Pasul 1: Determinarea rației progresiei geometrice

Într-o progresie geometrică $(b_n)_{n \geq 1}$ cu termeni nenuli, fiecare termen se obține din precedentul prin înmulțire cu rația $q$:

De aici, deducem rația $q$:

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul primului termen $b_1$

Folosim relația dintre primii doi termeni ai progresiei:

Înlocuind valorile cunoscute:

(2 puncte)

Pasul 1: Exprimarea valorilor funcțiilor în punctul $a$

Calculăm valorile celor două funcții pentru argumentul $a$:

(3 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației $f(a) = g(a)$

Egalăm cele două expresii:

Separăm termenii care îl conțin pe $a$ în membrul stâng și constantele în membrul drept:

Împărțind prin $3$, obținem:

(2 puncte)

Pasul 1: Reducerea termenilor la aceeași bază

Scriem baza $9$ ca putere a lui $3$: $9 = 3^2$. Astfel, ecuația devine:

Aplicând proprietățile puterilor în membrul stâng ($(3^2)^x = 3^{2x}$ și $3^{2x} \cdot 3^3 = 3^{2x+3}$):

(3 puncte)

Pasul 2: Egalarea exponenților și determinarea soluției

Deoarece funcția exponențială $t \mapsto 3^t$ este strict crescătoare, deci injectivă pe $\mathbb{R}$, egalăm exponenții:

Scăzând $x$ și $3$ din ambii membri:

Soluția ecuației este:

(2 puncte)

Pasul 1: Determinarea numărului de cazuri posibile

Numerele naturale de două cifre formează mulțimea $\{10, 11, 12, \dots, 99\}$.
Numărul de cazuri posibile este:

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea numărului de cazuri favorabile

Căutăm numerele de două cifre $n \in \{10, 11, \dots, 99\}$ pentru care $\sqrt{n} = 2k$, unde $k \in \mathbb{N}^*$.
Ridicând la pătrat, $n = (2k)^2 = 4k^2$:

• Pentru $k = 1 \implies \sqrt{n} = 2 \implies n = 4 < 10$ (nu are două cifre).
• Pentru $k = 2 \implies \sqrt{n} = 4 \implies n = 16$ (are două cifre).
• Pentru $k = 3 \implies \sqrt{n} = 6 \implies n = 36$ (are două cifre).
• Pentru $k = 4 \implies \sqrt{n} = 8 \implies n = 64$ (are două cifre).
• Pentru $k = 5 \implies \sqrt{n} = 10 \implies n = 100 > 99$ (are trei cifre).

Așadar, există exact $3$ cazuri favorabile: $n \in \{16, 36, 64\}$.

(2 puncte)

Pasul 3: Calculul probabilității

Formula clasică a probabilității este:

(1 punct)

Pasul 1: Calculul pantei dreptei $OB$

Originea sistemului de axe este $O(0, 0)$, iar punctul $B$ are coordonatele $(6, 2)$. Panta dreptei $OB$ este:

(2 puncte)

Pasul 2: Calculul pantei dreptei $AC$ și condiția de paralelism

Punctele sunt $A(1, 3)$ și $C(4, a)$. Panta dreptei $AC$ este:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă au pantele egale:

Egalând pantele:

(3 puncte)

Pasul 1: Identificarea naturii triunghiului

În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\sphericalangle A = 90^\circ$, ipotenuza este $BC$, iar cateta alăturată unghiului $B$ este $AB$.
Raportul dat este:

Conform definiției cosinusului în triunghiul dreptunghic:

Deoarece unghiul $A = 90^\circ$ și unghiul $B = 45^\circ$, rezultă că unghiul $C = 45^\circ$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel, cu catetele egale:

(3 puncte)

Pasul 2: Folosirea ariei și calculul lungimii catetei $AC$

Aria triunghiului dreptunghic $ABC$ se calculează cu formula:

Înlocuind $AB = AC$ și valoarea ariei:

Deoarece lungimea $AC > 0$, deducem:

