Barem și Etape de Calcul:

1. Proprietatea termenilor consecutivi

   Trei numere $a, b, c$ sunt în progresie aritmetică dacă și numai dacă termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi:

   $$b = \frac{a + c}{2} \iff 8 = \frac{x + (2x + 1)}{2}$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației de gradul I

   Înmulțim cu $2$ și reducem termenii asemenea:

   $$16 = 3x + 1 \implies 3x = 15 \implies x = 5$$

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă:

Folosind rația $r$: $r = 8 - x$ și $r = (2x + 1) - 8$. Egalând rațiile obținem $8 - x = 2x - 7 \implies 3x = 15 \implies x = 5$.

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Exprimarea legii compuse

   Calculăm $g(a) = a + 4$, apoi aplicăm $f$:

   $$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(a + 4) = 2(a + 4) + 1 = 2a + 9$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației

   Egalăm cu $-a$:

   $$2a + 9 = -a \implies 3a = -9 \implies a = -3$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiții de existență și transformare

   Condițiile de existență ale logaritmilor sunt:

   $$\begin{cases} x > 0 \\ 4x + 5 > 0 \implies x > -\frac{5}{4} \end{cases} \implies x \in (0, +\infty)$$

   Aplicăm proprietatea logaritmilor $2\log_5 x = \log_5(x^2)$:

   $$\log_5(x^2) = \log_5(4x + 5) \implies x^2 = 4x + 5 \implies x^2 - 4x - 5 = 0$$

   (2 puncte)

2. Determinarea și validarea soluțiilor

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:

   $$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

   Deoarece $x \in (0, +\infty)$, soluția $x = -1$ nu convine. Rămâne soluția unică $x = 5$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Alegerea cifrei zecilor

   Fie numărul de forma $\overline{ab}$, cu $a, b \in A$, $a \neq b$ și $a$ impar. Cifrele impare din mulțimea $A$ sunt $\{1, 3, 5, 7\}$, deci cifra zecilor $a$ poate fi aleasă în $4$ moduri.

   (2 puncte)

2. Alegerea cifrei unităților și regula produsului

   Mulțimea $A$ conține $5$ elemente în total. După fixarea cifrei $a$, pentru cifra unităților $b$ rămân disponibile oricare dintre celelalte $5 - 1 = 4$ elemente distincte din $A$. Conform regulii produsului, numărul total de numere formate este:

   $$N = 4 \cdot 4 = 16$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul sumei vectorilor de poziție

   Vectorii de poziție ai punctelor $A$ și $B$ sunt:

   $$\vec{OA} = 0\vec{i} + 5\vec{j} = 5\vec{j}, \quad \vec{OB} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$$

   Suma lor este:

   $$\vec{OA} + \vec{OB} = 3\vec{i} + (5 + 4)\vec{j} = 3\vec{i} + 9\vec{j}$$

   (3 puncte)

2. Determinarea coordonatelor punctului $C$

   Exprimăm vectorul $\vec{OC}$:

   $$\vec{OC} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \frac{1}{3}(3\vec{i} + 9\vec{j}) = \vec{i} + 3\vec{j}$$

   Prin urmare, coordonatele punctului sunt $C(1, 3)$.

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă (pe Coordonate Carteziene):

Relația vectorială se traduce direct pe axe: $3x_C = x_A + x_B = 0 + 3 = 3 \implies x_C = 1$. $3y_C = y_A + y_B = 5 + 4 = 9 \implies y_C = 3$. Deci $C(1, 3)$.

