Barem și Etape de Calcul:

1. Desfacerea parantezelor și aplicarea identității $i^2 = -1$

   Distribuim coeficienții în fiecare paranteză:

   $$3(4 - 5i) = 12 - 15i$$ $$5i(3 + 2i) = 15i + 10i^2$$

   Expresia devine:

   $$3(4 - 5i) + 5i(3 + 2i) = 12 - 15i + 15i + 10i^2$$

   (3 puncte)

2. Reducerea termenilor asemenea și calculul rezultatului

   Termenii imaginari $-15i$ și $+15i$ se reduc:

   $$12 + 10i^2 = 12 + 10(-1) = 12 - 10 = 2$$

   (2 puncte)

💡 Explicație Didactică:

La operațiile cu numere complexe, distribuția se face conform regulilor uzuale ale algebrei, înlocuind de fiecare dată $i^2$ cu $-1$. Termenii conținând unitatea imaginară la puterea întâi ($i$) se reduc dacă au coeficienți opuși.

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul valorii funcției compuse în punctul $x = 1$

   Calculăm mai întâi valoarea funcției interioare $f(1)$:

   $$f(1) = 1 + 4 = 5$$

   Aplicăm apoi funcția $g$:

   $$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(5) = 2 \cdot 5 + a = 10 + a$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației de gradul I în necunoscuta $a$

   Egalăm cu $1$:

   $$10 + a = 1 \implies a = 1 - 10 = -9$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiții de existență și egalarea argumentelor

   Condițiile de existență ale logaritmilor sunt:

   • $6x - x^2 > 0 \iff x(6 - x) > 0 \implies x \in (0, 6)$
   • $4 + x > 0 \implies x > -4$

   Domeniul de existență este $x \in (0, 6) \cap (-4, +\infty) = (0, 6)$.

   Datorită injectivității funcției logaritmice $\log_2$, egalăm argumentele:

   $$6x - x^2 = 4 + x \iff x^2 - 5x + 4 = 0$$

   (2 puncte)

2. Rezolvarea ecuației de gradul II și validarea soluțiilor

   Rezolvăm ecuația $x^2 - 5x + 4 = 0$:

   $$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$ $$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

   Verificăm apartenența la domeniul de existență $(0, 6)$:

   • $x = 1 \in (0, 6)$, soluție validă.
   • $x = 4 \in (0, 6)$, soluție validă.

   Mulțimea soluțiilor este $S = \{1, 4\}$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Alegerea cifrei unităților

   Fie numărul de două cifre $\overline{ab}$, cu $a, b \in A$ și $a \neq b$.
   Pentru ca numărul să fie impar, cifra unităților $b$ trebuie să fie impară.
   Cifrele impare din mulțimea $A = \{3, 4, 5, 7, 9\}$ sunt:

   $$b \in \{3, 5, 7, 9\} \implies 4 \text{ variante de alegere}$$

   (2 puncte)

2. Alegerea cifrei zecilor și determinarea numărului total

   Cifrele trebuie să fie distincte ($a \neq b$).
   Mulțimea $A$ conține $5$ elemente, toate fiind cifre nenule (nu conține $0$, deci orice element din $A \setminus \{b\}$ poate fi cifră a zecilor).
   Pentru fiecare alegere a cifrei unităților $b$, cifra zecilor $a$ se poate alege din $A \setminus \{b\}$, adică în:

   $$5 - 1 = 4 \text{ moduri}$$

   Conform regulii produsului, numărul total de numere naturale impare de două cifre distincte este:

   $$4 \cdot 4 = 16$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Exprimarea vectorilor $\vec{OB}$ și $\vec{AC}$ în baza ortonormată $(\vec{i}, \vec{j})$

   Punctele date sunt $O(0, 0)$, $A(0, 2)$ și $B(6, 4)$. Fie $C(x_C, y_C)$.
   Vectorii de poziție și de legătură sunt:

   $$\vec{OB} = (x_B - x_O)\vec{i} + (y_B - y_O)\vec{j} = 6\vec{i} + 4\vec{j}$$ $$\vec{AC} = (x_C - x_A)\vec{i} + (y_C - y_A)\vec{j} = x_C \vec{i} + (y_C - 2)\vec{j}$$

   (2 puncte)

2. Identificarea coordonatelor și calculul punctului $C$

   Multiplicăm vectorul $\vec{AC}$ cu $2$:

   $$2\vec{AC} = 2x_C \vec{i} + 2(y_C - 2)\vec{j}$$

   Egalitatea $2\vec{AC} = \vec{OB}$ conduce la sistemul pe componente:

   $$\begin{cases} 2x_C = 6 \implies x_C = 3 \\ 2(y_C - 2) = 4 \implies y_C - 2 = 2 \implies y_C = 4 \end{cases}$$

