matematicaMate-Info (M1)Anul 2025Sesiunea Iunie (Vară)

Bacalaureat 2025 - Matematică Mate-Info (M1) - Sesiunea Iunie (Vară)

Spațiu Publicitar (Google AdSense)Reclamele vor fi încărcate aici

Examenul Național de Bacalaureat 2025

Proba E. c) Matematică M_mate-info

Sesiunea Iunie (Vară) - Varianta 1

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Notă generală: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Numere Complexe (5p)

Se consideră numerele complexe $z_1 = 1 - i$ și $z_2 = 2 + i$ . Arătați că $2z_1 + iz_2 = 1$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Înlocuirea numerelor complexe în expresie

Înlocuim $z_1 = 1 - i$ și $z_2 = 2 + i$ în expresia din enunț:

2z_1 + iz_2 = 2(1 - i) + i(2 + i)

(2 puncte)

Pasul 2: Desfacerea parantezelor și calculul algebric

Folosim proprietatea unității imaginare $i^2 = -1$ :

2(1 - i) + i(2 + i) = 2 - 2i + 2i + i^2 = 2 - 2i + 2i - 1 = 2 - 1 = 1

Egalitatea este demonstrată.

(3 puncte)

2. Compunerea Funcțiilor (5p)

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x + 3$ . Determinați numărul real $a$ pentru care:

(f \circ f)(a) = 9

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Exprimarea compunerii $(f \circ f)(a)$

Calculăm valoarea funcției în punctul $a$ :

f(a) = a + 3

Compunerea $(f \circ f)(a)$ este:

(f \circ f)(a) = f(f(a)) = f(a + 3) = (a + 3) + 3 = a + 6

(3 puncte)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

Egalăm rezultatul cu valoarea dată în enunț:

a + 6 = 9 \implies a = 9 - 6 = 3

Numărul real căutat este $a = 3$ .

(2 puncte)

3. Ecuație Irațională (5p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

\sqrt{2x^2 - 3x + 2} = x

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Condiția de compatibilitate

Deoarece membrul stâng este un radical de ordin par, valoarea radicalului este $\ge 0$ , deci membrul drept trebuie să fie nenegativ:

x \ge 0

Trinomul de sub radical $2x^2 - 3x + 2$ are discriminantul $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 < 0$ , deci este strict pozitiv pentru orice $x \in \mathbb{R}$ .

Pasul 2: Ridicarea la pătrat și rezolvarea ecuației

Ridicăm ambele părți ale ecuației la pătrat:

2x^2 - 3x + 2 = x^2 \iff x^2 - 3x + 2 = 0

(2 puncte)

Calculăm soluțiile ecuației de gradul al doilea:

(x - 1)(x - 2) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 2

Pasul 3: Verificarea soluțiilor

Ambele valori satisfac condiția $x \ge 0$ :

Pentru $x = 1$ : $\sqrt{2(1)^2 - 3(1) + 2} = \sqrt{1} = 1$ (adevărat).
Pentru $x = 2$ : $\sqrt{2(2)^2 - 3(2) + 2} = \sqrt{8 - 6 + 2} = \sqrt{4} = 2$ (adevărat).

Mulțimea soluțiilor este $S = \{1, 2\}$ .

(3 puncte)

4. Probabilități (5p)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului $2^6$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Determinarea numărului de cazuri posibile

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10, 11, 12, \ldots, 99\}$ . Numărul total de cazuri posibile este:

n_{\text{posibile}} = 99 - 10 + 1 = 90

(2 puncte)

Pasul 2: Determinarea cazurilor favorabile

Numărul dat este $2^6 = 64$ . Divizorii naturali ai numărului 64 sunt puterile lui 2:

\mathcal{D}_{64} = \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64\}

Dintre aceștia, numerele naturale de două cifre sunt $16, 32$ și $64$ . Așadar, numărul cazurilor favorabile este:

n_{\text{favorabile}} = 3

(2 puncte)

Pasul 3: Calculul probabilității

Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile:

p = \frac{n_{\text{favorabile}}}{n_{\text{posibile}}} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}

(1 punct)

5. Geometrie Analitică (5p)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0, 1)$ , $B(5, 0)$ , $C(6, 3)$ și $D(a, b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că segmentele $AC$ și $BD$ au același mijloc.