(2 puncte)

a) Calculul determinantului matricei $M(0)$

Înlocuim $x = 0$ în expresia matricei $M(x)$:

(2 puncte)

Calculăm determinantul matricei $M(0)$:

Dezvoltând după prima coloană (sau observând că primele două coloane au toate elementele nule):

(3 puncte)

b) Verificarea identității algebrice

Calculăm produsul matricelor $M(x)$ și $M(y)$:

Efectuăm înmulțirea linie cu coloană:

• Linia 1:

  • $c_{11} = 2x(2y) + 3x(-y) + (-3)(0) = 4xy - 3xy = xy$
  • $c_{12} = 2x(3y) + 3x(-2y) + (-3)(0) = 6xy - 6xy = 0$
  • $c_{13} = 2x(-3) + 3x(1) + (-3)(y+1) = -6x + 3x - 3y - 3 = -3x - 3y - 3 = -3(x + y + 1)$

• Linia 2:

  • $c_{21} = (-x)(2y) + (-2x)(-y) + 1(0) = -2xy + 2xy = 0$
  • $c_{22} = (-x)(3y) + (-2x)(-2y) + 1(0) = -3xy + 4xy = xy$
  • $c_{23} = (-x)(-3) + (-2x)(1) + 1(y+1) = 3x - 2x + y + 1 = x + y + 1$

• Linia 3:

  • $c_{31} = 0(2y) + 0(-y) + (x+1)(0) = 0$
  • $c_{32} = 0(3y) + 0(-2y) + (x+1)(0) = 0$
  • $c_{33} = 0(-3) + 0(1) + (x+1)(y+1) = (x+1)(y+1) = xy + x + y + 1$

Astfel, produsul este:

Scăzând matricea $xy I_3$:

(3 puncte)

Dând factor comun scalarul $(x + y + 1)$:

pentru orice numere reale $x$ și $y$.

(2 puncte)

c) Rezolvarea ecuației matriciale

Din relația demonstrată la punctul b):

pentru orice $u, v \in \mathbb{R}$.

Aplicăm această formulă pentru cei doi termeni din membrul stâng:

1. Pentru $u = 1$ și $v = x$:

2. Pentru $u = 2$ și $v = \frac{x}{2}$:

Scăzând cele două expresii:

(3 puncte)

Ecuația devine:

Deoarece matricea $M(0) \neq O_3$ (are elemente nenule, de exemplu $-3$ și $1$), egalitatea are loc dacă și numai dacă coeficientul scalar este nul:

(2 puncte)

a) Calculul direct al compunerii $1 * 3$

Înlocuim $x = 1$ și $y = 3$ în legea de compoziție:

(3 puncte)

Deoarece $1 - 1 = 0$:

(2 puncte)

b) Verificarea elementului neutru $e = \frac{6}{5}$

Un element $e \in \mathbb{R}$ este element neutru al legii „$*$” dacă:

Calculăm $x * \frac{6}{5}$:

(2 puncte)

Deoarece legea este comutativă ($x * y = 5(x - 1)(y - 1) + 1 = 5(y - 1)(x - 1) + 1 = y * x$), avem și:

Prin urmare, $e = \frac{6}{5}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

(3 puncte)

c) Determinarea perechilor $(m, n)$ de numere naturale

Un element $x'$ este simetricul lui $x$ în raport cu legea „$*$” dacă:

Scăzând $1$ din ambii membri:

Împărțind prin $5$:

În cazul nostru, elementul este $x = n$ și simetricul său este $x' = \frac{m}{25}$:

Aducem la numitor comun în a doua paranteză:

(3 puncte)

Deoarece $m, n \in \mathbb{N}$, factorii $n - 1$ și $m - 25$ sunt numere întregi. Produsul a două numere întregi este egal cu $1$ în două cazuri posibile:

• Cazul 1:

  $$\begin{cases} n - 1 = 1 \\ m - 25 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} n = 2 \in \mathbb{N} \\ m = 26 \in \mathbb{N} \end{cases}$$

  Obținem perechea $(m, n) = (26, 2)$.

