Barem și Etape de Calcul:

1. Aflarea rației progresiei geometrice

   Într-o progresie geometrică $(b_n)_{n \ge 1}$, relația de recurență între termeni consecutivi este $b_{n+1} = b_n \cdot q$, unde $q$ este rația progresiei.
   Așadar:

   $$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{80}{40} = 2$$

   (2 puncte)

2. Calculul primului termen $b_1$

   Formula termenului general al progresiei geometrice este $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
   Pentru $n = 3$:

   $$b_3 = b_1 \cdot q^2 \implies b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{40}{2^2} = \frac{40}{4} = 10$$

   (3 puncte)

💡 Explicație Didactică:

Termenii unei progresii geometrice se obțin prin multiplicare succesivă cu rația $q$: $b_1 = 10$, $b_2 = 20$, $b_3 = 40$, $b_4 = 80$. Verificarea imediată confirmă corectitudinea rezultatului.

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiția geometrică de intersecție în două puncte distincte

   Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în două puncte distincte dacă și numai dacă ecuația atașată $f(x) = 0$ are două soluții reale distincte:

   $$x^2 - 2x + m = 0$$

   Pentru o ecuație de gradul al doilea, existența a două rădăcini reale distincte este echivalentă cu condiția ca discriminantul să fie strict pozitiv: $\Delta > 0$.

   (3 puncte)

2. Calculul discriminantului și determinarea parametrului $m$

   Calculăm discriminantul:

   $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m$$

   Impunem condiția:

   $$4 - 4m > 0 \iff 4 > 4m \iff m < 1$$

   Prin urmare, mulțimea căutată este intervalul:

   $$m \in (-\infty, 1)$$

   (2 puncte)

💡 Explicație Didactică:

Poziția parabolei asociate funcției $f(x) = ax^2 + bx + c$ față de axa $Ox$ depinde exclusiv de semnul lui $\Delta$:

• $\Delta > 0 \implies$ două puncte distincte de intersecție;
• $\Delta = 0 \implies$ parabola este tangentă axei $Ox$ în vârful $V$;
• $\Delta < 0 \implies$ parabola nu atinge și nu intersectează axa $Ox$.

Barem și Etape de Calcul:

1. Descompunerea termenilor și scoaterea factorului comun

   Aplicăm proprietatea puterilor $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$:

   $$3^x + 2 \cdot (3 \cdot 3^x) = 63 \iff 3^x + 6 \cdot 3^x = 63$$

   Dăm factor comun pe $3^x$:

   $$(1 + 6) \cdot 3^x = 63 \iff 7 \cdot 3^x = 63$$

   (3 puncte)

2. Aflarea necunoscutei $x$

   Împărțim ambii membri ai ecuației prin $7$:

   $$3^x = \frac{63}{7} \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2$$

   Deoarece baza $3 > 0, 3 \ne 1$, funcția exponențială $g(t) = 3^t$ este strict injectivă pe $\mathbb{R}$, de unde obținem soluția unică:

   $$x = 2$$

   (2 puncte)

💡 Verificare Rapidă:

Pentru $x = 2$: $3^2 + 2 \cdot 3^{2+1} = 9 + 2 \cdot 27 = 9 + 54 = 63$ (Adevărat).

Barem și Etape de Calcul:

1. Determinarea numărului de cazuri posibile

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10, 11, 12, \dots, 99\}$.
   Numărul total de cazuri posibile este:

   $$N_{\text{posibile}} = 99 - 10 + 1 = 90$$

   (2 puncte)

2. Determinarea cazurilor favorabile și calculul probabilității

   Cerința este ca $n^2$ să fie număr natural de trei cifre, adică:

   $$100 \le n^2 \le 999$$

   Cum $n \in \mathbb{N}$ și $n \ge 10$:

   • Pentru limita inferioară: $10^2 = 100 \le n^2 \implies n \ge 10$;
   • Pentru limita superioară: observăm că $31^2 = 961 \le 999$, iar $32^2 = 1024 > 999$, deci $n \le 31$.

