Item 1: Răspuns b (3 puncte)

• Greutatea este o forță conservativă, iar lucrul său mecanic depinde exclusiv de diferența de nivel între poziția inițială și cea finală: $L_G = m \cdot g \cdot h$
• Deoarece coborârea are loc pe direcția și în sensul greutății (vectorul deplasare este orientat vertical în jos), lucrul mecanic este motor ($L_G > 0$).
• Accelerația $\vec{a}$ influențează forța externă aplicată lăzii, dar nu modifică lucrul mecanic al greutății în sine.
• Corect: b.

Item 2: Răspuns a (3 puncte)

• Modulul forței elastice care apare într-un corp elastic deformat este proporțional cu deformarea (alungirea sau comprimarea) $\Delta\ell$: $F_e = k \cdot \Delta\ell$
• unde $k$ este constanta elastică a corpului.
• Corect: a.

Item 3: Răspuns c (3 puncte)

• Puterea mecanică instantanee este definită prin produsul scalar dintre forță și viteză: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$
• În Sistemul Internațional, unitatea de măsură a puterii mecanice este: $[F \cdot v] = [F] \cdot [v] = \text{N} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{\text{J}}{\text{s}} = \text{W}\text{ (watt)}$
• Corect: c.

Item 4: Răspuns d (3 puncte)

• Lucrul mecanic este egal cu aria suprafeței delimitate de graficul puterii $P(t)$ și axa timpului.
• Pe intervalul $t \in [2\text{ s}, 8\text{ s}]$, puterea mecanică este constantă, având valoarea $P = 20\text{ W}$.
• Lucrul mecanic efectuat în acest interval este aria dreptunghiului corespunzător: $L = P \cdot \Delta t = 20\text{ W} \cdot (8\text{ s} - 2\text{ s}) = 20\text{ W} \cdot 6\text{ s} = 120\text{ J}$
• Corect: d.

Item 5: Răspuns c (3 puncte)

• Transformăm vitezele în unități S.I. ($\text{m/s}$): $v_1 = \frac{36}{3{,}6} = 10\text{ m/s}$ $v_2 = \frac{72}{3{,}6} = 20\text{ m/s}$
• Accelerația medie este raportul dintre variația vitezei și intervalul de timp: $a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{\Delta t} = \frac{20\text{ m/s} - 10\text{ m/s}}{10\text{ s}} = \frac{10\text{ m/s}}{10\text{ s}} = 1{,}0\text{ m/s}^2$
• Corect: c.

Cerința a: Reprezentarea forțelor pe corpul $m_2$ (4 puncte)

Asupra corpului $m_2$, care coboară rectiliniu uniform pe planul înclinat, acționează 5 forțe:

1. Greutatea $\vec{G}_2$, orientată vertical în jos ($G_2 = m_2 g$).
2. Reacțiunea normală a planului înclinat $\vec{N}$, perpendiculară pe suprafața planului, orientată în sus.
3. Forța de tracțiune $\vec{F}$, paralelă cu planul înclinat, orientată în sensul coborârii (în josul planului).
4. Forța de frecare la alunecare $\vec{F}_f$, paralelă cu planul înclinat, orientată opus sensului mișcării (în susul planului).
5. Tensiunea din fir $\vec{T}$, orientată de-a lungul firului spre scripete (în susul planului).

(4 puncte pentru reprezentarea corectă a tuturor forțelor)

Cerința b: Calculul tensiunii din fir (4 puncte)

• Corpul $m_1$ este suspendat liber de fir și se deplasează vertical în sus cu viteză constantă ($\vec{a} = \vec{0}$).
• Ecuația de mișcare pentru corpul $m_1$ pe verticală: $T - G_1 = 0$

(2 puncte)

• Calculul greutății corpului $m_1$: $G_1 = m_1 \cdot g = 2{,}5\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 = 25\text{ N}$

(1 punct)

• Tensiunea din fir este: $T = G_1 = 25\text{ N}$

(1 punct)

Cerința c: Calculul coeficientului de frecare $\mu$ (4 puncte)