   Așadar, coordonatele punctului căutat sunt $C(3, 4)$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Determinarea ipotenuzei și a celeilalte catete

   Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci ipotenuza este diametrul cercului circumscris:

   $$BC = 2R = 2 \cdot 4 = 8$$

   Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\sphericalangle A = 90^\circ$):

   $$AB^2 + AC^2 = BC^2 \implies 4^2 + AC^2 = 8^2 \implies 16 + AC^2 = 64$$ $$AC^2 = 48 \implies AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$

   (3 puncte)

2. Calculul ariei triunghiului dreptunghic

   Aria este semiprodusul catetelor:

   $$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea matricei $A(2)$ și a determinantului asociat

   Înlocuim $a = 2$ în expresia matricei:

   $$A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$

   Determinantul este:

   $$\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$

   (2 puncte)

2. Calculul valorii determinantului

   Aplicăm regula lui Sarrus:

   $$\det(A(2)) = 2 \cdot 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 \cdot 2 - (-2) \cdot 2 \cdot 1$$ $$\det(A(2)) = -4 + 8 + 0 - 4 - 0 + 4 = 4$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea sistemului pentru $a = 1$ și calculul determinantului matricei sistemului

   Pentru $a = 1$, sistemul devine:

   $$\begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ x + y = 0 \\ x + y - z = -1 \end{cases}$$

   Matricea sistemului este $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.
   Primele două coloane sunt identice, deci $\det(A(1)) = 0$.

   (2 puncte)

2. Aplicarea Teoremei lui Rouché (sau a eliminării gaussiene)

   Alegem un minor principal de ordinul 2:

   $$\Delta_p = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rang}(A(1)) = 2$$

   Bordăm minorul principal cu termenii liberi pentru a calcula minorul caracteristic:

   $$\Delta_c = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$

   Dezvoltăm după linia a doua:

   $$\Delta_c = -1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \big(2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2\big) = -1(-2 + 2) = 0$$

   Cum $\Delta_c = 0$, rangul matricei extinse este egal cu rangul matricei sistemului ($\text{rang}(\bar{A}) = \text{rang}(A) = 2 < 3$).
   Conform Teoremei lui Rouché (Kronecker-Capelli), sistemul este compatibil nedeterminat, având o infinitate de soluții depinzând de un parametru ($y = -x$, $z = 1$, $x \in \mathbb{R}$).

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul determinantului $\det(A(a))$ și condiția de soluție unică

   Calculăm $\det(A(a))$ prin dezvoltare după linia a doua:

   $$\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & 2a \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -a \end{vmatrix} = -a \begin{vmatrix} 1 & 2a \\ 1 & -a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 2a \\ 1 & -a \end{vmatrix} - 0$$ $$\det(A(a)) = -a(-a - 2a) + (-a^2 - 2a) = 3a^2 - a^2 - 2a = 2a^2 - 2a = 2a(a - 1)$$

   Sistemul are soluție unică (este sistem Cramer) dacă și numai dacă $\det(A(a)) \neq 0$:

   $$2a(a - 1) \neq 0 \iff a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$$

   (2 puncte)

2. Determinarea componentei $x_0$ și rezolvarea ecuației $x_0 = a$

   Aplicăm Regula lui Cramer pentru determinarea lui $x_0$:

   $$\det(A_x) = \begin{vmatrix} a + 1 & 1 & 2a \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -a \end{vmatrix}$$

   Dezvoltăm după linia a doua:

   $$\det(A_x) = 1 \cdot \begin{vmatrix} a + 1 & 2a \\ -1 & -a \end{vmatrix} = (a + 1)(-a) - (-1)(2a) = -a^2 - a + 2a = -a^2 + a = -a(a - 1)$$

   Componenta $x_0$ a soluției unice este:

   $$x_0 = \frac{\det(A_x)}{\det(A(a))} = \frac{-a(a - 1)}{2a(a - 1)} = -\frac{1}{2}$$

   Condiția din enunț este $x_0 = a$:

   $$a = -\frac{1}{2}$$

   Deoarece $-\frac{1}{2} \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$, valoarea obținută este compatibilă și convine.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea valorii polinomului în $1$

   Pentru $m = 3$, polinomul este $f = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X + 3$. Înlocuim $X = 1$:

   $$f(1) = 1^4 - 3 \cdot 1^3 + 1^2 - 2 \cdot 1 + 3$$

   (3 puncte)

2. Calculul numeric

   $$f(1) = 1 - 3 + 1 - 2 + 3 = 0$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Aplicarea relațiilor lui Viète

   Pentru polinomul $f = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X + m$, relațiile lui Viète dau:

   • Suma rădăcinilor: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{-3}{1} = 3$
   • Produsul rădăcinilor: $x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{m}{1} = m$

