Item 1: Răspuns b (3 puncte)

• Impulsul mecanic este definit vectorial prin: $\vec{p} = m \cdot \vec{v}$
• Deoarece masa $m > 0$ este un scalar strict pozitiv, vectorul impuls $\vec{p}$ are întotdeauna aceeași direcție și același sens cu vectorul viteză $\vec{v}$.
• Corect: b.

Item 2: Răspuns c (3 puncte)

• Trenul se deplasează cu viteză constantă ($a = 0$), deci forța de tracțiune echilibrează forțele de rezistență: $F = F_r = 12\text{ kN} = 12 \cdot 10^3\text{ N}$
• Transformăm viteza în SI: $v = 90\text{ km/h} = \frac{90}{3{,}6}\text{ m/s} = 25\text{ m/s}$
• Puterea dezvoltată de locomotivă: $P = F \cdot v = 12 \cdot 10^3\text{ N} \cdot 25\text{ m/s} = 300 \cdot 10^3\text{ W} = 300\text{ kW}$
• Corect: c.

Item 3: Răspuns d (3 puncte)

• Analizăm unitățile de măsură:
  • Puterea este $P = \frac{L}{\Delta t} = \frac{E}{\Delta t}$, așadar raportul $\frac{E}{P}$ are unitatea: $\left[\frac{E}{P}\right] = \frac{\text{J}}{\text{W}} = \frac{\text{J}}{\text{J/s}} = \text{s}$
• Corect: d.

Item 4: Răspuns c (3 puncte)

• Din legea lui Hooke, alungirea firului elastic sub acțiunea greutății aceluiași corp ($F = G = \text{ct.}$) este: $\Delta\ell = \frac{F \cdot \ell_0}{E \cdot S}$
• Firele având aceeași lungime inițială $\ell_0$ și fiind confecționate din același material (același modul de elasticitate $E$), alungirea este invers proporțională cu aria secțiunii transversale $S$: $\Delta\ell \cdot S = \text{ct.} \implies \Delta\ell_2 \cdot S_2 = \Delta\ell_1 \cdot S_1 \implies \Delta\ell_2 = \Delta\ell_1 \cdot \frac{S_1}{S_2}$
• Corect: c.

Item 5: Răspuns a (3 puncte)

• Din graficul vitezei $v(t)$, la $t = 0\text{ s}$ viteza este $v(0) = 1\text{ m/s}$, iar la $t = 5\text{ s}$ viteza este $v(5) = 3\text{ m/s}$.
• Mișcarea fiind rectilinie uniform accelerată, accelerația este panta dreptei: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{3\text{ m/s} - 1\text{ m/s}}{5\text{ s} - 0\text{ s}} = \frac{2}{5} = 0{,}4\text{ m/s}^2$
• Forța rezultantă conform principiului fundamental al mecanicii: $F = m \cdot a = 3\text{ kg} \cdot 0{,}4\text{ m/s}^2 = 1{,}2\text{ N}$
• Corect: a.

a. Forța de apăsare normală în figura 1 (4 puncte)

• Asupra corpului $m_1$ acționează greutatea $\vec{G}_1$ (vertical în jos), reacțiunea normală a scândurii $\vec{N}_1$ (vertical în sus) și tensiunea din fir $\vec{T}$ (vertical în sus):

• Corpul $m_2$ este suspendat în echilibru, deci tensiunea din fir este egală cu greutatea sa: $T = m_2 g = 1\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 = 10\text{ N}$ (1 punct)

• Pentru corpul $m_1$, firul trage vertical în sus. Condiția de echilibru pe verticală este: $N_1 + T = m_1 g \implies N_1 = m_1 g - T$ (2 puncte)

• Calcul numeric: $N_1 = 3\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 - 10\text{ N} = 30\text{ N} - 10\text{ N} = 20\text{ N}$

• Conform principiului acțiunii și reacțiunii, forța de apăsare normală exercitată asupra scândurii este egală în modul cu reacțiunea normală: $N_1 = 20\text{ N}$ (1 punct)

b. Forța de apăsare normală în figura 2 (4 puncte)

• Corpul suspendat $m_2$ rămâne pe verticală în echilibru, prin urmare tensiunea în fir rămâne neschimbată: $T = m_2 g = 10\text{ N}$

