Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul produsului $i \cdot z_1$ și substituirea numerelor complexe

   Înlocuim $z_1 = 4 + i$ și $z_2 = 2 - 4i$:

   $$i \cdot z_1 + z_2 = i(4 + i) + (2 - 4i)$$

   Distribuim factorul $i$, ținând cont că $i^2 = -1$:

   $$i(4 + i) = 4i + i^2 = 4i - 1$$

   (3 puncte)

2. Efectuarea sumei și reducerea părților reale și imaginare

   Adunăm termenii:

   $$i \cdot z_1 + z_2 = (4i - 1) + (2 - 4i) = (-1 + 2) + (4i - 4i) = 1$$

   (2 puncte)

💡 Explicație Didactică:

Numerele complexe se adună grupând separat părțile reale și părțile imaginare: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$. La înmulțirea cu unitatea imaginară $i$, se utilizează mereu identitatea fundamentală $i^2 = -1$.

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiția de apartenență a punctului la grafic

   Punctul $A(a, 5)$ aparține graficului funcției $f$ dacă și numai dacă:

   $$f(a) = 5$$

   Înlocuim în expresia funcției:

   $$a^2 - 3a + 5 = 5 \iff a^2 - 3a = 0$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea

   Dăm factor comun pe $a$:

   $$a(a - 3) = 0 \implies a = 0 \quad \text{sau} \quad a = 3$$

   Ambele soluții sunt numere reale, așadar $a \in \{0, 3\}$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Condiții de existență și schimbarea bazei logaritmului

   Stabilim condițiile de existență:

   • Pentru $\log_6(7x - 5)$: $7x - 5 > 0 \implies x > \frac{5}{7}$.
   • Pentru $\log_6(x + 1)$: $x + 1 > 0 \implies x > -1$.
   • Pentru $\log_x 6$: baza trebuie să fie strict pozitivă și diferită de $1$, adică $x > 0$ și $x \neq 1$.

   Domeniul admisibil este intersecția acestor condiții: $x \in \left(\frac{5}{7}, 1\right) \cup (1, +\infty)$.

   Utilizăm formula de schimbare a bazei $\frac{1}{\log_x 6} = \log_6 x$. Ecuația devine:

   $$\log_6(7x - 5) = \log_6(x + 1) + \log_6 x$$

   Aplicăm proprietatea sumei logaritmilor $\log_6(x + 1) + \log_6 x = \log_6\big(x(x + 1)\big) = \log_6(x^2 + x)$.

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației algebrice și verificarea condițiilor

   Datorită injectivității funcției logaritmice cu baza $6 > 1$, egalăm argumentele:

   $$7x - 5 = x^2 + x \iff x^2 - 6x + 5 = 0$$

   Rezolvăm ecuația de gradul II:

   $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$ $$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$
   • $x = 1$ nu convine (baza $\log_x 6$ nu poate fi egală cu $1$).
   • $x = 5$ convine, deoarece $5 \in \left(\frac{5}{7}, 1\right) \cup (1, +\infty)$.

   Așadar, soluția unică a ecuației este $x = 5$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Determinarea numărului de cazuri posibile

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10, 11, 12, \dots, 99\}$.
   Numărul de cazuri posibile este:

   $$n_{\text{posibile}} = 99 - 10 + 1 = 90$$

   (2 puncte)

2. Determinarea numărului de cazuri favorabile și calculul probabilității

   Un număr de două cifre este multiplu al lui $9$ dacă are forma $9k$, cu $k \in \mathbb{N}$.
   Deoarece $10 \leq 9k \leq 99$, rezultă $k \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.

   Pentru ca numărul să fie multiplu impar al lui $9$, factorul $k$ trebuie să fie număr impar:

   $$k \in \{3, 5, 7, 9, 11\}$$

   Numerele corespunzătoare sunt:

   $$9 \cdot 3 = 27, \quad 9 \cdot 5 = 45, \quad 9 \cdot 7 = 63, \quad 9 \cdot 9 = 81, \quad 9 \cdot 11 = 99$$

   Deci avem $n_{\text{favorabile}} = 5$ cazuri favorabile.