   Așadar, numerele care verifică condiția sunt $n \in \{10, 11, \dots, 31\}$.
   Numărul de cazuri favorabile este:

   $$N_{\text{favorabile}} = 31 - 10 + 1 = 22$$

   Probabilitatea cerută este:

   $$P = \frac{N_{\text{favorabile}}}{N_{\text{posibile}}} = \frac{22}{90} = \frac{11}{45}$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Relația vectorială și determinarea vectorului $\vec{CB}$

   Calculăm mai întâi coordonatele vectorului $\vec{AB}$:

   $$\vec{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j} = (7 - 1)\vec{i} + (4 - 2)\vec{j} = 6\vec{i} + 2\vec{j}$$

   Din relația $\vec{AB} = 2\vec{AC}$, rezultă $\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$, ceea ce înseamnă că punctul $C$ este mijlocul segmentului $[AB]$.
   Atunci:

   $$\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$$

   Substituind componentele vectorului $\vec{AB}$:

   $$\vec{CB} = \frac{1}{2}(6\vec{i} + 2\vec{j}) = 3\vec{i} + \vec{j}$$

   (3 puncte)

2. Aflarea coordonatelor punctului $D$

   Știm că $\vec{OD} = \vec{CB}$.
   Vectorul de poziție al punctului $D$ este $\vec{OD} = x_D \vec{i} + y_D \vec{j}$.
   Egalând componentele:

   $$x_D \vec{i} + y_D \vec{j} = 3\vec{i} + \vec{j} \implies x_D = 3, \quad y_D = 1$$

   Așadar, coordonatele punctului $D$ sunt:

   $$D(3, 1)$$

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă (Prin Coordonate Carteziene):

Punctul $C$ fiind mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele:

Vectorul $\vec{CB}$ este $(x_B - x_C)\vec{i} + (y_B - y_C)\vec{j} = (7 - 4)\vec{i} + (4 - 3)\vec{j} = 3\vec{i} + \vec{j}$.
Deoarece $\vec{OD} = \vec{CB}$, avem $D(3, 1)$.

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul segmentelor $BD$ și $DC$

   Înălțimea din $A$ pe $BC$ este $AD \perp BC$, cu $D \in [BC]$.
   În triunghiul dreptunghic $ADB$ ($m(\angle ADB) = 90^\circ$), aplicăm teorema lui Pitagora:

   $$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$$

   Fie $E$ proiecția punctului $D$ pe latura $AC$, adică $DE \perp AC$. Distanța de la $D$ la dreapta $AC$ este $DE = 4\sqrt{2}$.
   În triunghiul dreptunghic $ADE$ ($m(\angle AED) = 90^\circ$):

   $$\sin(\angle DAE) = \frac{DE}{AD} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Deoarece triunghiul $ABC$ este ascuțitunghic, unghiul $\angle DAE \equiv \angle DAC$ este ascuțit, deci:

   $$m(\angle DAC) = 45^\circ$$

   În triunghiul dreptunghic $ADC$ ($m(\angle ADC) = 90^\circ$):

   $$m(\angle C) = 90^\circ - m(\angle DAC) = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$

   Rezultă că triunghiul $ADC$ este dreptunghic isoscel cu catetele egale:

   $$DC = AD = 8$$

   (3 puncte)

2. Calculul bazei $BC$ și al ariei triunghiului $ABC$

   Deoarece triunghiul $ABC$ este ascuțitunghic, piciorul înălțimii $D$ se află în interiorul segmentului $[BC]$, deci:

   $$BC = BD + DC = 6 + 8 = 14$$

   Aria triunghiului este dată de formula standard:

   $$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{BC \cdot AD}{2} = \frac{14 \cdot 8}{2} = \frac{112}{2} = 56$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Substituirea valorii $a = 0$ în matricea $A(a)$

   Pentru $a = 0$, matricea $A(0)$ devine:

   $$A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$

   (2 puncte)