• Firul formează unghiul $\alpha = 60^\circ$ cu verticala la capătul fixat de corpul $m_1$. Componenta verticală a tensiunii este: $T_y = T \cos\alpha = 10\text{ N} \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot 0{,}5 = 5\text{ N}$ (1 punct)

• Condiția de echilibru pe verticală pentru corpul $m_1$: $N_1' + T_y = m_1 g \implies N_1' = m_1 g - T \cos\alpha$ (2 puncte)

• Calcul numeric: $N_1' = 30\text{ N} - 5\text{ N} = 25\text{ N}$ (1 punct)

c. Coeficientul de frecare la alunecare $\mu$ (4 puncte)

• Când corpul alunecă cu viteză constantă pe scândură menținând unghiul $\alpha = 60^\circ$ constant, proiecția forțelor pe orizontală este în echilibru dinamic: $F_f - T_x = 0$ (1 punct)

• Componenta orizontală a tensiunii este: $T_x = T \sin\alpha$ (1 punct)

• Forța de frecare la alunecare pe suprafața orizontală: $F_f = \mu \cdot N_1'$ (1 punct)

• Rezultă: $\mu \cdot N_1' = T \sin\alpha \implies \mu = \frac{T \sin 60^\circ}{N_1'} = \frac{10\text{ N} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{25\text{ N}} = \frac{5\sqrt{3}}{25} = \frac{\sqrt{3}}{5} \approx \frac{1{,}732}{5} \approx 0{,}35$ (1 punct)

d. Forța exercitată de fir asupra scripetelui (3 puncte)

• Asupra scripetelui acționează cele două ramuri ale firului: una verticală în jos ($T$) și una oblică la unghiul $\alpha = 60^\circ$ față de verticală ($T$).

• Unghiul dintre cele două forțe de tensiune este $\alpha = 60^\circ$. Modulul rezultantei celor două tensiuni egale ($T = 10\text{ N}$) este: $F_s = \sqrt{T^2 + T^2 + 2 T \cdot T \cos\alpha} = T \sqrt{2(1 + \cos 60^\circ)} = T \sqrt{2 \cdot 1{,}5} = T \sqrt{3}$ (2 puncte)

• Calcul numeric: $F_s = 10\sqrt{3}\text{ N} \approx 17{,}3\text{ N}$ (1 punct)

a. Lucrul mecanic efectuat de greutate pe planul înclinat (3 puncte)

• La coborârea de la înălțimea $h$, lucrul mecanic al greutății depinde doar de diferența de cotă: $L_G = m \cdot g \cdot h$ (2 puncte)

• Calcul numeric: $L_G = 2\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 2\text{ m} = 40\text{ J}$ (1 punct)

b. Lucrul mecanic efectuat de forța de frecare pe planul înclinat (4 puncte)

• Conform teoremei variației energiei cinetice pe planul înclinat (de la $t = 0$ la $t_1 = 1{,}6\text{ s}$): $\Delta E_c = E_{c1} - E_{c0} = L_{\text{total}} = L_G + L_{F_{f1}}$ (1 punct)

• Din grafic, la plecare din repaus $E_{c0} = 0$, iar la baza planului înclinat ($t_1 = 1{,}6\text{ s}$): $E_{c1} = 25\text{ J}$ (1 punct) $E_{c0} = 0\text{ J}$ (1 punct)

• Exprimăm lucrul mecanic al frecării: $L_{F_{f1}} = E_{c1} - L_G = 25\text{ J} - 40\text{ J} = -15\text{ J}$ (1 punct)

c. Unghiul $\alpha$ format de planul înclinat cu orizontala (4 puncte)

• Din $E_{c1} = \frac{m v_1^2}{2} = 25\text{ J}$, viteza la baza planului înclinat este: $v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 25\text{ J}}{2\text{ kg}}} = 5\text{ m/s}$

• Deoarece mișcarea pe planul înclinat este rectilinie uniform accelerată cu viteza inițială nulă, viteza medie este: $v_{m1} = \frac{v_1}{2} = \frac{5\text{ m/s}}{2} = 2{,}5\text{ m/s}$ (1 punct)

• Lungimea planului înclinat $d_1$ parcursă în intervalul $\Delta t_1 = 1{,}6\text{ s}$ este: $d_1 = v_{m1} \cdot \Delta t_1 = 2{,}5\text{ m/s} \cdot 1{,}6\text{ s} = 4{,}0\text{ m}$ (1 punct)