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Determinarea unghiurilor și proprietatea triunghiului $BCE$

   În triunghiul dreptunghic $ABC$ în $A$:

   $$\sphericalangle B = \frac{\pi}{2} - \sphericalangle C = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$$

   Deoarece $CE$ este bisectoarea unghiului $C$, avem:

   $$\sphericalangle ACE = \sphericalangle ECB = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$$

   Observăm că $\sphericalangle ECB = \sphericalangle EBC = \frac{\pi}{6}$, deci triunghiul $EBC$ este isoscel cu $EB = EC$. Distanța de la $B$ la dreapta $CE$ coincide cu distanța de la $C$ la dreapta $BE$ (latura $AB$), care este chiar cateta $CA$:

   $$d(B, CE) = CA$$

   (3 puncte)

2. Calculul lungimii catetei $CA$

   În triunghiul dreptunghic $CAE$ (dreptunghic în $A$, cu $\sphericalangle ACE = \frac{\pi}{6}$ și $AE = 2$):

   $$\operatorname{tg}(\sphericalangle ACE) = \frac{AE}{AC} \implies \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{2}{AC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{AC}$$

   Rezultă:

   $$AC = 2\sqrt{3}$$

   Prin urmare, $d(B, CE) = AC = 2\sqrt{3}$.

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă (Trigonometrie în Triunghiul Isoscel):

Fie $P$ piciorul perpendicularei din $B$ pe $CE$. În triunghiul dreptunghic $BPE$, $d(B, CE) = BP = BE \cdot \sin(\sphericalangle BEP)$. În triunghiul $CAE$, $CE = \frac{AE}{\sin(\pi/6)} = \frac{2}{1/2} = 4$. Cum triunghiul $BCE$ este isoscel cu $BE = CE$, avem $BE = 4$. Unghiul exterior $\sphericalangle BEP = \sphericalangle A + \sphericalangle ACE = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$, deci unghiul ascuțit format cu dreapta este $\frac{\pi}{3}$. $BP = 4 \cdot \sin\frac{\pi}{3} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

(5 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Rezolvare cerința a)

   Pentru $a = 0$, matricea devine:

   $$A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$

   (2 puncte)

   Calculăm determinantul dezvoltând după prima linie:

   $$\det(A(0)) = -2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = -2(1 - 2) = -2(-1) = 2$$

   (3 puncte)

2. Rezolvare cerința b)

   Calculăm determinantul matricei $A(a)$ pentru un număr real arbitrar $a$:

   $$\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 - a \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$

   Dezvoltăm după prima linie:

   $$\det(A(a)) = a \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 - a \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A(a)) = a \left[ -2 - (1 - a) \right] - 2(1 - 2) = a(a - 3) + 2 = a^2 - 3a + 2$$

   (2 puncte)

   Matricea $A(a)$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det(A(a)) \neq 0$:

   $$a^2 - 3a + 2 = 0 \iff (a - 1)(a - 2) = 0 \iff a \in \{1, 2\}$$

   Așadar, matricea este inversabilă pentru:

   $$a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$$

   (3 puncte)

3. Rezolvare cerința c)

   Pentru $a = 2$, sistemul devine:

   $$\begin{cases} 2x - 2z = 4 \implies x - z = 2 \implies x = z + 2 \\ x + y - z = 3 \\ 2x + y - 2z = 5 \end{cases}$$

   Substituind $x - z = 2$ în ecuația a 2-a: $(x - z) + y = 3 \implies 2 + y = 3 \implies y = 1$. Verificăm ecuația a 3-a: $2(z + 2) + 1 - 2z = 4 + 1 = 5$ (identitate adevărată pentru orice $z \in \mathbb{R}$). Notând $z_0 = \alpha \in \mathbb{R}$, soluțiile sistemului sunt:

   $$(x_0, y_0, z_0) = (\alpha + 2, 1, \alpha), \quad \text{unde } \alpha \in \mathbb{R}$$

   (3 puncte)

   Calculăm expresia $x_0 z_0 + y_0$:

   $$x_0 z_0 + y_0 = (\alpha + 2)\alpha + 1 = \alpha^2 + 2\alpha + 1 = (\alpha + 1)^2$$

   Cum pătratul oricărui număr real este nenegativ:

   $$(\alpha + 1)^2 \ge 0, \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}$$

   deci $x_0 z_0 + y_0 \ge 0$ pentru orice soluție a sistemului.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Rezolvare cerința a)