   Expresia din enunț se grupează astfel:

   $$(x_1 x_2 x_3 x_4)^2 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) = m^2 - 3$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației în necunoscuta $m$

   Egalăm expresia cu $1$:

   $$m^2 - 3 = 1 \iff m^2 - 4 = 0$$ $$m = -2 \quad \text{sau} \quad m = 2$$

   Ambele soluții sunt numere reale, deci $m \in \{-2, 2\}$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Aplicarea Teoremei Restului și formularea ecuației

   Pentru $m = 0$, polinomul este:

   $$f = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X$$

   Conform Teoremei Restului (Bézout), restul împărțirii polinomului $f$ la binomul $X - a$ este $R = f(a)$.
   Condiția ca restul să fie egal cu $a$ devine:

   $$f(a) = a \iff a^4 - 3a^3 + a^2 - 2a = a \iff a^4 - 3a^3 + a^2 - 3a = 0$$

   (3 puncte)

2. Factorizarea ecuației și determinarea soluțiilor reale

   Grupăm termenii doi câte doi:

   $$a^4 - 3a^3 + a^2 - 3a = a(a^3 - 3a^2 + a - 3) = a\big[a^2(a - 3) + (a - 3)\big] = a(a - 3)(a^2 + 1) = 0$$

   Deoarece $a \in \mathbb{R}$, factorul $a^2 + 1 \geq 1 > 0$ nu are rădăcini reale.
   Rămân soluțiile:

   $$a = 0 \quad \text{sau} \quad a = 3$$

   Așadar, numerele reale căutate sunt $a \in \{0, 3\}$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Derivarea funcției raport

   Funcția $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ ca raport de funcții derivabile cu numitorul strict pozitiv ($\sqrt{x^2 + 1} \geq 1 > 0$).
   Aplicăm formula $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, unde $u(x) = x^2 + 6$ și $v(x) = \sqrt{x^2 + 1}$:

   • $u'(x) = 2x$
   • $v'(x) = \frac{(x^2 + 1)'}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
   $$f'(x) = \frac{2x\sqrt{x^2 + 1} - (x^2 + 6) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)^2}$$

   (3 puncte)

2. Aducerea la numitor comun și simplificarea expresiei

   Aducem la numitor comun în numărător:

   $$f'(x) = \frac{\frac{2x(x^2 + 1) - x(x^2 + 6)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{2x^3 + 2x - x^3 - 6x}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$$

   Efectuăm calculele la numărător:

   $$f'(x) = \frac{x^3 - 4x}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x(x^2 - 4)}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$$

   pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul valorilor $f(0)$ și $f'(0)$

   • Valoarea funcției în punctul de tangență:

     $$f(0) = \frac{0^2 + 6}{\sqrt{0^2 + 1}} = \frac{6}{1} = 6$$

   • Valoarea derivatei (panta tangentei):

     $$f'(0) = \frac{0 \cdot (0 - 4)}{(0 + 1)\sqrt{0 + 1}} = 0$$

   (2 puncte)

2. Scrierea ecuației tangentei

   Ecuația tangentei la graficul funcției în punctul $(x_0, f(x_0))$ este:

   $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

   Pentru $x_0 = 0$:

   $$y - 6 = 0 \cdot (x - 0) \implies y = 6$$

   Tangenta este o dreaptă orizontală paralelă cu axa $Ox$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Studiul monotoniei pe $[0, +\infty)$

   Analizăm semnul derivatei $f'(x) = \frac{x(x^2 - 4)}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$:

   • Numitorul $(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}$ este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$.
   • Pentru $x \in [0, 2]$, $x \geq 0$ și $x^2 - 4 \leq 0 \implies f'(x) \leq 0$, deci funcția $f$ este descrescătoare pe $[0, 2]$.
   • Pentru $x \in [2, +\infty)$, $x > 0$ și $x^2 - 4 \geq 0 \implies f'(x) \geq 0$, deci funcția $f$ este crescătoare pe $[2, +\infty)$.

   (2 puncte)

2. Încadrarea valorilor și demonstrarea inegalității

   • Pentru $x \in [0, 1] \subset [0, 2]$, cum $f$ este descrescătoare pe $[0, 2]$, avem:

     $$f(x) \geq f(1) = \frac{1^2 + 6}{\sqrt{1^2 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$$

     Înmulțind cu $2\sqrt{2} > 0$, obținem:

     $$2\sqrt{2} f(x) \geq 2\sqrt{2} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} = 14$$