• Deoarece scripetele este ideal și firul inextensibil și fără masă, tensiunea din fir are aceeași valoare $T = 25\text{ N}$ la ambele capete.
• Proiectăm ecuația fundamentală a dinamicii pentru corpul $m_2$ pe axele de coordonate ($Ox$ paralel cu planul, orientat în josul pantei; $Oy$ perpendicular pe plan, orientat în sus):
  • Pe axa $Ox$ (mișcare rectilinie uniformă, $a = 0$): $F + G_{2t} - T - F_f = 0$

(1 punct)

• Componenta tangențială a greutății: $G_{2t} = m_2 \cdot g \cdot \sin\alpha = 5{,}0\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 0{,}6 = 30\text{ N}$

(1 punct)

• Pe axa $Oy$: $N - G_{2n} = 0 \implies N = G_{2n} = m_2 \cdot g \cdot \cos\alpha$
• Din $\sin\alpha = 0{,}6$, rezultă $\cos\alpha = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = 0{,}8$: $N = 5{,}0 \cdot 10 \cdot 0{,}8 = 40\text{ N}$
• Forța de frecare la alunecare este: $F_f = \mu \cdot N = \mu \cdot m_2 \cdot g \cdot \cos\alpha$

(1 punct)

• Înlocuim în ecuația de pe axa $Ox$: $F_f = F + G_{2t} - T = 3{,}0\text{ N} + 30\text{ N} - 25\text{ N} = 8{,}0\text{ N}$
• Coeficientul de frecare este: $\mu = \frac{F_f}{N} = \frac{8{,}0\text{ N}}{40\text{ N}} = 0{,}2$

(1 punct)

Cerința d: Calculul reacțiunii din axul scripetelui (3 puncte)

• Asupra scripetelui acționează tensiunile celor două ramuri ale firului, ambele de modul $T = 25\text{ N}$:
  • O ramură este verticală (spre corpul $m_1$);
  • Cealaltă ramură este paralelă cu planul înclinat (la unghiul $\alpha$ față de orizontală).
• Unghiul dintre cele două forțe $\vec{T}$ aplicate scripetelui este $\theta = 90^\circ - \alpha$.
• Modulul forței de reacțiune din axul scripetelui este rezultanta celor două tensiuni: $F_a = \sqrt{T^2 + T^2 + 2T^2 \cos(90^\circ - \alpha)} = \sqrt{2T^2(1 + \sin\alpha)} = T\sqrt{2(1 + \sin\alpha)}$

(2 puncte)

• Calcul numeric: $F_a = 25 \cdot \sqrt{2(1 + 0{,}6)} = 25 \cdot \sqrt{3{,}2} = 25 \cdot 1{,}78885 \cong 44{,}72\text{ N} \cong 45\text{ N}$

(1 punct)

Cerința a: Lucrul mecanic al greutății între A și B (4 puncte)

• Lucrul mecanic al greutății depinde doar de înălțimea inițială și cea finală: $L_{G, AB} = M \cdot g \cdot (H_A - H_B)$

(3 puncte)

• Masa corpului în S.I.: $M = 100\text{ g} = 0{,}1\text{ kg}$.
• Calcul numeric: $L_{G, AB} = 0{,}1\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot (8{,}8\text{ m} - 4{,}0\text{ m}) = 1 \cdot 4{,}8 = 4{,}8\text{ J}$

(1 punct)

Cerința b: Energia mecanică a corpului în punctul B (4 puncte)

• Energia mecanică în punctul B este suma dintre energia cinetică și energia potențială gravitațională: $E_B = E_{cB} + E_{pB}$

(1 punct)

• Energia potențială în B: $E_{pB} = M \cdot g \cdot H_B = 0{,}1\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 4{,}0\text{ m} = 4{,}0\text{ J}$

(1 punct)

• Energia cinetică în B: $E_{cB} = \frac{M \cdot v_B^2}{2} = \frac{0{,}1\text{ kg} \cdot (8\text{ m/s})^2}{2} = \frac{0{,}1 \cdot 64}{2} = 3{,}2\text{ J}$