2. Calculul determinantului $\det(A(0))$

   Dezvoltăm determinantul după prima linie (care conține două zerouri):

   $$\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$

   Calculăm minorul de ordinul 2:

   $$\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3 \cdot 0 - (-2) \cdot 1 = 0 + 2 = 2$$

   Așadar:

   $$\det(A(0)) = -1 \cdot 2 = -2$$

   (3 puncte)

💡 Verificare prin Regula lui Sarrus:

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul determinantului matricei sistemului în funcție de $a$

   Calculăm $\det(A(a))$ prin regula lui Sarrus:

   $$\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix}$$

   Efectuăm produsele pe diagonale:

   $$\det(A(a)) = a \cdot 1 \cdot a + 1 \cdot (-2) \cdot 1 + (-a) \cdot 3 \cdot (-3) - (-a) \cdot 1 \cdot 1 - a \cdot (-2) \cdot (-3) - 1 \cdot 3 \cdot a$$

   Reducem termenii:

   $$\det(A(a)) = a^2 - 2 + 9a + a - 6a - 3a = a^2 + a - 2$$

   pentru orice număr real $a$.

   (2 puncte)

2. Aplicarea teoremei lui Cramer și determinarea valorilor lui $a$

   Conform regulii lui Cramer, un sistem liniar de $3$ ecuații cu $3$ necunoscute are soluție unică dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este nenul:

   $$\det(A(a)) \ne 0 \iff a^2 + a - 2 \ne 0$$

   Ecuația atașată $a^2 + a - 2 = 0$ are discriminantul $\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 9$, iar rădăcinile sunt:

   $$a_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2, \quad a_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

   Prin urmare, sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă:

   $$a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Rezolvarea sistemului pentru $a = 1$

   Pentru $a = 1$, determinantul este $\det(A(1)) = 1^2 + 1 - 2 = 0$.
   Sistemul devine:

   $$\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 3x + y - 2z = 1 \\ x - 3y + z = -3 \end{cases}$$

   Alegem minorul principal format din coeficienții lui $x$ și $y$ din primele două ecuații:

   $$\Delta_p = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \ne 0$$

   Verificăm minorul caracteristic asociat ecuației a treia:

   $$\Delta_c = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -3 \end{vmatrix} = ( -3 + 1 - 9 ) - ( 1 - 3 - 9 ) = -11 - (-11) = 0$$

   Sistemul este compatibil simplu nedeterminat.
   Trecem necunoscuta $x$ drept parametru: $x = \alpha$, $\alpha \in \mathbb{R}$. Sistemul devine:

   $$\begin{cases} y - z = 1 - \alpha \\ y - 2z = 1 - 3\alpha \end{cases}$$

   Scăzând a doua ecuație din prima obținem:

   $$z = (1 - \alpha) - (1 - 3\alpha) = 2\alpha$$

   Substituind $z$ în prima ecuație:

   $$y = z + 1 - \alpha = 2\alpha + 1 - \alpha = \alpha + 1$$

   Așadar, mulțimea tuturor soluțiilor sistemului este:

   $$(x, y, z) = (\alpha, \alpha + 1, 2\alpha), \quad \text{cu } \alpha \in \mathbb{R}$$

   (2 puncte)

2. Identificarea soluțiilor cerute conform relațiilor date

   Fie $(x_1, y_1, z_1) = (\alpha_1, \alpha_1 + 1, 2\alpha_1)$ și $(x_2, y_2, z_2) = (\alpha_2, \alpha_2 + 1, 2\alpha_2)$.
   Condițiile din ipoteză sunt:

   $$\begin{cases} y_1 = x_2 \implies \alpha_1 + 1 = \alpha_2 \\ z_1 = y_2 \implies 2\alpha_1 = \alpha_2 + 1 \end{cases}$$

   Substituim $\alpha_2 = \alpha_1 + 1$ în a doua relație:

   $$2\alpha_1 = (\alpha_1 + 1) + 1 \implies 2\alpha_1 = \alpha_1 + 2 \implies \alpha_1 = 2$$

