x + \frac{6}{x^2}\right)\ln x - 4x\ln x = \frac{6}{x^2}\ln x$$ $$x(f(x) - 4x\ln x) = x \cdot \frac{6}{x^2}\ln x = \frac{6\ln x}{x} = 6 \ln x (\ln x)'$$

   (3 puncte)

2. Integrarea directă și finalizarea

   $$\int_1^e \frac{6\ln x}{x} \, dx = 6 \cdot \frac{\ln^2 x}{2} \Bigg|_1^e = 3\ln^2 x \Bigg|_1^e = 3\ln^2 e - 3\ln^2 1 = 3 \cdot 1 - 0 = 3$$

   (2 puncte)

c) Determinarea primitivei $F(x)$

1. Condiția de tangență la axa $Ox$

   Axa $Ox$ ($y = 0$) este tangentă la graficul primitivei $F$ într-un punct de abscisă $a \in (0, \infty)$ dacă și numai dacă:

   $$F(a) = 0 \quad \text{și} \quad F'(a) = 0$$

   Cum $F$ este o primitivă a lui $f$, avem $F'(x) = f(x)$ pentru orice $x \in (0, \infty)$:

   $$f(a) = 0 \iff \left(4a + \frac{6}{a^2}\right)\ln a = 0$$

   Deoarece $4a + \frac{6}{a^2} > 0$ pentru orice $a > 0$, obținem $\ln a = 0 \implies a = 1$. Deci punctul de tangență este $(1, 0)$, adică $F(1) = 0$.

   (2 puncte)

2. Calculul primitivei $F(x)$ prin părți

   Observăm că $\left(2x^2 - \frac{6}{x}\right)' = 4x + \frac{6}{x^2}$. Integrăm prin părți:

   $$F(x) = \int \left(4x + \frac{6}{x^2}\right)\ln x \, dx = \int \left(2x^2 - \frac{6}{x}\right)' \ln x \, dx$$ $$F(x) = \left(2x^2 - \frac{6}{x}\right)\ln x - \int \left(2x^2 - \frac{6}{x}\right) \frac{1}{x} \, dx$$ $$F(x) = \left(2x^2 - \frac{6}{x}\right)\ln x - \int \left(2x - \frac{6}{x^2}\right) \, dx = \left(2x^2 - \frac{6}{x}\right)\ln x - \left(x^2 + \frac{6}{x}\right) + C$$

   Determinăm constanta $C$ din condiția $F(1) = 0$:

   $$F(1) = \left(2 \cdot 1 - \frac{6}{1}\right)\ln 1 - \left(1^2 + \frac{6}{1}\right) + C = 0 - 7 + C = 0 \implies C = 7$$

   Primitiva căutată este:

   $$F(x) = \left(2x^2 - \frac{6}{x}\right)\ln x - x^2 - \frac{6}{x} + 7, \quad x \in (0, \infty)$$

   (3 puncte)