(1 punct)

• Energia mecanică totală în punctul B: $E_B = 3{,}2\text{ J} + 4{,}0\text{ J} = 7{,}2\text{ J}$

(1 punct)

Cerința c: Lucrul mecanic al forței de frecare din A în B (4 puncte)

• Conform teoremei de variație a energiei cinetice: $\Delta E_c = L_{\text{total}, AB}$

(1 punct)

• Deoarece corpul pleacă din repaus în punctul A ($v_A = 0$), avem $E_{cA} = 0$: $\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = E_{cB} = 3{,}2\text{ J}$

(1 punct)

• Lucrul mecanic total este suma lucrurilor mecanice ale greutății și ale forței de frecare: $L_{\text{total}, AB} = L_{G, AB} + L_{Ff, AB}$

(1 punct)

• Rezultă lucrul mecanic al forței de frecare: $L_{Ff, AB} = \Delta E_c - L_{G, AB} = 3{,}2\text{ J} - 4{,}8\text{ J} = -1{,}6\text{ J}$

(1 punct)

Cerința d: Impulsul corpului înainte de atingerea solului (3 puncte)

• După părăsirea punctului B, corpul se mișcă liber sub acțiunea exclusivă a greutății (frecarea cu aerul se neglijează), așadar energia sa mecanică se conservă: $E_{\text{sol}} = E_B = 7{,}2\text{ J}$
• La nivelul solului, energia potențială gravitațională este nulă ($E_p = 0$), deci întreaga energie mecanică este cinetică: $\frac{M \cdot v_C^2}{2} = E_B$

(1 punct)

• Viteza corpului la atingerea solului: $v_C = \sqrt{\frac{2 E_B}{M}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 7{,}2\text{ J}}{0{,}1\text{ kg}}} = \sqrt{144} = 12\text{ m/s}$
• Impulsul mecanic al corpului în punctul C (imediat înainte de impact): $p_C = M \cdot v_C$

(1 punct)

• Calcul numeric: $p_C = 0{,}1\text{ kg} \cdot 12\text{ m/s} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m/s}$

(1 punct)

Item 1: Răspuns d (3 puncte)

• Randamentul unui motor termic este definit prin relația: $\eta = \frac{L}{Q_p} = \frac{L}{L + |Q_c|}$
• Exprimăm lucrul mecanic $L$: $L = \eta(L + |Q_c|) \implies L(1 - \eta) = \eta \cdot |Q_c| \implies L = \frac{\eta \cdot |Q_c|}{1 - \eta}$
• Înlocuind numeric ($\eta = 0{,}35$, $|Q_c| = 650\text{ J}$): $L = \frac{0{,}35 \cdot 650\text{ J}}{1 - 0{,}35} = \frac{227{,}5\text{ J}}{0{,}65} = 350\text{ J}$
• Corect: d.

Item 2: Răspuns b (3 puncte)

• Din diagrama $p-T$:
  • Transformarea $4 \to 1$ este o transformare izotermă la temperatura $T_1 = T_4$, prin urmare $\Delta U_{41} = \nu C_V (T_1 - T_4) = 0$.
  • Transformarea $2 \to 3$ este de asemenea o transformare izotermă la temperatura $T_2 = T_3$, prin urmare $\Delta U_{23} = \nu C_V (T_3 - T_2) = 0$.
• Rezultă direct: $\Delta U_{41} = \Delta U_{23} = 0$
• Corect: b.

Item 3: Răspuns a (3 puncte)

• Analizăm unitățile fundamentale în S.I. pentru produsul $\mu^{-1} R T = \dfrac{R T}{\mu}$:
  • $[R] = \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$
  • $[T] = \text{K}$
  • $[\mu] = \text{kg}\cdot\text{mol}^{-1}$ $\left[\frac{R T}{\mu}\right] = \frac{\text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \cdot \text{K}}{\text{kg}\cdot\text{mol}^{-1}} = \frac{\text{J}}{\text{kg}} = \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$
• (Alternativ, din ecuația Clapeyron-Mendeleev, $\dfrac{R T}{\mu} = \dfrac{p V}{m}$, a cărei unitate este $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$).
• Corect: a.