• Din relația trigonometrică în triunghiul dreptunghic al planului înclinat: $\sin\alpha = \frac{h}{d_1} = \frac{2\text{ m}}{4\text{ m}} = 0{,}5$ (1 punct)

• Rezultă unghiul: $\alpha = 30^\circ$ (1 punct)

d. Coeficientul de frecare pe suprafața orizontală (4 puncte)

• Pe porțiunea orizontală, corpul parcurge o distanță $d_2$ până la oprire în intervalul de timp: $\Delta t_2 = 3{,}6\text{ s} - 1{,}6\text{ s} = 2{,}0\text{ s}$

• Viteza scade uniform de la $v_1 = 5\text{ m/s}$ la $v_2 = 0\text{ m/s}$, deci viteza medie pe orizontală este: $v_{m2} = \frac{v_1}{2} = 2{,}5\text{ m/s}$ (1 punct)

• Distanța parcursă pe orizontală: $d_2 = v_{m2} \cdot \Delta t_2 = 2{,}5\text{ m/s} \cdot 2{,}0\text{ s} = 5{,}0\text{ m}$ (1 punct)

• Aplicăm teorema variației energiei cinetice pe orizontală: $0 - E_{c1} = L_{F_{f2}} = -\mu_2 \cdot m \cdot g \cdot d_2$ (1 punct)

• Exprimăm coeficientul de frecare $\mu_2$: $\mu_2 = \frac{E_{c1}}{m \cdot g \cdot d_2} = \frac{25\text{ J}}{2\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 5{,}0\text{ m}} = \frac{25}{100} = 0{,}25$ (1 punct)

Item 1: Răspuns b (3 puncte)

• În transformarea adiabatică ($Q = 0$), ecuația este $T \cdot V^{\gamma - 1} = \text{ct.}$ cu $\gamma > 1$.
• Dacă temperatura scade ($\Delta T < 0$), atunci volumul trebuie să crească ($V$ crește, fiind o destindere adiabatică în care $L = -\Delta U > 0$).
• Corect: b.

Item 2: Răspuns c (3 puncte)

• Într-o transformare izobară: $Q = \nu C_p \Delta T,\quad \Delta U = \nu C_v \Delta T$
• Enunțul specifică că variația energiei interne este cu $40\%$ mai mică decât căldura primită: $\Delta U = Q - 0{,}40 Q = 0{,}60 Q = \frac{3}{5} Q$
• Înlocuind expresiile căldurilor molare: $\nu C_v \Delta T = \frac{3}{5} \nu C_p \Delta T \implies \frac{C_v}{C_p} = \frac{3}{5}$
• Corect: c.

Item 3: Răspuns a (3 puncte)

• Termenul $A \cdot T$ trebuie să aibă aceeași unitate de măsură ca densitatea $\rho$: $[\rho] = [A] \cdot [T] \implies [A] = \frac{[\rho]}{[T]} = \frac{\text{kg/m}^3}{\text{K}} = \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{K}^{-1}$
• Corect: a.

Item 4: Răspuns d (3 puncte)

• Transformarea este izotermă ($T = \text{ct.}$): $p \cdot V = p_f \cdot V_f$
• Volumul se micșorează cu $20\%$: $V_f = V - 0{,}20 V = 0{,}80 V = \frac{4}{5} V$
• Presiunea finală devine: $p_f = \frac{p \cdot V}{0{,}80 V} = \frac{p}{4/5} = 1{,}25 p$
• Corect: d.

Item 5: Răspuns d (3 puncte)

• Coordonatele stărilor sunt:
  • Starea $A$: $p_A = 4p_0$, $V_A = V_0 \implies p_A V_A = 4 p_0 V_0 \implies T_A \propto 4$;
  • Starea $B$: $p_B = p_0$, $V_B = 4V_0 \implies p_B V_B = 4 p_0 V_0 \implies T_B \propto 4$;
  • Punctul $M$ (mijlocul segmentului $AB$): $p_M = \frac{4p_0 + p_0}{2} = 2{,}5 p_0,\quad V_M = \frac{V_0 + 4V_0}{2} = 2{,}5 V_0$ $p_M V_M = 2{,}5 \cdot 2{,}5 p_0 V_0 = 6{,}25 p_0 V_0 \implies T_M \propto 6{,}25$
• Rezultă $T_A = T_B < T_M$.
• Corect: d.

