Pasul 1: Aplicarea proprietăților logaritmilor

Folosim proprietatea logaritmului raportului $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$:

Pentru al doilea termen, observăm că $25 = 5^2$:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul valorii expresiei

Înlocuim valorile găsite în expresia inițială:

Egalitatea este demonstrată.

(2 puncte)

Pasul 1: Exprimarea valorii $f(2 + m)$

Înlocuim argumentul $x = 2 + m$ în legea de corespondență a funcției $f$:

pentru orice număr real $m$.

(2 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației algebrice

Egalăm expresia obținută cu membrul drept al ecuației din enunț:

Separăm termenii care conțin necunoscuta $m$:

Așadar, valoarea numărului real este $m = 2$.

(3 puncte)

Pasul 1: Aducerea puterilor la aceeași bază

Scriem baza $8$ ca putere a lui $2$, anume $8 = 2^3$:

Membrul stâng al ecuației devine:

(3 puncte)

Pasul 2: Egalarea exponenților și rezolvarea ecuației

Ecuația se rescrie:

Datorită injectivității funcției exponențiale cu baza $2$, egalăm exponenții:

Soluția ecuației este $x = 3$.

(2 puncte)

Pasul 1: Fixarea cifrei unităților

Fie $\overline{abc}$ un număr de trei cifre format cu cifre distincte din mulțimea $A$. Un număr natural este divizibil cu $5$ dacă și numai dacă ultima sa cifră este $0$ sau $5$. Deoarece $0 \notin A$, singura cifră a unităților posibilă este $c = 5$:

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea numărului de posibilități pentru cifrele sutelor și zecilor

Cifrele trebuie să fie distincte ($a \neq b \neq c$ și $a, b, c \in A$):

• Cifra sutelor $a$ poate fi orice element din mulțimea $A \setminus \{5\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$, deci se poate alege în $5$ moduri.
• După alegerea cifrei sutelor $a$, cifra zecilor $b$ poate fi orice element din mulțimea $A \setminus \{5, a\}$, care are $6 - 2 = 4$ elemente, deci se poate alege în $4$ moduri.

Conform regulii produsului, numărul de numere căutate este:

(3 puncte)

Pasul 1: Calculul pantei dreptei $BC$

Panta dreptei determinate de punctele $B(2, 0)$ și $C(4, 6)$ este dată de formula:

Deoarece dreapta $d$ este paralelă cu dreapta $BC$, pantele lor sunt egale:

(3 puncte)

Pasul 2: Scrierea ecuației dreptei $d$

Ecuația dreptei de pantă $m_d$ care trece prin punctul $A(x_A, y_A) = (0, 1)$ este:

Înlocuim coordonatele și panta:

Sub formă generală, ecuația dreptei este $3x - y + 1 = 0$.

(2 puncte)

Pasul 1: Calculul valorilor trigonometrice fundamentale

Calculăm valorile funcțiilor trigonometrice implicate pentru $x = \frac{\pi}{3}$:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul valorii expresiei $E\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Înlocuim aceste valori în expresia dată:

Egalitatea este demonstrată.

(2 puncte)

a) Calculul determinantului matricei $A(1)$

Pentru $a = 1$, matricea $A(1)$ este:

(2 puncte)

Calculăm determinantul folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după prima coloană:

(3 puncte)

b) Existența și unicitatea soluției sistemului

Calculăm determinantul matricei sistemului $A(a)$ pentru un număr real arbitrar $a$:

Dezvoltăm determinantul după prima coloană:

(3 puncte)

Deoarece $a^2 \ge 0$ pentru orice $a \in \mathbb{R}$, avem:

Determinantul matricei sistemului este nenul pentru orice $a \in \mathbb{R}$, așadar, conform regulii lui Cramer, sistemul are soluție unică pentru orice număr real $a$.

(2 puncte)

c) Determinarea valorilor parametrului $a$ pentru $y_0 \ge 1$

Folosim regula lui Cramer pentru determinarea componentei $y_0$:

unde $\Delta_y$ este determinantul obținut prin înlocuirea coloanei a doua din $\det(A(a))$ cu coloana termenilor liberi $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$:

Dezvoltăm după prima coloană:

Prin urmare:

(3 puncte)

Impunem condiția $y_0 \ge 1$:

Deoarece $a^2 + 2 > 0$ pentru orice $a \in \mathbb{R}$, putem înmulți inegalitatea cu numitorul fără a schimba sensul inegalității:

Aflăm rădăcinile ecuației $a^2 + 3a - 10 = 0$:

Semnul trinomului de gradul al doilea între rădăcini este negativ ($\le 0$), așadar:

(2 puncte)

a) Calculul compunerii $6 * 7$

Înlocuim $x = 6$ și $y = 7$ în definiția legii:

(3 puncte)

Calculăm produsele:

(2 puncte)

b) Rezolvarea ecuației $x * (x + 4) = 6$

Pentru orice număr real $x$, compunem $x$ cu $x + 4$:

(2 puncte)

Egalăm cu $6$:

Așadar, soluția ecuației este $x = 2$.