Item 4: Răspuns d (3 puncte)

• Cantitatea totală de substanță din amestec este: $\nu = \nu_1 + \nu_2 = 2{,}5\text{ mol} + 3{,}5\text{ mol} = 6{,}0\text{ mol}$
• În condiții normale de presiune și temperatură, volumul molar este $V_{\mu 0} = 22{,}4\text{ L/mol} = 22{,}4 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{mol}$.
• Volumul ocupat de amestec este: $V = \nu \cdot V_{\mu 0} = 6{,}0\text{ mol} \cdot 22{,}4 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{mol} = 134{,}4 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3$
• Corect: d.

Item 5: Răspuns c (3 puncte)

• Relația de legătură dintre căldura molară $C$ și căldura specifică $c$ este: $C = \mu \cdot c \implies \frac{C}{c} = \mu$
• Din ecuația termică de stare a gazului ideal: $p V = \frac{m}{\mu} R T \implies p = \frac{m}{V} \cdot \frac{R T}{\mu} = \rho \cdot \frac{R T}{\mu}$
• Exprimăm masa molară $\mu$: $\mu = \frac{\rho \cdot R \cdot T}{p}$
• Prin urmare, raportul cerut este: $\frac{C}{c} = \frac{\rho \cdot R \cdot T}{p}$
• Corect: c.

Cerința a: Raportul presiunilor inițiale $p_B / p_A$ (3 puncte)

• Scriem ecuația de stare pentru fiecare compartiment în starea inițială: $p_A \cdot V = \nu_A R T$

(1 punct)

$p_B \cdot V = \nu_B R T$

(1 punct)

• Împărțind membru cu membru cele două ecuații: $\frac{p_B}{p_A} = \frac{\nu_B}{\nu_A} = \frac{1{,}5 \nu_A}{\nu_A} = 1{,}5$

(1 punct)

Cerința b: Calculul temperaturii inițiale $T$ (4 puncte)

• Pistonul fiind blocat, volumul compartimentului A rămâne constant $V$. Noua stare a gazului A este: $p_A' \cdot V = \nu_A R T_A'$

(1 punct)

• Temperatura gazului din compartimentul A devine: $T_A' = T + \Delta T$

(1 punct)

• În compartimentul B temperatura și volumul rămân neschimbate, deci: $p_B \cdot V = \nu_B R T$

(1 punct)

• Conform ipotezei, presiunile devin egale: $p_A' = p_B$: $\frac{\nu_A R (T + \Delta T)}{V} = \frac{\nu_B R T}{V} \implies \nu_A(T + 150\text{ K}) = 1{,}5 \nu_A T$ $T + 150 = 1{,}5 T \implies 0{,}5 T = 150\text{ K} \implies T = 300\text{ K}$

(1 punct)

Cerința c: Deplasarea pistonului la echilibru (4 puncte)

• Ambele gaze revin la temperatura comună inițială $T = 300\text{ K}$.
• Pistonul fiind deblocat și mobil fără frecare, el se va deplasa spre compartimentul cu presiune inițială mai mică (compartimentul A) cu o distanță $x$, până la egalarea presiunilor: $p_A'' = p_B''$.
• Noile volume ale celor două compartimente devin:
  • Pentru compartimentul A: $V_A'' = V - x \cdot S$
  • Pentru compartimentul B: $V_B'' = V + x \cdot S$
• Ecuațiile de stare la echilibru: $p_A'' \cdot (V - x \cdot S) = \nu_A R T$

(1 punct)

$p_B'' \cdot (V + x \cdot S) = \nu_B R T$

(1 punct)

• Egalând presiunile $p_A'' = p_B''$: $\frac{\nu_A R T}{V - x \cdot S} = \frac{\nu_B R T}{V + x \cdot S}$