• Cazul 2:

  $$\begin{cases} n - 1 = -1 \\ m - 25 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} n = 0 \in \mathbb{N} \\ m = 24 \in \mathbb{N} \end{cases}$$

  Obținem perechea $(m, n) = (24, 0)$.

Așadar, perechile căutate de numere naturale sunt:

(2 puncte)

a) Calculul derivatei funcției $f$

Funcția $f$ este derivabilă pe $(0, +\infty)$ ca fiind câtul a două funcții derivabile.
Aplicăm formula de derivare a câtului $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

Calculăm derivata numărătorului $(2x - 2 + \ln x)' = 2 + \frac{1}{x}$:

(3 puncte)

Desfăcând parantezele la numărător:

pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

(2 puncte)

b) Calculul limitei

Calculăm valoarea limitei:

Verificăm cazul de nedeterminare:

Avem cazul de nedeterminare $\left[\frac{0}{0}\right]$. Aplicăm regula lui l’Hospital:

Înlocuim $f'(x) = \frac{3 - \ln x}{x^2}$ și $(\ln x)' = \frac{1}{x}$:

(3 puncte)

Calculând limita direct:

(2 puncte)

(Metodă alternativă): Putem scrie raportul direct:

Cum $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1$, rezultă:

c) Determinarea valorii maxime a parametrului întreg $m$

Pentru a determina pentru ce valori ale lui $m$ ecuația $f(x) = m$ are cel puțin o soluție, determinăm imaginea funcției $\text{Im}(f)$.

1. Punctele critice și semnul derivatei:

• Pentru $x \in (0, e^3]$, $\ln x \leq 3 \implies 3 - \ln x \geq 0 \implies f'(x) \geq 0$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(0, e^3]$.
• Pentru $x \in [e^3, +\infty)$, $\ln x \geq 3 \implies 3 - \ln x \leq 0 \implies f'(x) \leq 0$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $[e^3, +\infty)$.

Așadar, $x = e^3$ este punct de maxim global unic al funcției $f$.

(2 puncte)

2. Limitele la capetele domeniului și valoarea maximă:

• Limita spre $0^+$:

• Limita la $+\infty$:

• Valoarea maximă a funcției:

Deoarece $e > 2 \implies e^3 > 8 \implies 0 < \frac{1}{e^3} < \frac{1}{8} < 1$, deducem:

Fiind continuă pe $(0, +\infty)$, conform proprietății lui Darboux, mulțimea valorilor funcției $f$ este:

Ecuația $f(x) = m$ are cel puțin o soluție dacă și numai dacă $m \in \text{Im}(f)$, adică:

Cum $m \in \mathbb{Z}$ și $2 < 2 + \frac{1}{e^3} < 3$, cel mai mare număr întreg $m$ care satisface inegalitatea este:

(3 puncte)

a) Calculul integralei din $\int_0^2 f(x) e^x \, dx$

Înlocuim expresia funcției $f(x) = \frac{x+4}{e^x}$:

Integrăm termen cu termen:

(3 puncte)

Aplicând formula Leibniz-Newton:

(2 puncte)

b) Integrarea prin părți a funcției $f(x)$

Scriem integrala sub forma:

Aplicăm metoda integrării prin părți $\int u v' \, dx = uv - \int u' v \, dx$, alegând:

Obținem:

(3 puncte)

Calculăm paranteza rămasă:

(2 puncte)

c) Demonstrarea inegalității pentru șirul de integrale

Exprimăm termenul general $I_n$:

Calculăm suma $I_{n+1} + 4I_n$:

Combinând cele două integrale sub aceeași integrală:

pentru orice număr natural nenul $n$.

(2 puncte)

Pentru orice $x \in [0, 1]$, deoarece funcția exponențială $e^x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, avem:

Înmulțind cu $x^n \geq 0$ (pentru $x \in [0, 1]$):

Integrând inegalitatea pe intervalul $[0, 1]$:

Așadar:

pentru orice număr natural nenul $n$.

(3 puncte)