   Probabilitatea cerută este:

   $$P = \frac{n_{\text{favorabile}}}{n_{\text{posibile}}} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul pantei dreptei $OB$

   Originea reperului este $O(0, 0)$, iar $B(2, 4)$. Panta dreptei $OB$ este:

   $$m_{OB} = \frac{y_B - y_O}{x_B - x_O} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$$

   (2 puncte)

2. Calculul pantei dreptei $AC$ și egalarea pantelor

   Punctele sunt $A(2, 0)$ și $C(5, a)$. Panta dreptei $AC$ este:

   $$m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{a - 0}{5 - 2} = \frac{a}{3}$$

   Două drepte neverticale sunt paralele dacă și numai dacă au pantele egale:

   $$m_{AC} = m_{OB} \iff \frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$$

   (3 puncte)

💡 Metodă Alternativă (Vectorială):

Vectorii directori sunt $\vec{OB} = 2\vec{i} + 4\vec{j}$ și $\vec{AC} = (5 - 2)\vec{i} + (a - 0)\vec{j} = 3\vec{i} + a\vec{j}$.
Dreptele sunt paralele dacă și numai dacă vectorii sunt coliniari: $\frac{3}{2} = \frac{a}{4} \implies a = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$.

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul valorii $\sin B$

   Deoarece unghiul $B$ este unghi al unui triunghi, avem $B \in (0, \pi)$, deci $\sin B > 0$.
   Folosind formula fundamentală a trigonometriei:

   $$\sin^2 B + \cos^2 B = 1 \implies \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

   (3 puncte)

2. Calculul ariei triunghiului $ABC$

   Aria triunghiului este dată de formula cu două laturi și sinusul unghiului dintre ele:

   $$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot BC \cdot \sin B}{2} = \frac{6 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5}}{2} = \frac{60 \cdot \frac{3}{5}}{2} = \frac{36}{2} = 18$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea determinantului și aplicarea regulii de calcul

   Scriem determinantul matricei $A$:

   $$\det A = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

   Aplicăm regula lui Sarrus (sau regula triunghiului):

   $$\det A = 0 \cdot 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - (-1) \cdot 0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \cdot 0$$

   (3 puncte)

2. Finalizarea calculului

   $$\det A = 0 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1$$

   (2 puncte)

💡 Metodă Alternativă (Dezvoltare după prima linie):

Dezvoltăm determinantul după prima linie:

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul produsului $B(x) \cdot A$

   Efectuăm înmulțirea matricelor $B(x)$ și $A$:

   $$B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ -x & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

   Calculăm fiecare element linie cu coloană:

   • Linia 1:
     • $c_{11} = 1 \cdot 0 + x \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -x$
     • $c_{12} = 1 \cdot 0 + x \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 0$
     • $c_{13} = 1 \cdot 1 + x \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$
   • Linia 2:
     • $c_{21} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + x \cdot 0 = -1$
     • $c_{22} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + x \cdot (-1) = -x$
     • $c_{23} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + x \cdot 0 = 0$
   • Linia 3:
     • $c_{31} = (-x) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 0$
     • $c_{32} = (-x) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = -1$
     • $c_{33} = (-x) \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = -x$

   Așadar:

   $$B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} -x & 0 & 1 \\ -1 & -x & 0 \\ 0 & -1 & -x \end{pmatrix}$$

   (3 puncte)

2. Scăderea $A - B(x) \cdot A$ și obținerea matricei scalare

   $$A - B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -x & 0 & 1 \\ -1 & -x & 0 \\ 0 & -1 & -x \end{pmatrix}$$ $$A - B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 0 - (-x) & 0 - 0 & 1 - 1 \\ -1 - (-1) & 0 - (-x) & 0 - 0 \\ 0 - 0 & -1 - (-1) & 0 - (-x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = x I_3$$

   Relația este adevărată pentru orice număr real $x$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Aflarea inversei matricei $A$ și determinarea matricei $C(x)$