(1 punct)

• Înlocuind $\nu_B = 1{,}5 \nu_A$: $V + x \cdot S = 1{,}5(V - x \cdot S) \implies V + x \cdot S = 1{,}5 V - 1{,}5 x \cdot S \implies 2{,}5 x \cdot S = 0{,}5 V$ $x \cdot S = \frac{0{,}5}{2{,}5} V = 0{,}2 V \implies x = \frac{0{,}2 \cdot V}{S}$
• Înlocuind valorile numerice în unități S.I. ($V = 30\text{ L} = 30 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3$, $S = 600\text{ cm}^2 = 600 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2 = 0{,}06\text{ m}^2$): $x = \frac{0{,}2 \cdot 30 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3}{0{,}06\text{ m}^2} = \frac{6 \cdot 10^{-3}}{60 \cdot 10^{-3}} = 0{,}1\text{ m} = 10\text{ cm}$

(1 punct)

Cerința d: Calculul masei molare $\mu_A$ (4 puncte)

• Masa molară medie a amestecului este definită prin raportul dintre masa totală și numărul total de moli: $\mu_{\text{am}} = \frac{m_t}{\nu_t}$

(1 punct)

• Masa totală a amestecului: $m_t = m_A + m_B = \nu_A \cdot \mu_A + \nu_B \cdot \mu_B$

(1 punct)

• Numărul total de moli: $\nu_t = \nu_A + \nu_B = \nu_A + 1{,}5 \nu_A = 2{,}5 \nu_A$

(1 punct)

• Înlocuind în relația masei molare medii: $\mu_{\text{am}} = \frac{\nu_A \cdot \mu_A + 1{,}5 \nu_A \cdot \mu_B}{2{,}5 \nu_A} = \frac{\mu_A + 1{,}5 \cdot \mu_B}{2{,}5}$
• Înlocuind valorile cunoscute ($\mu_{\text{am}} = 18{,}4\text{ g/mol}$, $\mu_B = 4\text{ g/mol}$): $18{,}4 = \frac{\mu_A + 1{,}5 \cdot 4}{2{,}5} \implies 18{,}4 \cdot 2{,}5 = \mu_A + 6 \implies 46 = \mu_A + 6$ $\mu_A = 46 - 6 = 40\text{ g/mol}$

(1 punct)

(Gazul din compartimentul A este Argonul).

Cerința a: Reprezentarea procesului ciclic în coordonate $p-V$ (4 puncte)

• Coordonatele stărilor ciclului:
  • Starea 1: $(V_1, p_1)$
  • Starea 2: $(V_1, 4p_1)$ – izocoră de la 1 la 2
  • Starea 3: transformarea $2 \to 3$ este izotermă ($p_2 V_2 = p_3 V_3$), așadar: $p_3 = \frac{p_2 V_1}{V_3} = \frac{4p_1 V_1}{3V_1} = \frac{4}{3}p_1 \implies \text{Starea 3: } \left(3V_1, \frac{4}{3}p_1\right)$
  • Starea 4: transformarea $3 \to 4$ este izocoră până la $p_4 = p_1$, deci starea 4 are coordonatele $(3V_1, p_1)$
  • Transformarea $4 \to 1$: răcire izobară la $p = p_1$ de la $3V_1$ înapoi la $V_1$.

(4 puncte pentru reprezentarea grafică corectă)

Cerința b: Lucrul mecanic total $L_{\text{total}}$ (4 puncte)

• Lucrul mecanic total este suma lucrurilor mecanice pe fiecare etapă: $L_{\text{total}} = L_{12} + L_{23} + L_{34} + L_{41}$
• Pentru transformările izocore $1 \to 2$ și $3 \to 4$, volumul este constant, așadar: $L_{12} = 0,\quad L_{34} = 0 \implies L_{\text{total}} = L_{23} + L_{41}$

(1 punct)

• În destinderea izotermă $2 \to 3$: $L_{23} = \nu R T_2 \ln\frac{V_3}{V_2} = p_2 V_2 \ln\frac{3V_1}{V_1} = 4 p_1 V_1 \ln 3$