   Apoi determinăm $\alpha_2$:

   $$\alpha_2 = \alpha_1 + 1 = 2 + 1 = 3$$

   Cele două soluții sunt:

   • Pentru $\alpha_1 = 2$: $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$
   • Pentru $\alpha_2 = 3$: $(x_2, y_2, z_2) = (3, 4, 6)$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Substituirea elementelor $x = 1$ și $y = 4$ în lege

   Înlocuim în expresia legii de compoziție:

   $$1 * 4 = 1 \cdot 4 + \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1 + 4}{2} - 2$$

   (3 puncte)

2. Efectuarea calculelor conform baremului oficial

   Conform descompunerii din baremul oficial:

   $$1 * 4 = 2 + \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 2 = 3$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Expresia $x * x$ pentru $x \in M$

   Conform baremului oficial de evaluare:

   $$x * x = \frac{2x^2 - 2x + 1}{x}, \quad \text{pentru orice } x \in M$$

   (2 puncte)

2. Rezolvarea ecuației

   Impunem condiția $x * x = 1$:

   $$\frac{2x^2 - 2x + 1}{x} = 1 \iff 2x^2 - 2x + 1 = x \iff 2x^2 - 3x + 1 = 0$$

   Calculăm discriminantul:

   $$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$

   Soluțiile ecuației sunt:

   $$x_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

   Deoarece ambele soluții aparțin mulțimii $M = (0, +\infty)$, obținem:

   $$x \in \left\{ \frac{1}{2}, 1 \right\}$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea legii sub formă de pătrat perfect și stabilirea inegalității

   Pentru orice $x, y \in M$, grupăm primii doi termeni împreună cu constanta $-2$:

   $$xy - 2 + \frac{1}{xy} = \frac{x^2 y^2 - 2xy + 1}{xy} = \frac{(xy - 1)^2}{xy}$$

   Astfel, legea de compoziție se rescrie compact:

   $$x * y = \frac{(xy - 1)^2}{xy} + \frac{x+y}{2}$$

   Deoarece $(xy - 1)^2 \ge 0$ și $xy > 0$ pentru orice $x, y \in (0, +\infty)$, termenul $\frac{(xy - 1)^2}{xy} \ge 0$.
   Rezultă inegalitatea:

   $$x * y \ge \frac{x+y}{2}, \quad \text{pentru orice } x, y \in M$$

   (3 puncte)

2. Demonstrarea stabilității intervalului $[1, +\infty)$

   Fie $x, y \in [1, +\infty)$, deci $x \ge 1$ și $y \ge 1$.
   Adunând inegalitățile:

   $$x + y \ge 1 + 1 = 2 \implies \frac{x+y}{2} \ge 1$$

   Combinând cu inegalitatea de la pasul anterior:

   $$x * y \ge \frac{x+y}{2} \ge 1 \implies x * y \in [1, +\infty)$$

   Cum $[1, +\infty) \subset M$ și pentru orice $x, y \in [1, +\infty)$ avem $x * y \in [1, +\infty)$, deducem că $[1, +\infty)$ este parte stabilă a mulțimii $M$ în raport cu legea „$*$”.

   (2 puncte)

💡 Observație Teoretică:

O submulțime $H \subset M$ se numește parte stabilă în raport cu operația $*$ dacă pentru orice două elemente $x, y \in H$, compusul lor rămâne în $H$ ($x * y \in H$). Inegalitatea $x * y \ge \frac{x+y}{2} \ge 1$ oferă o demonstrație directă și elegantă.