   • Pentru $x \in [0, 1]$, argumentul $7 - x$ satisface:

     $$0 \leq x \leq 1 \implies 6 \leq 7 - x \leq 7$$

     Deoarece $[6, 7] \subset [2, +\infty)$ și funcția $f$ este crescătoare pe $[2, +\infty)$, valoarea maximă a lui $f(7 - x)$ se atinge în capătul superior $7$:

     $$f(7 - x) \leq f(7) = \frac{7^2 + 6}{\sqrt{7^2 + 1}} = \frac{49 + 6}{\sqrt{50}} = \frac{55}{5\sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{2}$$

   • Comparăm cele două margini:

     $$\frac{11\sqrt{2}}{2} \leq 14 \iff 11\sqrt{2} \leq 28 \iff (11\sqrt{2})^2 \leq 28^2 \iff 242 \leq 784 \quad (\text{adevărat})$$

   Prin urmare:

   $$f(7 - x) \leq \frac{11\sqrt{2}}{2} \leq 14 \leq 2\sqrt{2} f(x)$$

   deci $f(7 - x) \leq 2\sqrt{2} f(x)$ pentru orice $x \in [0, 1]$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Substituirea expresiei funcției și determinarea primitivei

   Expresia integrată este:

   $$f(x) - e^{2x} = (3x^2 - 1 + e^{2x}) - e^{2x} = 3x^2 - 1$$

   Integrala devine:

   $$\int_0^3 (f(x) - e^{2x}) \, dx = \int_0^3 (3x^2 - 1) \, dx = (x^3 - x) \Bigg|_0^3$$

   (3 puncte)

2. Calculul numeric prin formula Leibniz-Newton

   $$(3^3 - 3) - (0^3 - 0) = (27 - 3) - 0 = 24$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Identificarea factorului exponențial și aplicarea integrării prin părți

   Observăm că:

   $$f(x) - 3x^2 + 1 = (3x^2 - 1 + e^{2x}) - 3x^2 + 1 = e^{2x}$$

   Integrala devine:

   $$I = \int_0^1 4x e^{2x} \, dx$$

   Observăm că $(e^{2x})' = 2e^{2x}$, deci $4x e^{2x} = 2x \cdot (e^{2x})'$. Integrăm prin părți:

   $$\int_0^1 2x (e^{2x})' \, dx = \Big[ 2x e^{2x} \Big]_0^1 - \int_0^1 (2x)' e^{2x} \, dx = \Big[ 2x e^{2x} \Big]_0^1 - \int_0^1 2 e^{2x} \, dx$$

   (3 puncte)

2. Finalizarea integrării și calculul numeric

   $$I = \Big[ 2x e^{2x} - e^{2x} \Big]_0^1$$

   Evaluăm la capetele de integrare:

   • În $x = 1$: $2(1)e^{2 \cdot 1} - e^{2 \cdot 1} = 2e^2 - e^2 = e^2$
   • În $x = 0$: $2(0)e^0 - e^0 = 0 - 1 = -1$
   $$I = e^2 - (-1) = e^2 + 1$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Încadrarea în cazul de nedeterminare $\left[\frac{0}{0}\right]$ și aplicarea primei reguli a lui l’Hôpital

   Scriem limita sub formă de raport:

   $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \frac{f(t)}{t + 1} \, dt}{x^2}$$

   Pentru $x \to 0$, numitorul tinde la $0$, iar integrala $\int_0^0 \frac{f(t)}{t + 1} \, dt = 0$. Avem o nedeterminare de tip $\left[\frac{0}{0}\right]$.
   Funcția integrată este continuă, deci conform teoremei de derivare a unei integrale în raport cu limita superioară:

   $$\left( \int_0^x \frac{f(t)}{t + 1} \, dt \right)' = \frac{f(x)}{x + 1}$$

   Aplicăm regula lui l’Hôpital:

   $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{f(x)}{x + 1}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x(x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x^2 + 2x}$$

   (3 puncte)

2. Aplicarea celei de-a doua reguli a lui l’Hôpital și obținerea limitei

   Calculăm $f(0) = 3(0)^2 - 1 + e^0 = -1 + 1 = 0$, iar numitorul $2(0)^2 + 2(0) = 0$. Avem din nou cazul $\left[\frac{0}{0}\right]$.
   Derivăm numărătorul și numitorul în raport cu $x$:

   • $f'(x) = (3x^2 - 1 + e^{2x})' = 6x + 2e^{2x}$
   • $(2x^2 + 2x)' = 4x + 2$

   Aplicăm din nou regula lui l’Hôpital:

   $$L = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{4x + 2} = \lim_{x \to 0} \frac{6x + 2e^{2x}}{4x + 2}$$

   Trecem la limită pentru $x \to 0$:

   $$L = \frac{6 \cdot 0 + 2e^0}{4 \cdot 0 + 2} = \frac{0 + 2 \cdot 1}{0 + 2} = \frac{2}{2} = 1$$

   (2 puncte)