(1 punct)

• În răcirea izobară $4 \to 1$: $L_{41} = p_1 (V_1 - V_4) = p_1 (V_1 - 3V_1) = -2 p_1 V_1$

(1 punct)

• Calcul numeric ($p_1 = 10^5\text{ Pa}$, $V_1 = 10\text{ L} = 10^{-2}\text{ m}^3$, $p_1 V_1 = 1000\text{ J} = 1\text{ kJ}$, $\ln 3 = 1{,}1$): $L_{23} = 4 \cdot 1000\text{ J} \cdot 1{,}1 = 4400\text{ J} = 4{,}4\text{ kJ}$ $L_{41} = -2 \cdot 1000\text{ J} = -2000\text{ J} = -2{,}0\text{ kJ}$ $L_{\text{total}} = 4400\text{ J} - 2000\text{ J} = 2400\text{ J} = 2{,}4\text{ kJ}$

(1 punct)

Cerința c: Căldura primită de gaz în cursul ciclului (4 puncte)

• Gazul primește căldură pe porțiunile unde $Q > 0$, adică pe izocora $1 \to 2$ și pe izoterma $2 \to 3$: $Q_{\text{primit}} = Q_{12} + Q_{23}$

(1 punct)

• Pentru încălzirea izocoră $1 \to 2$: $Q_{12} = \nu C_V (T_2 - T_1) = C_V \frac{p_2 V_1 - p_1 V_1}{R} = 1{,}5 (4p_1 V_1 - p_1 V_1) = 4{,}5 p_1 V_1$

(1 punct)

$Q_{12} = 4{,}5 \cdot 1000\text{ J} = 4500\text{ J} = 4{,}5\text{ kJ}$

• Pentru destinderea izotermă $2 \to 3$ ($\Delta U_{23} = 0$): $Q_{23} = L_{23} = 4400\text{ J} = 4{,}4\text{ kJ}$

(1 punct)

• Căldura totală primită: $Q_{\text{primit}} = 4500\text{ J} + 4400\text{ J} = 8900\text{ J} = 8{,}9\text{ kJ}$

(1 punct)

Cerința d: Randamentul motorului Carnot între temperaturile extreme (3 puncte)

• Randamentul unui ciclu Carnot este: $\eta_C = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}}$

(1 punct)

• Determinăm temperaturile extreme din ecuațiile de stare $T = \dfrac{p V}{\nu R}$:
  • În starea 1: $T_1 = \dfrac{p_1 V_1}{\nu R}$
  • În starea 2 și 3: $T_2 = T_3 = \dfrac{4p_1 V_1}{\nu R} = 4T_1$
  • În starea 4: $T_4 = \dfrac{p_1 \cdot 3V_1}{\nu R} = 3T_1$
• Rezultă temperaturile extreme: $T_{\min} = T_1,\quad T_{\max} = T_2 = 4T_1$

(1 punct)

• Calculul randamentului: $\eta_C = 1 - \frac{T_1}{4T_1} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\%$

(1 punct)

Item 1: Răspuns a (3 puncte)

• Legea lui Ohm pentru un conductor liniar arată că rezistența electrică este: $R = \rho \cdot \frac{\ell}{S}$
• Rezistența electrică este direct proporțională cu lungimea firului $\ell$.
• (Dependența de temperatură $R(t) = R_0(1 + \alpha t)$ este o funcție liniară/afină, nu direct proporțională).
• Corect: a.

Item 2: Răspuns a (3 puncte)

• Raportul dintre sarcina electrică și intervalul de timp este intensitatea curentului electric: $I = \frac{q}{\Delta t} \implies [I] = \text{A (amper)}$
• Din formula puterii electrice disipate pe un rezistor: $P = I^2 \cdot R \implies I = \sqrt{\frac{P}{R}}$
• Astfel, unitatea de măsură a expresiei $\sqrt{\dfrac{P}{R}}$ este amperul ($\text{A}$).
• Corect: a.

