Item 1: Răspuns c (3 puncte)

• Energia cinetică a unui corp de masă $m$ este dată de relația: $E_c = \frac{m \cdot v^2}{2}$
• Deoarece viteza corpului are modulul constant în timp ($v = \text{const.}$), energia sa cinetică rămâne constantă.
• La coborâre înălțimea scade, așadar energia potențială gravitațională $E_p = mgh$ scade, ceea ce implică scăderea energiei mecanice totale ($E = E_c + E_p$). Accelerația este nulă ($a = 0$), iar rezultanta forțelor este nulă ($\vec{F}_{\text{rez}} = \vec{0}$).
• Corect: c.

Item 2: Răspuns d (3 puncte)

• Teorema variației impulsului afirmă că variația impulsului unui corp este egală cu impulsul forței rezultante care acționează asupra sa: $\Delta\vec{p} = \vec{F}_{\text{rez}} \cdot \Delta t$
• Enunțul specifică direct că rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra corpului este $F$. Prin urmare: $\Delta p = F \cdot \Delta t$
• Greutatea este deja inclusă în rezultanta tuturor forțelor $F$.
• Corect: d.

Item 3: Răspuns a (3 puncte)

• Scriem ecuația dimensională pentru produsul accelerație-timp la pătrat: $[a \cdot t^2] = [a] \cdot [t]^2 = \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \text{s}^2 = \text{m}\text{ (metru)}$
• (Expresia corespunde ordinului de mărime al unei distanțe parcurse în mișcarea rectiliniu uniform variată, $\Delta x \sim a t^2$).
• Corect: a.

Item 4: Răspuns b (3 puncte)

• Constanta elastică a unui fir este invers proporțională cu lungimea sa în stare nedeformată ($k \cdot \ell_0 = E \cdot S = \text{const.}$): $k' \cdot \ell_0' = k \cdot \ell_0 \implies k' = k \cdot \frac{\ell_0}{\ell_0'} = 150\text{ N/m} \cdot \frac{80\text{ cm}}{40\text{ cm}} = 300\text{ N/m}$
• Conform legii lui Hooke, alungirea produsă de forța $F = 6\text{ N}$ este: $\Delta\ell = \frac{F}{k'} = \frac{6\text{ N}}{300\text{ N/m}} = 0{,}02\text{ m} = 2\text{ cm}$
• Corect: b.

Item 5: Răspuns c (3 puncte)

• Lucrul mecanic efectuat de o forță unidimensională este egal cu aria suprafeței delimitate de curba forței $F(x)$ și axa deplasării $Ox$:
  • Pe intervalul $[0\text{ m}, 4\text{ m}]$, forța este constantă ($F = 4\text{ N}$), aria fiind a unui dreptunghi: $L_1 = 4\text{ N} \cdot 4\text{ m} = 16\text{ J}$
  • Pe intervalul $[4\text{ m}, 10\text{ m}]$, forța variază liniar de la $4\text{ N}$ la $8\text{ N}$, aria fiind a unui trapez: $L_2 = \frac{F(4) + F(10)}{2} \cdot (10 - 4) = \frac{4\text{ N} + 8\text{ N}}{2} \cdot 6\text{ m} = 6 \cdot 6 = 36\text{ J}$
• Lucrul mecanic total: $L = L_1 + L_2 = 16\text{ J} + 36\text{ J} = 52\text{ J}$
• Corect: c.

Cerința a: Reprezentarea forțelor care acționează asupra corpului (4 puncte)

În timpul alungirii resortului, asupra corpului acționează 5 forțe:

1. Greutatea corpului $\vec{G}$, orientată vertical în jos ($G = mg$).
2. Reacțiunea normală a suprafeței orizontale $\vec{N}$, orientată vertical în sus.
3. Forța de tracțiune $\vec{F}$, orientată la unghiul $\alpha = 45^\circ$ deasupra orizontalei, spre stânga.
4. Tensiunea din fir $\vec{T}$, orientată orizontal spre dreapta (spre resort).
5. Forța de frecare la alunecare $\vec{F}_f$, orientată orizontal spre dreapta (opus sensului deplasării spre stânga).