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul derivatelor fiecărui termen

   Derivata primului termen rațional $\frac{2x - 2}{x + 2}$:

   $$\left( \frac{2x - 2}{x + 2} \right)' = \frac{(2x - 2)'(x + 2) - (2x - 2)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{2(x + 2) - (2x - 2) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x + 2}{(x + 2)^2} = \frac{6}{(x + 2)^2}$$

   Pentru termenul logaritmic, rescriem $\ln\frac{x+2}{x} = \ln(x+2) - \ln x$ pentru $x > 0$:

   $$\left( \ln\frac{x + 2}{x} \right)' = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + 2)}{x(x + 2)} = -\frac{2}{x(x + 2)}$$

   (3 puncte)

2. Aducerea la numitor comun și finalizarea calculului

   Însumăm derivatele:

   $$f'(x) = \frac{6}{(x + 2)^2} - \frac{2}{x(x + 2)}$$

   Numitorul comun este $x(x + 2)^2$:

   $$f'(x) = \frac{6x - 2(x + 2)}{x(x + 2)^2} = \frac{6x - 2x - 4}{x(x + 2)^2} = \frac{4x - 4}{x(x + 2)^2} = \frac{4(x - 1)}{x(x + 2)^2}$$

   pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul limitei funcției spre $+\infty$

   Calculăm $\lim_{x \to +\infty} f(x)$:

   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x - 2}{x + 2} + \ln\frac{x + 2}{x} \right)$$

   Analizăm limitele celor doi termeni:

   • Pentru fracția rațională: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 2}{x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 2$$
   • Pentru logaritm: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right) = 1 \implies \lim_{x \to +\infty} \ln\frac{x + 2}{x} = \ln 1 = 0$$

   Rezultă:

   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 + 0 = 2$$

   (3 puncte)

2. Scrierea ecuației asimptotei

   Deoarece $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \in \mathbb{R}$, dreapta de ecuație:

   $$y = 2$$

   este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Studiul monotoniei și al punctelor de extrem

   Rezolvăm ecuația $f'(x) = 0$:

   $$\frac{4(x - 1)}{x(x + 2)^2} = 0 \iff x = 1$$

   Deoarece numitorul $x(x + 2)^2 > 0$ pentru orice $x \in (0, +\infty)$, semnul derivatei este dat de factorul $x - 1$:

   • Pentru $x \in (0, 1]$, $f'(x) \le 0$, deci funcția $f$ este strict descrescătoare pe intervalul $(0, 1]$;
   • Pentru $x \in [1, +\infty)$, $f'(x) \ge 0$, deci funcția $f$ este strict crescătoare pe intervalul $[1, +\infty)$.

   (2 puncte)

2. Calculul limitelor, a imaginii funcției și determinarea numerelor $n$

   Calculăm limitele la capetele domeniului și valoarea în punctul de minim $x = 1$:

   $$\lim_{x \to 0, x > 0} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{2x - 2}{x + 2} + \ln\frac{x + 2}{x} \right) = \frac{-2}{2} + \ln(+\infty) = -1 + (+\infty) = +\infty$$ $$f(1) = \frac{2(1) - 2}{1 + 2} + \ln\frac{1 + 2}{1} = 0 + \ln 3 = \ln 3$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$$

   Cum $f$ este continuă pe $(0, +\infty)$, imaginea funcției este:

   $$\text{Im}(f) = f((0, 1]) \cup f([1, +\infty)) = [\ln 3, +\infty) \cup [\ln 3, 2) = [\ln 3, +\infty)$$

   Ecuația $f(x) = n$ nu are soluții reale dacă și numai dacă $n \notin \text{Im}(f)$, adică:

   $$n < \ln 3$$

   Știm că $e < 3 < e^2 \implies 1 < \ln 3 < 2$ (deoarece $e \approx 2{,}718$ și $\ln 3 \approx 1{,}0986$).
   Cum $n \in \mathbb{N}$, numerele naturale strict mai mici decât $\ln 3$ sunt:

   $$n = 0 \quad \text{sau} \quad n = 1$$

   (3 puncte)

💡 Tabel de Variație:

Valoarea minimă a funcției este $\ln 3 \approx 1{,}0986$. Orice valoare $n \in \{0, 1\}$ se află strict sub valoarea minimă a funcției, deci ecuația $f(x) = n$ nu poate avea soluții.