   Înlocuim $x = 3$ și $y = 5$ în legea de compoziție:

   $$3 * 5 = \frac{3 \cdot 5 - 1}{(3 - 1)(5 - 1)}$$

   (3 puncte)

   Calculăm valoarea numerică:

   $$3 * 5 = \frac{15 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$$

   (2 puncte)

2. Rezolvare cerința b)

   Exprimăm $x * x$ pentru $x \in M$:

   $$x * x = \frac{x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x + 1}{x - 1}$$

   (3 puncte)

   Rezolvăm ecuația $\frac{x + 1}{x - 1} = 3$:

   $$x + 1 = 3(x - 1) \implies x + 1 = 3x - 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$

   Cum $2 \in M = (1, +\infty)$, soluția unică este $x = 2$.

   (2 puncte)

3. Rezolvare cerința c)

   Calculăm mai întâi $x * 2$ pentru $x \in M$:

   $$x * 2 = \frac{2x - 1}{(x - 1)(2 - 1)} = \frac{2x - 1}{x - 1}$$

   Compunem acum rezultatul cu $x$:

   $$(x * 2) * x = \frac{\left(\frac{2x - 1}{x - 1}\right)x - 1}{\left(\frac{2x - 1}{x - 1} - 1\right)(x - 1)}$$

   Aducem la numitor comun parantezele:

   • La numărător: $\frac{2x^2 - x - (x - 1)}{x - 1} = \frac{2x^2 - 2x + 1}{x - 1}$
   • La numitor: $\left(\frac{2x - 1 - x + 1}{x - 1}\right)(x - 1) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1) = x$

   Rezultă fracția:

   $$(x * 2) * x = \frac{2x^2 - 2x + 1}{x(x - 1)}$$

   (3 puncte)

   Separăm partea întreagă:

   $$(x * 2) * x = \frac{2(x^2 - x) + 1}{x(x - 1)} = 2 + \frac{1}{x(x - 1)}$$

   Pentru orice $x \in M = (1, +\infty)$, avem $x > 1$ și $x - 1 > 0$, deci $x(x - 1) > 0$. Rezultă:

   $$\frac{1}{x(x - 1)} > 0 \implies 2 + \frac{1}{x(x - 1)} > 2$$

   deci $(x * 2) * x > 2$, pentru orice $x \in M$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Rezolvare cerința a)

   Calculăm derivata termen cu termen:

   • $(x)' = 1$
   • $(\ln^2 x)' = 2\ln x \cdot (\ln x)' = \frac{2\ln x}{x}$
   • $(x\ln x)' = (x)'\ln x + x(\ln x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

   Însumăm derivatele:

   $$f'(x) = 1 + \frac{2\ln x}{x} - (\ln x + 1) = \frac{2\ln x}{x} - \ln x$$

   (3 puncte)

   Aducem la numitor comun:

   $$f'(x) = \frac{2\ln x - x\ln x}{x} = \frac{(2 - x)\ln x}{x}, \quad \forall x \in (0, +\infty)$$

   (2 puncte)

2. Rezolvare cerința b)

   Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $a$ este paralelă cu axa $Ox$ dacă și numai dacă panta tangentei este nulă:

   $$f'(a) = 0, \quad a \in (0, +\infty)$$

   (2 puncte)

   Rezolvăm ecuația:

   $$\frac{(2 - a)\ln a}{a} = 0 \iff (2 - a)\ln a = 0$$

   Avem două posibilități:

   • $\ln a = 0 \implies a = 1$
   • $2 - a = 0 \implies a = 2$

   Abscisele căutate sunt $a = 1$ și $a = 2$.

   (3 puncte)

3. Rezolvare cerința c)

   Studiem semnul derivatei $f'(x) = \frac{(2 - x)\ln x}{x}$ pe intervalele determinate de rădăcinile $1$ și $2$:

   • Pentru $x \in (0, 1)$: $2 - x > 0$ și $\ln x < 0 \implies f'(x) < 0 \implies f$ este strict descrescătoare pe $(0, 1]$;
   • Pentru $x \in (1, 2)$: $2 - x > 0$ și $\ln x > 0 \implies f'(x) > 0 \implies f$ este strict crescătoare pe $[1, 2]$;
   • Pentru $x \in (2, +\infty)$: $2 - x < 0$ și $\ln x > 0 \implies f'(x) < 0 \implies f$ este strict descrescătoare pe $[2, +\infty)$.