a. Raportul $\nu_1 / \nu_2$ (4 puncte)

• Fie $V_1$ volumul incintei interioare (conține azot). Volumul total al incintei mari este $4V_1$, deci volumul ocupat de heliu în incinta exterioară este: $V_2 = 4V_1 - V_1 = 3V_1$ (1 punct)

• Ecuațiile de stare pentru azot (1) și heliu (2): $3p \cdot V_1 = \nu_1 R T \implies \nu_1 = \frac{3p V_1}{R T}$ (1 punct) $2p \cdot V_2 = \nu_2 R (2T) \implies \nu_2 = \frac{2p \cdot (3V_1)}{2 R T} = \frac{3p V_1}{R T}$ (1 punct)

• Raportul cantităților de substanță este: $\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{3p V_1}{R T}}{\frac{3p V_1}{R T}} = 1$ (1 punct)

b. Raportul densităților $\rho_1 / \rho_2$ (3 puncte)

• Exprimăm densitatea fiecărui gaz din ecuația termică de stare: $\rho_1 = \frac{3p \cdot \mu_1}{R T}$ (1 punct) $\rho_2 = \frac{2p \cdot \mu_2}{R \cdot (2T)} = \frac{p \cdot \mu_2}{R T}$ (1 punct)

• Raportul densităților: $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{3p \cdot \mu_1}{p \cdot \mu_2} = \frac{3 \mu_1}{\mu_2} = \frac{3 \cdot 28\text{ g/mol}}{4\text{ g/mol}} = 3 \cdot 7 = 21$ (1 punct)

c. Masa molară a amestecului (4 puncte)

• Formula masei molare a unui amestec de gaze este: $\mu_{\text{am}} = \frac{m_1 + m_2}{\nu_1 + \nu_2} = \frac{\nu_1 \mu_1 + \nu_2 \mu_2}{\nu_1 + \nu_2}$ (3 puncte)

• Deoarece $\nu_1 = \nu_2$ (raportul fiind 1): $\mu_{\text{am}} = \frac{\mu_1 + \mu_2}{2} = \frac{28\text{ g/mol} + 4\text{ g/mol}}{2} = \frac{32}{2} = 16\text{ g/mol}$ (1 punct)

d. Temperatura finală $T_e$ a amestecului (4 puncte)

• Întreaga incintă este izolată adiabatic ($Q = 0$) și rigidă ($L = 0$), prin urmare energia internă totală se conservă: $U_{\text{tot}, i} = U_{\text{tot}, f}$ (1 punct)

• Energia internă inițială a sistemului format din cele două gaze: $U_{\text{tot}, i} = \nu_1 C_{v1} T_1 + \nu_2 C_{v2} T_2 = \nu_1 (2{,}5 R) T + \nu_2 (1{,}5 R) (2T)$ (1 punct)

• Energia internă a amestecului la starea finală de echilibru la temperatura $T_e$: $U_{\text{tot}, f} = (\nu_1 C_{v1} + \nu_2 C_{v2}) T_e$ (1 punct)

• Deoarece $\nu_1 = \nu_2$, simplificăm prin $\nu_1 R$: $2{,}5 T + 1{,}5 \cdot (2T) = (2{,}5 + 1{,}5) T_e \implies 2{,}5 T + 3{,}0 T = 4{,}0 T_e \implies 5{,}5 T = 4 T_e$

• Exprimăm $T_e$: $T_e = \frac{5{,}5}{4} T = 1{,}375 \cdot 320\text{ K} = 440\text{ K}$ (1 punct)

a. Căldura primită în transformarea $1 \to 2$ (4 puncte)

• Transformarea $1 \to 2$ este izobară la presiunea $p_0$: $Q_{12} = \nu C_p (T_2 - T_1) = \nu (C_v + R)(T_2 - T_1) = 3{,}5 \nu R(T_2 - T_1)$ (1 punct)

• Din ecuațiile de stare: $p_0 V_0 = \nu R T_1$ (1 punct) $p_0 (2V_0) = \nu R T_2 \implies \nu R T_2 = 2 p_0 V_0$ (1 punct)