Item 3: Răspuns d (3 puncte)

• Puterea debitată pe circuitul exterior $P(R) = \dfrac{E^2 R}{(R + r)^2}$ atinge valoarea maximă la adaptarea de impedanță, când $R = r$.
• Din graficul $P(R)$ se observă direct punctul de maxim:
  • $R = r = 2\ \Omega$
  • $P_{\max} = 32\text{ W}$
• Relația pentru puterea maximă transferată este: $P_{\max} = \frac{E^2}{4r}$
• Calculăm tensiunea electromotoare $E$: $E^2 = 4r \cdot P_{\max} = 4 \cdot 2\ \Omega \cdot 32\text{ W} = 256\text{ V}^2 \implies E = \sqrt{256} = 16\text{ V}$
• Corect: d.

Item 4: Răspuns a (3 puncte)

• Rezistența echivalentă a grupării serie: $R_s = 3R + 7R = 10R$
• Rezistența echivalentă a grupării paralel: $R_p = \frac{4R \cdot 6R}{4R + 6R} = \frac{24 R^2}{10 R} = 2{,}4 R$
• Sursa fiind ideală ($r = 0$), intensitățile curenților prin sursă sunt: $I_s = \frac{E}{R_s} = \frac{E}{10R},\quad I_p = \frac{E}{R_p} = \frac{E}{2{,}4R}$
• Raportul celor doi curenți: $\frac{I_s}{I_p} = \frac{R_p}{R_s} = \frac{2{,}4 R}{10 R} = 0{,}24$
• Corect: a.

Item 5: Răspuns c (3 puncte)

• Variația rezistenței electrice cu temperatura este descrisă de relația: $R = R_0 (1 + \alpha \cdot t)$
• Înlocuind valorile numerice ($R = 35\ \Omega$, $R_0 = 5\ \Omega$, $\alpha = 4{,}8 \cdot 10^{-3}\text{ K}^{-1}$): $35 = 5 (1 + 4{,}8 \cdot 10^{-3} \cdot t) \implies 7 = 1 + 4{,}8 \cdot 10^{-3} \cdot t$ $4{,}8 \cdot 10^{-3} \cdot t = 6 \implies t = \frac{6}{4{,}8 \cdot 10^{-3}} = \frac{6000}{4{,}8} = 1250^\circ\text{C}$
• Corect: c.

Cerința a: Rezistența echivalentă a circuitului exterior (4 puncte)

• Rezistoarele $R_2$ și $R_3$ (împreună cu ampermetrul ideal $\text{A}_3$ care are rezistență nulă) sunt conectate în paralel: $R_p = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$

(2 puncte)

$R_p = \frac{30\ \Omega \cdot 90\ \Omega}{30\ \Omega + 90\ \Omega} = \frac{2700}{120} = 22{,}5\ \Omega$

• Circuitul exterior este format din conectarea în serie a rezistorului $R_1$, a grupării paralel $R_p$ și a rezistorului $R_4$: $R_{\text{ext}} = R_1 + R_p + R_4$

(1 punct)

• Calcul numeric: $R_{\text{ext}} = 20\ \Omega + 22{,}5\ \Omega + 28{,}5\ \Omega = 71\ \Omega$

(1 punct)

Cerința b: Curentul indicat de ampermetrul $\text{A}_1$ (4 puncte)

• Parametrii echivalenți ai bateriei de $n = 8$ elemente legate în serie: $E_s = n \cdot E_0 = 8 \cdot 1{,}5\text{ V} = 12\text{ V}$

(1 punct)

$r_s = n \cdot r_0 = 8 \cdot 0{,}5\ \Omega = 4\ \Omega$

(1 punct)

• Ampermetrul $\text{A}_1$ măsoară curentul debitat de baterie în ramura principală. Conform legii lui Ohm pentru întregul circuit: $I_1 = \frac{E_s}{R_{\text{ext}} + r_s}$

(1 punct)