   Cum $\det A = 1 \neq 0$, matricea $A$ este inversabilă. Înmulțind ecuația $A \cdot C(x) = B(x)$ la stânga cu $A^{-1}$, obținem:

   $$C(x) = A^{-1} \cdot B(x)$$

   Calculăm inversa matricei $A$. Observăm că:

   $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3$$

   Deoarece $A \cdot A^2 = I_3$, rezultă $A^{-1} = A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

   Calculăm $C(x) = A^{-1} \cdot B(x)$:

   $$C(x) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ -x & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -x \\ x & 0 & -1 \\ 1 & x & 0 \end{pmatrix}$$

   (3 puncte)

2. Calculul diferenței $C(x) - C(y)$ și identificarea relației

   Pentru $x, y \in \mathbb{R}$, avem:

   $$C(x) - C(y) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -x \\ x & 0 & -1 \\ 1 & x & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 & -y \\ y & 0 & -1 \\ 1 & y & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -(x - y) \\ x - y & 0 & 0 \\ 0 & x - y & 0 \end{pmatrix}$$

   Scriem expresiile în funcție de factorul comun $(y - x)$:

   • $-(x - y) = y - x = (y - x) \cdot 1$
   • $x - y = -(y - x) = (y - x) \cdot (-1)$

   Astfel:

   $$C(x) - C(y) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & y - x \\ -(y - x) & 0 & 0 \\ 0 & -(y - x) & 0 \end{pmatrix} = (y - x) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = (y - x) A$$

   relație valabilă pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Înlocuirea valorilor în legea de compoziție

   Pentru $x = 1$ și $y = 3$:

   $$1 * 3 = 1^2 \cdot 3 + 1 \cdot 3^2 + 1 + 3$$

   (3 puncte)

2. Efectuarea calculelor numerice

   $$1 * 3 = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 9 + 1 + 3 = 3 + 9 + 4 = 16$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul expresiei $\frac{2}{x} * x$

   Observăm că legea se poate rescrie prin factorizare:

   $$x * y = xy(x + y) + (x + y) = (x + y)(xy + 1)$$

   Calculăm compoziția pentru $\frac{2}{x}$ și $x$ ($x \neq 0$):

   $$\frac{2}{x} * x = \left(\frac{2}{x} + x\right)\left(\frac{2}{x} \cdot x + 1\right) = \left(\frac{2}{x} + x\right)(2 + 1) = 3\left(\frac{2}{x} + x\right) = 3x + \frac{6}{x}$$

   (3 puncte)

2. Rezolvarea ecuației algebrice

   Egalăm expresia cu $9$:

   $$3x + \frac{6}{x} = 9$$

   Împărțim prin $3$:

   $$x + \frac{2}{x} = 3 \iff x^2 - 3x + 2 = 0$$

   Rezolvăm ecuația de gradul II:

   $$(x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 1 \quad \text{sau} \quad x = 2$$

   Ambele soluții sunt numere reale nenule ($x \neq 0$), așadar soluțiile sunt $x \in \{1, 2\}$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Scrierea legii sub formă de produs

   Factorizăm legea de compoziție pentru orice $m, n \in \mathbb{Z}$:

   $$m * n = m^2 n + mn^2 + m + n = mn(m + n) + (m + n) = (m + n)(mn + 1)$$

   (2 puncte)

2. Analiza divizorilor întregi ai lui $1$ și determinarea perechilor

   Cum $m, n \in \mathbb{Z}$, rezultă că factorii $m + n$ și $mn + 1$ sunt numere întregi.
   Singurele descompuneri ale lui $1$ ca produs de doi factori întregi sunt $1 \cdot 1 = 1$ și $(-1) \cdot (-1) = 1$. Avem așadar două cazuri:

   • Cazul 1: $\begin{cases} m + n = 1 \\ mn + 1 = 1 \end{cases} \implies mn = 0$.

     • Dacă $m = 0$, atunci $0 + n = 1 \implies n = 1$. Cum $m \leq n$ ($0 \leq 1$), obținem perechea $(0, 1)$.
     • Dacă $n = 0$, atunci $m + 0 = 1 \implies m = 1$, dar condiția $m \leq n$ devine $1 \leq 0$ (fals).