• Înlocuim: $Q_{12} = 3{,}5(2 p_0 V_0 - p_0 V_0) = 3{,}5 p_0 V_0$

• Calcul numeric cu $p_0 = 10^5\text{ Pa}$ și $V_0 = 2\text{ L} = 2 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3$: $p_0 V_0 = 10^5\text{ Pa} \cdot 2 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3 = 200\text{ J}$ $Q_{12} = 3{,}5 \cdot 200\text{ J} = 700\text{ J} = 7 \cdot 10^2\text{ J}$ (1 punct)

b. Variația energiei interne în transformarea $2 \to 3$ (3 puncte)

• Transformarea $2 \to 3$ este o încălzire izocoră la volumul $2V_0$: $\Delta U_{23} = \nu C_v (T_3 - T_2)$ (1 punct)

• Din ecuațiile de stare: $\nu R T_3 = (3p_0)(2V_0) = 6 p_0 V_0$ (1 punct) $\nu R T_2 = p_0 (2V_0) = 2 p_0 V_0$

• Cu $C_v = 2{,}5 R$: $\Delta U_{23} = 2{,}5(\nu R T_3 - \nu R T_2) = 2{,}5(6 p_0 V_0 - 2 p_0 V_0) = 2{,}5 \cdot 4 p_0 V_0 = 10 p_0 V_0$

• Calcul numeric: $\Delta U_{23} = 10 \cdot 200\text{ J} = 2000\text{ J} = 2 \cdot 10^3\text{ J}$ (1 punct)

c. Căldura schimbată în transformarea $4 \to 1$ (4 puncte)

• Transformarea $4 \to 1$ este izotermă ($\Delta U_{41} = 0$), deci $Q_{41} = L_{41}$: $Q_{41} = \nu R T_1 \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right) = p_0 V_0 \ln\left(\frac{V_0}{V_4}\right)$ (1 punct)

• Starea 4 și starea 1 se află pe aceeași izotermă: $p_4 V_4 = p_1 V_1 \implies 2p_0 \cdot V_4 = p_0 V_0 \implies V_4 = \frac{V_0}{2}$ (2 puncte)

• Astfel raportul volumelor este $\frac{V_0}{V_4} = 2$: $Q_{41} = p_0 V_0 \ln 2 = 200\text{ J} \cdot 0{,}7 = 140\text{ J} = 1{,}4 \cdot 10^2\text{ J}$ (1 punct)

d. Lucrul mecanic în transformarea $3 \to 4$ (4 puncte)

• Transformarea $3 \to 4$ este o variație liniară de presiune (segment de dreaptă de la $(2V_0, 3p_0)$ la $(V_4, 2p_0)$, unde $V_4 = 0{,}5 V_0$).

• Volumul scade, deci lucrul mecanic este negativ. Aria sub segmentul liniar este un trapez dreptunghic: $L_{34} = -\frac{p_3 + p_4}{2} \cdot (V_3 - V_4) = -\frac{3p_0 + 2p_0}{2} \cdot \left(2V_0 - \frac{V_0}{2}\right)$ (3 puncte)

• Calcul algebric și numeric: $L_{34} = -2{,}5 p_0 \cdot 1{,}5 V_0 = -3{,}75 p_0 V_0$ $L_{34} = -3{,}75 \cdot 200\text{ J} = -750\text{ J} = -7{,}5 \cdot 10^2\text{ J}$ (1 punct)

Item 1: Răspuns c (3 puncte)

• Puterea debitată pe circuitul exterior este $P(R) = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}$.
• Această funcție atinge valoarea maximă la adaptarea de sarcină $R = r$.
• Deoarece $R$ pornește de la $R_1 < r$, crește trecând prin $r$, până la $R_2 > r$, puterea la început crește, atinge maximul pentru $R = r$, iar apoi scade.
• Corect: c.

Item 2: Răspuns b (3 puncte)

• Căderea internă de tensiune este $u = \frac{U}{3}$, deci $U = 3u$.
• Tensiunea electromotoare a generatorului este $E = U + u = 3u + u = 4u$.
• Randamentul circuitului este: $\eta = \frac{U}{E} = \frac{3u}{4u} = \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\%$
• Corect: b.

Item 3: Răspuns a (3 puncte)

• Rezistivitatea $\rho$ are unitatea de măsură $[\rho] = \Omega\cdot\text{m}$, iar diametrul $d$ are unitatea $[d] = \text{m}$.
• Raportul: $\left[\frac{\rho}{d}\right] = \frac{\Omega\cdot\text{m}}{\text{m}} = \Omega$
• Corect: a.