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Determinarea coordonatelor mijlocului segmentului $AC$

Fie $M$ mijlocul segmentului $AC$ . Coordonatele sale sunt:

x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3

y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2

Deci $M(3, 2)$ .

Pasul 2: Exprimarea coordonatelor mijlocului segmentului $BD$

Fie $M'$ mijlocul segmentului $BD$ . Coordonatele sale sunt:

x_{M'} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{5 + a}{2}

y_{M'} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{0 + b}{2} = \frac{b}{2}

(3 puncte)

Pasul 3: Egalarea coordonatelor și aflarea valorilor $a$ și $b$

Segmentele $AC$ și $BD$ au același mijloc dacă și numai dacă $M = M'$ :

\frac{5 + a}{2} = 3 \implies 5 + a = 6 \implies a = 1

\frac{b}{2} = 2 \implies b = 4

Așadar, numerele reale căutate sunt $a = 1$ și $b = 4$ .

(2 puncte)

6. Trigonometrie (5p)

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 2$ și $\operatorname{tg} B = 3$ . Arătați că $BC = 2\sqrt{10}$ .

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei $AC$

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ , tangenta unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată:

\operatorname{tg} B = \frac{AC}{AB}

Înlocuind valorile cunoscute:

3 = \frac{AC}{2} \implies AC = 3 \cdot 2 = 6

(3 puncte)

Pasul 2: Calculul ipotenuzei $BC$ cu teorema lui Pitagora

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$ :

BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40

De aici deducem lungimea ipotenuzei:

BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}

(2 puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (15p)

Se consideră matricea:

A(x) = \begin{pmatrix} 2 - 3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2 + 3x \end{pmatrix}

unde $x$ este număr real.

a) Arătați că $\det(A(1)) = 8$ . (5p)

b) Arătați că $A(x) \cdot A(y) = 2A(x + y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . (5p)

c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(A(x) + A(3x)) \cdot A(2x) = 4A(x^2)$ . (5p)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul determinantului matricei $A(1)$

Înlocuim $x = 1$ în expresia matricei $A(x)$ :

A(1) = \begin{pmatrix} 2 - 3(1) & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9(1) & 0 & 2 + 3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{pmatrix}

(2 puncte)

Calculăm determinantul matricei dezvoltând după linia a 2-a:

\det(A(1)) = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -9 & 5 \end{vmatrix}

= 2 \cdot [(-1) \cdot 5 - 1 \cdot (-9)] = 2 \cdot (-5 + 9) = 2 \cdot 4 = 8

(3 puncte)

b) Demonstrarea identității multiplicative $A(x) \cdot A(y) = 2A(x + y)$

Calculăm produsul matricelor $A(x)$ și $A(y)$ :

A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 2 - 3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2 + 3x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 - 3y & 0 & y \\ 0 & 2 & 0 \\ -9y & 0 & 2 + 3y \end{pmatrix}

Calculăm elementele matricei produs:

Linia 1, Coloana 1: $(2 - 3x)(2 - 3y) + 0 \cdot 0 + x(-9y) = 4 - 6y - 6x + 9xy - 9xy = 4 - 6(x + y)$
Linia 1, Coloana 2: $(2 - 3x) \cdot 0 + 0 \cdot 2 + x \cdot 0 = 0$
Linia 1, Coloana 3: $(2 - 3x)y + 0 \cdot 0 + x(2 + 3y) = 2y - 3xy + 2x + 3xy = 2(x + y)$
Linia 2, Coloana 1: $0 \cdot (2 - 3y) + 2 \cdot 0 + 0 \cdot (-9y) = 0$
Linia 2, Coloana 2: $0 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 4$
Linia 2, Coloana 3: $0 \cdot y + 2 \cdot 0 + 0 \cdot (2 + 3y) = 0$
Linia 3, Coloana 1: $(-9x)(2 - 3y) + 0 \cdot 0 + (2 + 3x)(-9y) = -18x + 27xy - 18y - 27xy = -18(x + y)$
Linia 3, Coloana 2: $(-9x) \cdot 0 + 0 \cdot 2 + (2 + 3x) \cdot 0 = 0$
Linia 3, Coloana 3: $(-9x)y + 0 \cdot 0 + (2 + 3x)(2 + 3y) = -9xy + 4 + 6y + 6x + 9xy = 4 + 6(x + y)$