   • Cazul 2: $\begin{cases} m + n = -1 \\ mn + 1 = -1 \end{cases} \implies mn = -2$.

     • Numerele $m$ și $n$ au suma $-1$ și produsul $-2$, deci sunt soluțiile ecuației $t^2 - St + P = 0 \iff t^2 + t - 2 = 0$.
     • Rădăcinile ecuației sunt $t_1 = -2$ și $t_2 = 1$.
     • Deoarece se cere $m \leq n$, alegem $m = -2$ și $n = 1$, obținând perechea $(-2, 1)$.

   În concluzie, perechile de numere întregi care satisfac cerința sunt $(0, 1)$ și $(-2, 1)$.

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Aplicarea regulii de derivare a raportului

   Funcția $f$ este derivabilă pe $(0, +\infty)$ ca raport de funcții derivabile. Aplicăm formula $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

   $$f'(x) = \left(\frac{\ln x}{x^3}\right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x^3 - \ln x \cdot (x^3)'}{(x^3)^2}$$

   Calculăm derivatele componentelor: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ și $(x^3)' = 3x^2$:

   $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - 3x^2 \ln x}{x^6}$$

   (3 puncte)

2. Simplificarea fracției

   $$f'(x) = \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6} = \frac{x^2(1 - 3\ln x)}{x^6} = \frac{1 - 3\ln x}{x^4}$$

   pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Calculul limitei la $+\infty$

   Calculăm limita:

   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3}$$

   Avem o nedeterminare de tipul $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Aplicăm regula lui l’Hôpital:

   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x^3)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{3x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3x^3} = 0$$

   (3 puncte)

2. Scrierea ecuației asimptotei orizontale

   Deoarece $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, dreapta de ecuație $y = 0$ (axa $Ox$) este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Studiul monotoniei și determinarea punctelor de extrem

   Rezolvăm ecuația $f'(x) = 0$:

   $$\frac{1 - 3\ln x}{x^4} = 0 \iff 1 - 3\ln x = 0 \iff \ln x = \frac{1}{3} \iff x = e^{1/3} = \sqrt[3]{e}$$

   Studiem semnul derivatei $f'(x)$ pe $(0, +\infty)$:

   • Pentru $x \in (0, \sqrt[3]{e}]$, $1 - 3\ln x \geq 0 \implies f'(x) \geq 0$, deci funcția $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(0, \sqrt[3]{e}]$.
   • Pentru $x \in [\sqrt[3]{e}, +\infty)$, $1 - 3\ln x \leq 0 \implies f'(x) \leq 0$, deci funcția $f$ este strict descrescătoare pe intervalul $[\sqrt[3]{e}, +\infty)$.

   Rezultă că $x = \sqrt[3]{e}$ este punct de maxim absolut al funcției $f$, cu valoarea maximă:

   $$f(\sqrt[3]{e}) = \frac{\ln(e^{1/3})}{(e^{1/3})^3} = \frac{\frac{1}{3}}{e} = \frac{1}{3e}$$

   (2 puncte)

2. Determinarea imaginii funcției $f$

   Calculăm limitele la capetele domeniului:

   • În originea domeniului: $\lim_{x \searrow 0} f(x) = \lim_{x \searrow 0} \frac{\ln x}{x^3} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$.
   • La $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

   Funcția $f$ este continuă pe $(0, +\infty)$, deci conform proprietății lui Darboux imaginea sa este intervalul:

   $$\text{Im}(f) = \left(-\infty, f(\sqrt[3]{e})\right] = \left(-\infty, \frac{1}{3e}\right]$$

   Ecuația $f(x) = m$ are cel puțin o soluție dacă și numai dacă $m \in \text{Im}(f)$, prin urmare mulțimea căutată este:

   $$m \in \left(-\infty, \frac{1}{3e}\right]$$

   (3 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Substituirea expresiei funcției și determinarea primitivei