   (2 puncte)

   Calculăm valorile în punctele critice și limitele la extremități:

   • $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + \ln x(\ln x - x)) = 0 + (-\infty)(-\infty) = +\infty$
   • $f(1) = 1 + 0 - 0 = 1 > 0$ (minim local pe $(0, 2]$)
   • $f(2) = 2 + \ln^2 2 - 2\ln 2 = 2 + \ln 2(\ln 2 - 2) > 0$ (maxim local)
   • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x\left(1 - \ln x + \frac{\ln^2 x}{x}\right) = (+\infty)(-\infty) = -\infty$

   Analizăm ecuația $f(x) = 0$ pe subintervale:

   • Pe $(0, 2]$: valoarea minimă a funcției este $f(1) = 1 > 0$, deci $f(x) \ge 1 > 0$, ceea ce înseamnă că ecuația nu are nicio soluție pe $(0, 2]$.
   • Pe $[2, +\infty)$: funcția $f$ este continuă și strict descrescătoare, cu $f(2) > 0$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. Conform teoremei lui Darboux/proprietății valorilor intermediare și strictei monotonii, ecuația $f(x) = 0$ are o soluție unică pe intervalul $(2, +\infty)$.

   În concluzie, ecuația $f(x) = 0$ are o soluție unică pe întreg domeniul $(0, +\infty)$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Rezolvare cerința a)

   Expresia de sub integrală se simplifică:

   $$f(x) - \sqrt{x^2 + 4} = x^2 - 2 + \sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{x^2 + 4} = x^2 - 2$$

   Calculăm integrala definită:

   $$\int_{0}^{3} (x^2 - 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x \right]_{0}^{3}$$

   (3 puncte)

   Înlocuim limitele de integrare:

   $$\left( \frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3 \right) - (0 - 0) = \frac{27}{3} - 6 = 9 - 6 = 3$$

   (2 puncte)

2. Rezolvare cerința b)

   Simplificăm numitorul:

   $$f(x) - x^2 + 2 = (x^2 - 2 + \sqrt{x^2 + 4}) - x^2 + 2 = \sqrt{x^2 + 4}$$

   Integrala devine:

   $$I = \int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx$$

   Observăm că $(x^2 + 4)' = 2x$, așadar:

   $$I = \int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{(x^2 + 4)'}{2\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = \left[ \sqrt{x^2 + 4} \right]_{0}^{\sqrt{5}}$$

   (3 puncte)

   Calculăm valoarea numerică:

   $$\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 4} - \sqrt{0^2 + 4} = \sqrt{5 + 4} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$$

   (2 puncte)

3. Rezolvare cerința c)

   Limita de calculat este:

   $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} F(t) \, dt}{x^2}$$

   Deoarece $\int_{0}^{0} F(t) \, dt = 0$ și $0^2 = 0$, suntem în cazul de nedeterminare $\left[\frac{0}{0}\right]$. Aplicăm regula lui l’Hôpital și teorema de derivare a unei integrale cu limită variabilă:

   $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_{0}^{x} F(t) \, dt \right)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{2x}$$

   (3 puncte)

   Cum $F(0) = 0$, limita $\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{2x}$ este tot de tipul $\left[\frac{0}{0}\right]$ (sau reprezintă definiția derivatei primitivei în origine):

   $$L = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x - 0} = \frac{1}{2} F'(0) = \frac{1}{2} f(0)$$

   Calculăm $f(0)$:

   $$f(0) = 0^2 - 2 + \sqrt{0^2 + 4} = -2 + 2 = 0$$

   Prin urmare:

   $$L = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$$

   (2 puncte)