Obținem matricea:

A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 4 - 6(x + y) & 0 & 2(x + y) \\ 0 & 4 & 0 \\ -18(x + y) & 0 & 4 + 6(x + y) \end{pmatrix}

(3 puncte)

Dând factor comun scalarul 2:

A(x) \cdot A(y) = 2 \begin{pmatrix} 2 - 3(x + y) & 0 & x + y \\ 0 & 2 & 0 \\ -9(x + y) & 0 & 2 + 3(x + y) \end{pmatrix} = 2A(x + y)

pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

(2 puncte)

c) Rezolvarea ecuației matriceale

Calculăm mai întâi suma $A(x) + A(3x)$ :

A(x) + A(3x) = \begin{pmatrix} 2 - 3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2 + 3x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 - 9x & 0 & 3x \\ 0 & 2 & 0 \\ -27x & 0 & 2 + 9x \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 4 - 12x & 0 & 4x \\ 0 & 4 & 0 \\ -36x & 0 & 4 + 12x \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 - 6x & 0 & 2x \\ 0 & 2 & 0 \\ -18x & 0 & 2 + 6x \end{pmatrix} = 2A(2x)

Folosind relația de la punctul b), calculăm produsul din membrul stâng:

(A(x) + A(3x)) \cdot A(2x) = (2A(2x)) \cdot A(2x) = 2(A(2x) \cdot A(2x))

Conform punctului b), $A(2x) \cdot A(2x) = 2A(2x + 2x) = 2A(4x)$ , prin urmare:

(A(x) + A(3x)) \cdot A(2x) = 2 \cdot 2A(4x) = 4A(4x)

(3 puncte)

Ecuația devine:

4A(4x) = 4A(x^2) \iff A(4x) = A(x^2)

Egalând elementele corespunzătoare:

4x = x^2 \iff x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0

Obținem soluțiile reale:

x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 4

(2 puncte)

2. Polinoame (15p)

Se consideră polinomul $f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6$ , unde $a$ este număr real nenul.

a) Arătați că $f(1) = -3$ , pentru orice număr real nenul $a$ . (5p)

b) Pentru $a = 1$ , determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X^2 + 3X - 1$ . (5p)

c) Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(1 + x_1)(1 + x_2)(1 + x_3) = 1$ , unde $x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . (5p)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul valorii $f(1)$

Înlocuim $X = 1$ în forma algebrică a polinomului $f$ :

f(1) = a \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - a \cdot 1 - 6

(3 puncte)

Efectuăm calculele:

f(1) = a + 3 - a - 6 = 3 - 6 = -3

pentru orice număr real nenul $a$ .

(2 puncte)

b) Împărțirea polinomului pentru $a = 1$

Pentru $a = 1$ , polinomul devine:

f = X^3 + 3X^2 - X - 6

Efectuăm împărțirea polinomului $f$ la $g = X^2 + 3X - 1$ :

Împărțim primul termen $X^3$ la $X^2$ și obținem câtul parțial $X$ .
Înmulțim $X \cdot (X^2 + 3X - 1) = X^3 + 3X^2 - X$ .
Scădem din deîmpărțit: $(X^3 + 3X^2 - X - 6) - (X^3 + 3X^2 - X) = -6$ .