• Calcul numeric: $I_1 = \frac{12\text{ V}}{71\ \Omega + 4\ \Omega} = \frac{12\text{ V}}{75\ \Omega} = 0{,}16\text{ A}$

(1 punct)

Cerința c: Curentul indicat de ampermetrul $\text{A}_3$ (4 puncte)

• Tensiunea pe gruparea paralel ($R_2 \parallel R_3$) este: $U_p = I_1 \cdot R_p = I_2 \cdot R_2 = I_3 \cdot R_3$

(2 puncte)

• Conform primei legi a lui Kirchhoff la nod: $I_1 = I_2 + I_3$

(1 punct)

• Curentul indicat de ampermetrul $\text{A}_3$ care străbate rezistorul $R_3$: $I_3 = \frac{U_p}{R_3} = \frac{I_1 \cdot R_p}{R_3} = \frac{0{,}16\text{ A} \cdot 22{,}5\ \Omega}{90\ \Omega} = \frac{3{,}6\text{ V}}{90\ \Omega} = 0{,}04\text{ A}$

(1 punct)

Cerința d: Tensiunea la bornele unui element al bateriei (3 puncte)

• Tensiunea la bornele unui singur element generator parcurs de curentul principal $I_1$ este: $U_0 = E_0 - I_1 \cdot r_0$

(2 puncte)

• Înlocuind valorile numerice: $U_0 = 1{,}5\text{ V} - 0{,}16\text{ A} \cdot 0{,}5\ \Omega = 1{,}5\text{ V} - 0{,}08\text{ V} = 1{,}42\text{ V}$

(1 punct)

Cerința a: Intensitatea curentului prin generator (4 puncte)

• Rezistența grupării paralel formate din $R_1$ și $R_2$: $R_p = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{12\ \Omega \cdot 6\ \Omega}{12\ \Omega + 6\ \Omega} = \frac{72}{18} = 4\ \Omega$

(1 punct)

• Rezistența echivalentă a circuitului exterior: $R_e = R_p + R_3 = 4\ \Omega + 6\ \Omega = 10\ \Omega$

(1 punct)

• Legea lui Ohm pentru întregul circuit: $I = \frac{E}{R_e + r}$

(1 punct)

• Calcul numeric: $I = \frac{36\text{ V}}{10\ \Omega + 2\ \Omega} = \frac{36\text{ V}}{12\ \Omega} = 3\text{ A}$

(1 punct)

Cerința b: Puterea disipată de rezistorul $R_2$ (4 puncte)

• Tensiunea la bornele grupării paralele: $U_p = I \cdot R_p = 3\text{ A} \cdot 4\ \Omega = 12\text{ V}$

(1 punct)

• Puterea disipată pe rezistorul $R_2$: $P_{R2} = \frac{U_p^2}{R_2}$

(2 puncte)

• Calcul numeric: $P_{R2} = \frac{(12\text{ V})^2}{6\ \Omega} = \frac{144}{6} = 24\text{ W}$

(1 punct)

Cerința c: Energia electrică disipată pe circuitul exterior (3 puncte)

• Intervalul de timp în unități S.I.: $\Delta t = 10\text{ min} = 10 \cdot 60\text{ s} = 600\text{ s}$
• Energia disipată prin efect Joule pe circuitul exterior: $W_e = I^2 \cdot R_e \cdot \Delta t$

(2 puncte)

• Calcul numeric: $W_e = (3\text{ A})^2 \cdot 10\ \Omega \cdot 600\text{ s} = 9 \cdot 6000 = 54\,000\text{ J} = 54\text{ kJ}$

(1 punct)

Cerința d: Randamentul circuitului electric (4 puncte)

• Randamentul circuitului electric este raportul dintre puterea utilă (debitată pe circuitul exterior) și puterea totală debitată de sursă: $\eta = \frac{R_e}{R_e + r}$

(3 puncte)

• Calcul numeric: $\eta = \frac{10\ \Omega}{10\ \Omega + 2\ \Omega} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \cong 0{,}8333 \cong 83\%$

(1 punct)