(3 puncte)

c) Determinarea tripletelor $(m, n, p)$

Datorită asociativității legii, compunem trei elemente arbitrare $m, n, p$:

pentru orice numere naturale $m, n, p$.

(3 puncte)

Ecuația $m * n * p = 3$ devine:

Fie $a = m - 4$, $b = n - 4$, $c = p - 4$. Cum $m, n, p \in \mathbb{N}$ și $m < n < p$, rezultă că $a, b, c \in \mathbb{Z}$, $a < b < c$ și $a \ge -4$. Produsul $a \cdot b \cdot c = -4$ fiind negativ, numărul factorilor negativi trebuie să fie impar:

• Dacă toți cei trei factori ar fi negativi: $a < b < c \le -1$, atunci cel mai mare produs posibil al trei numere întregi negative distincte ar fi $(-3)(-2)(-1) = -6 < -4$ (adică $|a \cdot b \cdot c| \ge 6 > 4$), imposibil.
• Deci exact un factor este negativ și doi sunt pozitivi: $a < 0 < b < c$.

Cum $b, c \in \mathbb{N}^*$ și $b < c$, iar produsul $|a| \cdot b \cdot c = 4$, factorii $b$ și $c$ sunt divizori pozitivi ai lui $4$ cu $b < c$:

1. Dacă $b = 1$ și $c = 2$, atunci $|a| \cdot 1 \cdot 2 = 4 \implies |a| = 2 \implies a = -2$. Obținem $(a, b, c) = (-2, 1, 2)$, de unde: $m = -2 + 4 = 2, \quad n = 1 + 4 = 5, \quad p = 2 + 4 = 6$ Verificare: $2 < 5 < 6$ și $2, 5, 6 \in \mathbb{N}$. Tripletul este $(2, 5, 6)$.
2. Dacă $b = 1$ și $c = 4$, atunci $|a| \cdot 1 \cdot 4 = 4 \implies |a| = 1 \implies a = -1$. Obținem $(a, b, c) = (-1, 1, 4)$, de unde: $m = -1 + 4 = 3, \quad n = 1 + 4 = 5, \quad p = 4 + 4 = 8$ Verificare: $3 < 5 < 8$ și $3, 5, 8 \in \mathbb{N}$. Tripletul este $(3, 5, 8)$.

Așadar, tripletele căutate sunt $(2, 5, 6)$ și $(3, 5, 8)$.

(2 puncte)

a) Calculul derivatei funcției $f$

Funcția $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ ca produs de funcții derivabile. Aplicăm regula derivării produsului:

Derivata radicalului este $(\sqrt{x^2 + 2})' = \frac{(x^2 + 2)'}{2\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$. Obținem:

(3 puncte)

Aducem la numitor comun:

(2 puncte)

b) Determinarea intervalelor de monotonie

Monotonia funcției $f$ este determinată de semnul primei derivate $f'(x)$. Numitorul $\sqrt{x^2 + 2}$ este strict pozitiv pentru orice $x \in \mathbb{R}$, deci semnul lui $f'(x)$ coincide cu semnul numărătorului $2x^2 - 5x + 2$. Rezolvăm ecuația $f'(x) = 0$:

Discriminantul ecuației este $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Rădăcinile sunt:

(2 puncte)

Studiem semnul funcției de gradul al doilea:

• Pentru orice $x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$, $f'(x) \ge 0$, deci funcția $f$ este crescătoare pe intervalul $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$.
• Pentru orice $x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]$, $f'(x) \le 0$, deci funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$.
• Pentru orice $x \in [2, +\infty)$, $f'(x) \ge 0$, deci funcția $f$ este crescătoare pe intervalul $[2, +\infty)$.

(3 puncte)

c) Calculul limitei

Pentru $x > 5$, înlocuim expresia funcției $f(x) = (x - 5)\sqrt{x^2 + 2}$:

Limita devine:

Observăm că $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} = 1$, deci suntem în cazul de nedeterminare $1^\infty$. Rescriem baza:

Atunci:

(3 puncte)

Calculăm limita exponentului:

Cum baza tinde la numărul $e$, obținem:

(2 puncte)

a) Calculul integralei din enunț

Exprimăm integrandul:

Integrala devine:

(3 puncte)

Aplicăm formula Leibniz-Newton:

(2 puncte)

b) Calculul integralei logaritmice

Exprimăm numărătorul:

Integrala devine:

Observăm că $\frac{1}{x} = (\ln x)'$, deci integrala se calculează direct:

(3 puncte)

Calculăm valoarea numerică:

(2 puncte)

c) Demonstrarea inegalității pentru șirul de integrale

Exprimăm numitorul din integrala $I_n$:

Atunci:

Calculăm suma $I_n + I_{n+2}$:

Simplificând factorul comun $1 + \ln^2 x > 0$:

pentru orice număr natural nenul $n$.

(3 puncte)

Pentru orice $x \in [1, e^2]$, funcția logaritm este crescătoare, deci:

Ridicând la puterea $n \ge 1$:

Deoarece $x > 0$, înmulțim cu $x$:

Integrând inegalitatea pe intervalul $[1, e^2]$, obținem:

Inegalitatea este demonstrată pentru orice număr natural nenul $n$.

(2 puncte)