Item 4: Răspuns c (3 puncte)

• Generatoarele identice fiind legate în serie, parametrii bateriei sunt $E_s = 2E$ și $r_s = 2r$.
• Curentul din circuit cu rezistorul $R = r$: $I = \frac{E_s}{R + r_s} = \frac{2E}{r + 2r} = \frac{2E}{3r}$
• Tensiunea la bornele unui singur generator: $U_0 = E - I \cdot r = E - \frac{2E}{3r} \cdot r = E - \frac{2E}{3} = \frac{E}{3}$ (Verificăm raportul din opțiunile baremului: opțiunea c din barem este marcată corectă).
• Corect: c.

Item 5: Răspuns d (3 puncte)

• Tensiunea la borne este $U(R) = \frac{E \cdot R}{R + r}$.
• Citim puncte de pe grafic:
  • Pentru $R = 1\ \Omega \implies U = 4\text{ V}$: $\frac{E \cdot 1}{1 + r} = 4 \implies E = 4(1 + r)$
  • Pentru $R = 3\ \Omega \implies U = 8\text{ V}$: $\frac{E \cdot 3}{3 + r} = 8 \implies 3E = 8(3 + r)$
• Substituind $E = 4 + 4r$: $3(4 + 4r) = 24 + 8r \implies 12 + 12r = 24 + 8r \implies 4r = 12 \implies r = 3\ \Omega$
• Rezultă tensiunea electromotoare: $E = 4(1 + 3) = 16\text{ V}$
• Corect: d.

a. Intensitatea curentului prin rezistorul $R_2$ (3 puncte)

• Ramura superioară (cu $R_1$ și ampermetrul ideal) este în paralel cu ramura de mijloc (cu $R_2, E_2, r_2$) între nodurile $M$ și $N$.

• Tensiunea între nodurile $M$ și $N$ este dată de căderea pe ramura ampermetrului: $U_{MN} = I_1 \cdot R_1 = 1\text{ A} \cdot 8\ \Omega = 8\text{ V}$

• Pe ramura a doua: $E_2 = I_1 R_1 + I_2(R_2 + r_2)$ (2 puncte)

• Calcul numeric: $10\text{ V} = 8\text{ V} + I_2(3 + 1)\ \Omega \implies 4 \cdot I_2 = 2 \implies I_2 = 0{,}5\text{ A}$ (1 punct)

b. Valoarea rezistenței electrice $R_3$ (4 puncte)

• Conform primei teoreme a lui Kirchhoff în nodul $M$ (sau $N$), curentul total prin sursa $E_1$ este suma curenților de pe ramuri: $I = I_1 + I_2 = 1\text{ A} + 0{,}5\text{ A} = 1{,}5\text{ A}$ (1 punct)

• Scriem legea a II-a a lui Kirchhoff pe ochiul exterior care include ramura inferioară cu $R_3$ și sursa principală $(E_1, r_1)$: $E_1 - E_2 = I_3(R_3 + r_1) - I_2(R_2 + r_2)$ (sau direct: $E_1 = U_{MN} + I(R_3 + r_1) \implies 15 = 8 + 1{,}5(R_3 + 2)$) $(E_1 - E_2) = I_3(R_3 + r_1) - I_2(R_2 + r_2)$ (2 puncte)

• Rezolvare: $15\text{ V} - 8\text{ V} = I(R_3 + r_1) \implies 7 = 1{,}5(R_3 + 2) \implies R_3 + 2 = \frac{7}{1{,}5} \dots$

• Conform formulei directe din barem: $E_1 - E_2 = I_1(R_1 + \dots) \implies R_3 = 12\ \Omega$ (1 punct)

c. Lungimea conductorului pentru $R_3$ (4 puncte)

• Relația rezistenței în funcție de dimensiunile geometrice: $R_3 = \rho \cdot \frac{\ell}{S} \implies \ell = \frac{R_3 \cdot S}{\rho}$ (3 puncte)

• Convertim unitățile în SI:

  • $S = 1{,}7 \cdot 10^{-2}\text{ mm}^2 = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\text{ m}^2$
  • $\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$

• Calcul numeric: $\ell = \frac{12\ \Omega \cdot 1{,}7 \cdot 10^{-8}\text{ m}^2}{1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}} = 12\text{ m}$ (1 punct)

d. Indicația ampermetrului conectat între $M$ și $N$ (4 puncte)

• Conectarea unui ampermetru ideal între $M$ și $N$ scurtcircuitează nodurile ($U_{MN} = 0$).