   Avem $f(x) - e^x = (e^x + x^2 - 1) - e^x = x^2 - 1$.
   Integrala devine:

   $$\int_1^4 \big(f(x) - e^x\big) \, dx = \int_1^4 (x^2 - 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} - x \right) \Bigg|_1^4$$

   (3 puncte)

2. Aplicarea formulei Leibniz-Newton și efectuarea calculului numeric

   $$\left( \frac{4^3}{3} - 4 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1 \right) = \left( \frac{64}{3} - 4 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \left( \frac{64 - 1}{3} \right) - (4 - 1) = \frac{63}{3} - 3 = 21 - 3 = 18$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Simplificarea numitorului și identificarea derivatei

   Calculăm numitorul:

   $$f(x) - x^2 = (e^x + x^2 - 1) - x^2 = e^x - 1$$

   Integrala devine:

   $$\int_1^2 \frac{e^x}{f(x) - x^2} \, dx = \int_1^2 \frac{e^x}{e^x - 1} \, dx$$

   Observăm că numărătorul este chiar derivata numitorului: $(e^x - 1)' = e^x$.
   Astfel, primitiva este:

   $$\int \frac{e^x}{e^x - 1} \, dx = \ln|e^x - 1| + \mathcal{C}$$

   Pentru $x \in [1, 2]$, $e^x - 1 > 0$, deci $|e^x - 1| = e^x - 1$.

   (3 puncte)

2. Calculul valorii integralei

   $$\int_1^2 \frac{e^x}{e^x - 1} \, dx = \ln(e^x - 1) \Bigg|_1^2 = \ln(e^2 - 1) - \ln(e - 1)$$

   Folosind proprietatea $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$ și formula diferenței de pătrate $e^2 - 1 = (e - 1)(e + 1)$:

   $$\ln \frac{e^2 - 1}{e - 1} = \ln \frac{(e - 1)(e + 1)}{e - 1} = \ln(e + 1)$$

   (2 puncte)

Barem și Etape de Calcul:

1. Exprimarea integralei și stabilirea inegalității de funcții

   Avem $f(x) + 1 = (e^x + x^2 - 1) + 1 = e^x + x^2$. Integrala se rescrie:

   $$I = \int_0^1 \frac{x}{f(x) + 1} \, dx = \int_0^1 \frac{x}{e^x + x^2} \, dx$$

   Pentru orice $x \in [0, 1]$, avem $x^2 \geq 0$, deci $e^x + x^2 \geq e^x > 0$.
   Prin inversare obținem:

   $$\frac{1}{e^x + x^2} \leq \frac{1}{e^x} = e^{-x}$$

   Deoarece $x \geq 0$ pe $[0, 1]$, înmulțim cu $x$ fără a schimba sensul inegalității:

   $$\frac{x}{e^x + x^2} \leq x e^{-x}, \quad \forall x \in [0, 1]$$

   Integrând inegalitatea pe $[0, 1]$ (proprietatea de monotonie a integralei Riemann):

   $$\int_0^1 \frac{x}{f(x) + 1} \, dx \leq \int_0^1 x e^{-x} \, dx$$

   (3 puncte)

2. Calculul integralei $\int_0^1 x e^{-x} \, dx$ prin părți

   Aplicăm metoda integrării prin părți, alegând:

   • $u(x) = x \implies u'(x) = 1$
   • $v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$
   $$\int_0^1 x e^{-x} \, dx = \Big[ -x e^{-x} \Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot (-e^{-x}) \, dx$$ $$\Big[ -x e^{-x} \Big]_0^1 = (-1 \cdot e^{-1}) - (0) = -\frac{1}{e}$$ $$\int_0^1 e^{-x} \, dx = \Big[ -e^{-x} \Big]_0^1 = -e^{-1} - (-e^0) = -\frac{1}{e} + 1 = 1 - \frac{1}{e}$$

   Adunăm termenii:

   $$\int_0^1 x e^{-x} \, dx = -\frac{1}{e} + \left(1 - \frac{1}{e}\right) = 1 - \frac{2}{e}$$

   Prin urmare:

   $$\int_0^1 \frac{x}{f(x) + 1} \, dx \leq 1 - \frac{2}{e}$$

   (2 puncte)