Așadar:

X^3 + 3X^2 - X - 6 = X(X^2 + 3X - 1) - 6

(3 puncte)

Conform teoremei împărțirii cu rest, obținem:

Câtul împărțirii este $q = X$
Restul împărțirii este $r = -6$

(2 puncte)

c) Determinarea parametrului $a$

Fie $x_1, x_2, x_3$ rădăcinile complexe ale polinomului $f$ . Descompunerea în factori a polinomului de gradul al 3-lea este:

f(X) = a(X - x_1)(X - x_2)(X - x_3)

Evaluăm polinomul în $X = -1$ :

f(-1) = a(-1 - x_1)(-1 - x_2)(-1 - x_3) = a \cdot [-(1 + x_1)] \cdot [-(1 + x_2)] \cdot [-(1 + x_3)]

f(-1) = -a(1 + x_1)(1 + x_2)(1 + x_3)

De aici deducem:

(1 + x_1)(1 + x_2)(1 + x_3) = -\frac{f(-1)}{a}

(3 puncte)

Calculăm direct valoarea $f(-1)$ din expresia algebrică a polinomului:

f(-1) = a(-1)^3 + 3(-1)^2 - a(-1) - 6 = -a + 3 + a - 6 = -3

Înlocuind $f(-1) = -3$ , obținem:

(1 + x_1)(1 + x_2)(1 + x_3) = -\frac{-3}{a} = \frac{3}{a}

Egalăm cu 1 din cerință:

\frac{3}{a} = 1 \implies a = 3

Deoarece $a = 3$ este un număr real nenul, soluția este validă.

(2 puncte)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Funcții (15p)

Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + \ln\left(\frac{x}{x + 2}\right)$ .

a) Arătați că $f'(x) = \frac{2(x + 1)^2}{x(x + 2)}$ , $x \in (0, +\infty)$ . (5p)

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ . (5p)

c) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă. (5p)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul derivatei $f'(x)$

Pentru orice $x \in (0, +\infty)$ , rescriem logaritmul raportului ca diferență de logaritmi:

f(x) = 2x + \ln x - \ln(x + 2)

Derivăm termen cu termen:

f'(x) = (2x)' + (\ln x)' - (\ln(x + 2))' = 2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}

(3 puncte)

Aducem la numitor comun:

f'(x) = 2 + \frac{(x + 2) - x}{x(x + 2)} = 2 + \frac{2}{x(x + 2)} = \frac{2x(x + 2) + 2}{x(x + 2)}

= \frac{2(x^2 + 2x + 1)}{x(x + 2)} = \frac{2(x + 1)^2}{x(x + 2)}

pentru orice $x \in (0, +\infty)$ .

(2 puncte)

b) Determinarea ecuației asimptotei oblice spre $+\infty$

Ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ este de forma $y = mx + n$ . Calculăm panta $m$ :

m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{x} \ln\left(\frac{x}{x + 2}\right)\right)

Deoarece $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x + 2} = 1$ , avem $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x}{x + 2}\right) = \ln 1 = 0$ . Cum $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ , deducem:

m = 2 + 0 \cdot 0 = 2

(2 puncte)

Calculăm ordonata la origine $n$ :

n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} \left(2x + \ln\left(\frac{x}{x + 2}\right) - 2x\right)

= \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x}{x + 2}\right) = \ln 1 = 0

Prin urmare, ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ este:

y = 2x

(3 puncte)

c) Demonstrarea bijectivității funcției $f$

Pentru orice $x \in (0, +\infty)$ , avem $x > 0$ , $x + 2 > 0$ și $(x + 1)^2 > 0$ , de unde:

f'(x) = \frac{2(x + 1)^2}{x(x + 2)} > 0, \quad \forall x \in (0, +\infty)

Deoarece derivata este strict pozitivă pe intervalul $(0, +\infty)$ , funcția $f$ este strict crescătoare pe $(0, +\infty)$ , deci $f$ este injectivă.

(2 puncte)

Funcția $f$ este continuă pe $(0, +\infty)$ , fiind compusă din funcții elementare continue. Calculăm limitele la capetele domeniului:

\lim_{x \to 0, x > 0} f(x) = \lim_{x \to 0, x > 0} \left(2x + \ln\frac{x}{x + 2}\right) = 0 + \ln(0^+) = -\infty

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(2x + \ln\frac{x}{x + 2}\right) = +\infty + 0 = +\infty

Deoarece funcția $f$ este continuă și strict crescătoare pe intervalul $(0, +\infty)$ , mulțimea valorilor sale este:

\operatorname{Im} f = \left(\lim_{x \to 0, x > 0} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right) = (-\infty, +\infty) = \mathbb{R}

Cum codomeniul este $\mathbb{R}$ și $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}$ , funcția $f$ este surjectivă. Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, rezultă că funcția $f$ este bijectivă.