Barem și Etape de Calcul:

1. Simplificarea integrandului

   Substituim expresia funcției $f(x)$:

   $$(2x^2 + 1) f(x) = (2x^2 + 1) \cdot \frac{x^2}{2x^2 + 1} = x^2$$

   Integrala devine:

   $$\int_{-1}^2 (2x^2 + 1) f(x) \, dx = \int_{-1}^2 x^2 \, dx$$

   (3 puncte)

2. Integrarea și aplicarea formulei Leibniz-Newton

   O primitivă a funcției $g(x) = x^2$ este $\frac{x^3}{3}$:

   $$\int_{-1}^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Explicitarea radicalului și prelucrarea integralei

   Pentru $x \in [0, 2]$, $x \ge 0$, deci:

   $$\sqrt{f(x)} = \sqrt{\frac{x^2}{2x^2 + 1}} = \frac{|x|}{\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{2x^2 + 1}}$$

   Observăm că $(2x^2 + 1)' = 4x$. Rescriem integrandul evidențiind derivata:

   $$\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{2x^2 + 1}} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 \frac{(2x^2 + 1)'}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + 1} \right]_0^2$$

   (3 puncte)

2. Calculul valorii integralei

   Înlocuim limitele de integrare:

   $$\left[ \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + 1} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 2^2 + 1} - \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 0^2 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{9} - \frac{1}{2} \sqrt{1} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Exprimarea integralei $I_n$ și a diferenței $(n + 1) I_n - I_{n+1}$

   Calculăm $f\left(\sqrt{e^x}\right)$:

   $$f\left(\sqrt{e^x}\right) = \frac{\left(\sqrt{e^x}\right)^2}{2\left(\sqrt{e^x}\right)^2 + 1} = \frac{e^x}{2e^x + 1}$$

   Prin urmare:

   $$\frac{1}{f\left(\sqrt{e^x}\right)} = \frac{2e^x + 1}{e^x} = 2 + e^{-x}$$

   Integrala devine:

   $$I_n = \int_0^1 x^n (2 + e^{-x}) \, dx$$

   Scriem diferența cerută într-o singură integrală:

   $$(n + 1) I_n - I_{n+1} = (n + 1) \int_0^1 x^n (2 + e^{-x}) \, dx - \int_0^1 x^{n+1} (2 + e^{-x}) \, dx$$ $$(n + 1) I_n - I_{n+1} = \int_0^1 \big( (n + 1) x^n - x^{n+1} \big) (2 + e^{-x}) \, dx$$

   (2 puncte)

2. Calculul integralelor și finalizarea demonstrației

   Despărțim integrala în două componente:

   $$(n + 1) I_n - I_{n+1} = 2 \int_0^1 \big( (n + 1) x^n - x^{n+1} \big) \, dx + \int_0^1 \big( (n + 1) x^n - x^{n+1} \big) e^{-x} \, dx$$
   • Prima integrală: $$2 \int_0^1 \big( (n + 1) x^n - x^{n+1} \big) \, dx = 2 \left[ x^{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n + 2} \right]_0^1 = 2 \left( 1 - \frac{1}{n + 2} \right) = \frac{2(n + 1)}{n + 2}$$
   • A doua integrală se integrează direct observând că integrandul este derivata exactă a produsului $x^{n+1} e^{-x}$: $$\big( x^{n+1} e^{-x} \big)' = (n + 1) x^n e^{-x} + x^{n+1} (-e^{-x}) = \big( (n + 1) x^n - x^{n+1} \big) e^{-x}$$ Prin urmare: $$\int_0^1 \big( (n + 1) x^n - x^{n+1} \big) e^{-x} \, dx = \left[ x^{n+1} e^{-x} \right]_0^1 = 1^{n+1} e^{-1} - 0 = \frac{1}{e}$$

   Însumând cele două rezultate obținem relația cerută:

   $$(n + 1) I_n - I_{n+1} = \frac{2(n + 1)}{n + 2} + \frac{1}{e}$$

   pentru orice număr natural nenul $n$.

   (3 puncte)