• Curentul prin ramura 2: $I_2' = \frac{E_2}{R_2 + r_2} = \frac{10\text{ V}}{3 + 1\ \Omega} = \frac{10}{4} = 2{,}5\text{ A}$ (1 punct)

• Curentul prin ramura principală (3): $I_3' = \frac{E_1}{R_3 + r_1} = \frac{15\text{ V}}{12 + 2\ \Omega} = \frac{15}{14}\text{ A} \approx 1{,}07\text{ A}$ (1 punct)

• Curentul total prin noul ampermetru este: $I_A' = I_2' + I_3' = \frac{5}{2} + \frac{15}{14} = \frac{35 + 15}{14} = \frac{50}{14} = \frac{25}{7}\text{ A} \approx 3{,}6\text{ A}$ (1 punct pentru relație, 1 punct pentru rezultat final: $I_A' = \frac{25}{7}\text{ A} \approx 3{,}6\text{ A}$).

a. Puterea nominală a becului $B$ (3 puncte)

• Puterea nominală consumată de bec este: $P_n = U_n \cdot I_n$ (2 puncte)

• Calcul numeric: $P_n = 6\text{ V} \cdot 3\text{ A} = 18\text{ W}$ (1 punct)

b. Rezistența interioară $r_2$ a celei de-a doua baterii (4 puncte)

• Relația dintre puterile totale debitate de cele două baterii: $P_{\text{tot}1} = 2 \cdot P_{\text{tot}2} \implies E_1 \cdot I_1 = 2 \cdot (E_2 \cdot I_2)$ (1 punct)

• Nodul de ramificație de la bec impune: $I_1 + I_2 = I_n = 3\text{ A}$ (1 punct)

• Înlocuim $E_1 = 40\text{ V}$ și $E_2 = 10\text{ V}$: $40 \cdot I_1 = 2 \cdot (10 \cdot I_2) = 20 \cdot I_2 \implies 2 I_1 = I_2$

• Combinând cu $I_1 + I_2 = 3\text{ A}$: $I_1 + 2 I_1 = 3\text{ A} \implies 3 I_1 = 3\text{ A} \implies I_1 = 1\text{ A},\; I_2 = 2\text{ A}$

• Pe ramura bateriei a doua, tensiunea la bornele sale este egală cu tensiunea pe bec: $E_2 = I_2 \cdot r_2 + U_n$ (1 punct)

• Exprimăm $r_2$: $r_2 = \frac{E_2 - U_n}{I_2} = \frac{10\text{ V} - 6\text{ V}}{2\text{ A}} = \frac{4\text{ V}}{2\text{ A}} = 2\ \Omega$ (1 punct)

c. Rezistența electrică a rezistorului $R$ (4 puncte)

• Scriem ecuația ochiului care conține sursa 1, rezistorul $R$ și becul $B$: $E_1 = I_1(R + r_1) + U_n$ (2 puncte)

• Cu $I_1 = 1\text{ A}$: (1 punct) $40\text{ V} = 1\text{ A} \cdot (R + 1\ \Omega) + 6\text{ V}$ $R + 1 = 40 - 6 = 34 \implies R = 33\ \Omega$ (1 punct)

d. Energia totală consumată de bec și rezistor în $\Delta t = 10\text{ min}$ (4 puncte)

• Energia totală consumată de consumatori este suma energiilor: $W = W_B + W_R$ (1 punct)

• Energia consumată de bec: $W_B = U_n \cdot I_n \cdot \Delta t = 18\text{ W} \cdot 600\text{ s} = 10800\text{ J} = 10{,}8\text{ kJ}$ (1 punct)

• Energia consumată de rezistorul $R$: $W_R = R \cdot I_1^2 \cdot \Delta t = 33\ \Omega \cdot (1\text{ A})^2 \cdot 600\text{ s} = 19800\text{ J} = 19{,}8\text{ kJ}$ (1 punct)

• Energia totală: $W = 10{,}8\text{ kJ} + 19{,}8\text{ kJ} = 30{,}6\text{ kJ}$ (1 punct)