(3 puncte)

2. Analiză Matematică - Integrale (15p)

Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \frac{x^2}{(x + 1)^3}$ .

a) Arătați că $\int_0^3 f(x)(x + 1)^3 \, dx = 9$ . (5p)

b) Arătați că $\int_0^1 \sqrt{f(x)(x + 1)} \, dx = 1 - \ln 2$ . (5p)

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $g(x) = \frac{f(e^x)}{e^x}$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = -1$ și $x = 1$ este egală cu $\frac{e - 1}{2(e + 1)}$ . (5p)

📐 Rezolvare Pas cu Pas & Barem Oficial Arată Rezolvarea Pas cu Pas

a) Calculul integralei $\int_0^3 f(x)(x + 1)^3 \, dx$

Înlocuim expresia funcției $f(x)$ sub integrală:

\int_0^3 f(x)(x + 1)^3 \, dx = \int_0^3 \frac{x^2}{(x + 1)^3} \cdot (x + 1)^3 \, dx = \int_0^3 x^2 \, dx

(3 puncte)

Calculăm primitiva și aplicăm formula Leibniz-Newton:

\int_0^3 x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9

(2 puncte)

b) Calculul integralei $\int_0^1 \sqrt{f(x)(x + 1)} \, dx$

Pentru orice $x \in [0, 1]$ , expresia de sub radical devine:

f(x)(x + 1) = \frac{x^2}{(x + 1)^3} \cdot (x + 1) = \frac{x^2}{(x + 1)^2} = \left(\frac{x}{x + 1}\right)^2

Deoarece $x \ge 0$ și $x + 1 > 0$ , radicalul este:

\sqrt{f(x)(x + 1)} = \sqrt{\left(\frac{x}{x + 1}\right)^2} = \frac{x}{x + 1}

Integrala devine:

\int_0^1 \sqrt{f(x)(x + 1)} \, dx = \int_0^1 \frac{x}{x + 1} \, dx = \int_0^1 \frac{x + 1 - 1}{x + 1} \, dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right) \, dx

(3 puncte)

Integrăm termen cu termen:

= \left. (x - \ln(x + 1)) \right|_0^1 = (1 - \ln(1 + 1)) - (0 - \ln(0 + 1)) = 1 - \ln 2 - 0 + \ln 1 = 1 - \ln 2

(2 puncte)

c) Calculul ariei suprafeței plane

Determinăm expresia funcției $g(x)$ :

g(x) = \frac{f(e^x)}{e^x} = \frac{\frac{(e^x)^2}{(e^x + 1)^3}}{e^x} = \frac{e^{2x}}{e^x(e^x + 1)^3} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^3}

Pentru orice $x \in \mathbb{R}$ , $e^x > 0$ , deci $g(x) > 0$ . Aria suprafeței plane este dată de integrala definită:

\mathcal{A} = \int_{-1}^1 |g(x)| \, dx = \int_{-1}^1 \frac{e^x}{(e^x + 1)^3} \, dx

Observăm că numărătorul este derivata bazei numitorului: $(e^x + 1)' = e^x$ . Rescriem integrala sub forma:

\mathcal{A} = \int_{-1}^1 (e^x + 1)'(e^x + 1)^{-3} \, dx = \left. -\frac{1}{2(e^x + 1)^2} \right|_{-1}^1

(3 puncte)

Aplicăm limitele de integrare:

\mathcal{A} = -\frac{1}{2(e^1 + 1)^2} - \left(-\frac{1}{2(e^{-1} + 1)^2}\right) = \frac{1}{2\left(\frac{1}{e} + 1\right)^2} - \frac{1}{2(e + 1)^2}

Aducem la numitor comun primul termen:

\frac{1}{e} + 1 = \frac{e + 1}{e} \implies \left(\frac{1}{e} + 1\right)^2 = \frac{(e + 1)^2}{e^2}

Prin urmare:

\frac{1}{2\left(\frac{1}{e} + 1\right)^2} = \frac{e^2}{2(e + 1)^2}

Scădem cei doi termeni:

\mathcal{A} = \frac{e^2}{2(e + 1)^2} - \frac{1}{2(e + 1)^2} = \frac{e^2 - 1}{2(e + 1)^2}

Descompunem diferența de pătrate de la numărător $e^2 - 1 = (e - 1)(e + 1)$ :

\mathcal{A} = \frac{(e - 1)(e + 1)}{2(e + 1)^2} = \frac{e - 1}{2(e + 1)}

(2 puncte)

Examenul Național de Bacalaureat 2025

Proba E. c) Matematică M_mate-info

Sesiunea Iunie (Vară) - Varianta 1

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Numere Complexe (5p)

Pasul 1: Înlocuirea numerelor complexe în expresie

Pasul 2: Desfacerea parantezelor și calculul algebric

2. Compunerea Funcțiilor (5p)

Pasul 1: Exprimarea compunerii (f∘f)(a)(f \circ f)(a)(f∘f)(a)

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

3. Ecuație Irațională (5p)

Pasul 1: Condiția de compatibilitate

Pasul 2: Ridicarea la pătrat și rezolvarea ecuației

Pasul 3: Verificarea soluțiilor

4. Probabilități (5p)

Pasul 1: Determinarea numărului de cazuri posibile

Pasul 2: Determinarea cazurilor favorabile

Pasul 3: Calculul probabilității

5. Geometrie Analitică (5p)

Pasul 1: Determinarea coordonatelor mijlocului segmentului ACACAC

Pasul 2: Exprimarea coordonatelor mijlocului segmentului BDBDBD

Pasul 3: Egalarea coordonatelor și aflarea valorilor aaa și bbb

6. Trigonometrie (5p)

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei ACACAC

Pasul 2: Calculul ipotenuzei BCBCBC cu teorema lui Pitagora

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Matrice (15p)

a) Calculul determinantului matricei A(1)A(1)A(1)

b) Demonstrarea identității multiplicative A(x)⋅A(y)=2A(x+y)A(x) \cdot A(y) = 2A(x + y)A(x)⋅A(y)=2A(x+y)

c) Rezolvarea ecuației matriceale

2. Polinoame (15p)

a) Calculul valorii f(1)f(1)f(1)

b) Împărțirea polinomului pentru a=1a = 1a=1

c) Determinarea parametrului aaa

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Analiză Matematică - Funcții (15p)

a) Calculul derivatei f′(x)f'(x)f′(x)

b) Determinarea ecuației asimptotei oblice spre +∞+\infty+∞

c) Demonstrarea bijectivității funcției fff

2. Analiză Matematică - Integrale (15p)

a) Calculul integralei ∫03f(x)(x+1)3 dx\int_0^3 f(x)(x + 1)^3 \, dx∫03​f(x)(x+1)3dx

b) Calculul integralei ∫01f(x)(x+1) dx\int_0^1 \sqrt{f(x)(x + 1)} \, dx∫01​f(x)(x+1)​dx

c) Calculul ariei suprafeței plane

Pasul 1: Exprimarea compunerii $(f \circ f)(a)$

Pasul 1: Determinarea coordonatelor mijlocului segmentului $AC$

Pasul 2: Exprimarea coordonatelor mijlocului segmentului $BD$

Pasul 3: Egalarea coordonatelor și aflarea valorilor $a$ și $b$

Pasul 1: Determinarea lungimii catetei $AC$

Pasul 2: Calculul ipotenuzei $BC$ cu teorema lui Pitagora

a) Calculul determinantului matricei $A(1)$

b) Demonstrarea identității multiplicative $A(x) \cdot A(y) = 2A(x + y)$

a) Calculul valorii $f(1)$

b) Împărțirea polinomului pentru $a = 1$

c) Determinarea parametrului $a$

a) Calculul derivatei $f'(x)$

b) Determinarea ecuației asimptotei oblice spre $+\infty$

c) Demonstrarea bijectivității funcției $f$

a) Calculul integralei $\int_0^3 f(x)(x + 1)^3 \, dx$

b) Calculul integralei $\int_0^1 \sqrt{f(x)(x + 1)} \, dx$