(4 puncte pentru reprezentarea corectă a tuturor forțelor)

Cerința b: Alungirea resortului la ruperea firului (4 puncte)

• Firul și resortul fiind legate în serie, iar masa lor fiind neglijabilă, forța elastică din resort este egală cu tensiunea din fir: $F_{e,\max} = T_r$

(1 punct)

• Expresia legii lui Hooke pentru forța elastică maximă: $F_{e,\max} = k \cdot \Delta\ell_{\max}$

(2 puncte)

• Alungirea resortului în momentul ruperii firului: $\Delta\ell_{\max} = \frac{T_r}{k} = \frac{2{,}0\text{ N}}{200\text{ N/m}} = 0{,}01\text{ m} = 1\text{ cm}$

(1 punct)

Cerința c: Calculul accelerației corpului după ruperea firului (4 puncte)

• După ruperea firului, forța din fir dispare ($T = 0$).
• Proiecția forțelor pe axa verticală $Oy$ (orientată în sus): $N + F\sin\alpha - mg = 0 \implies N = mg - F\sin\alpha$

(1 punct)

• Calcul numeric al reacțiunii normale ($\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $F = 3\sqrt{2}\text{ N}$): $N = 1{,}0\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 - 3\sqrt{2}\text{ N} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\text{ N} - 3\text{ N} = 7\text{ N}$
• Forța de frecare la alunecare este: $F_f = \mu \cdot N = 0{,}25 \cdot 7\text{ N} = 1{,}75\text{ N}$

(1 punct)

• Proiecția pe axa orizontală $Ox$ (în sensul mișcării spre stânga): $F\cos\alpha - F_f = m \cdot a$

(1 punct)

• Înlocuind valorile numerice ($\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies F\cos\alpha = 3\text{ N}$): $3\text{ N} - 1{,}75\text{ N} = 1{,}0\text{ kg} \cdot a \implies 1{,}25\text{ N} = 1{,}0\text{ kg} \cdot a \implies a = 1{,}25\text{ m/s}^2$

(1 punct)

Cerința d: Timpul până la oprirea corpului (3 puncte)

• După încetarea acțiunii forței $\vec{F}$ ($F = 0$), singura forță pe orizontală este forța de frecare, orientată opus mișcării.
• Pe verticală, reacțiunea normală devine egală cu greutatea: $N' = mg$.
• Forța de frecare devine: $F_f' = \mu \cdot m \cdot g$
• Accelerația de frânare are modulul: $a' = \frac{F_f'}{m} = \mu \cdot g$
• Legea vitezei în mișcarea uniform încetinită până la oprire ($v_{\text{final}} = 0$): $v - a' \cdot \Delta t = 0 \implies v = \mu \cdot g \cdot \Delta t$

(2 puncte)

• Calcul numeric ($v = 6\text{ m/s}$, $\mu = 0{,}25$, $g = 10\text{ m/s}^2$): $\Delta t = \frac{v}{\mu \cdot g} = \frac{6\text{ m/s}}{0{,}25 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{6}{2{,}5} = 2{,}4\text{ s}$

(1 punct)

Cerința a: Viteza corpului $m_1$ în punctul B (3 puncte)

• Pe porțiunea $AB$, frecarea fiind neglijabilă, energia mecanică a sistemului corp-resort se conservă: $E_A = E_B$

(1 punct)

• În starea inițială A, energia este potențială elastică, iar în B resortul este complet destins, întreaga energie fiind transferată în energia cinetică a corpului: $\frac{k \cdot x^2}{2} = \frac{m_1 \cdot v_B^2}{2}$

(1 punct)

• Viteza corpului în punctul B ($m_1 = 0{,}2\text{ kg}$, $k = 500\text{ N/m}$, $x = 0{,}1\text{ m}$): $v_B = x \cdot \sqrt{\frac{k}{m_1}} = 0{,}1\text{ m} \cdot \sqrt{\frac{500\text{ N/m}}{0{,}2\text{ kg}}} = 0{,}1 \cdot \sqrt{2500} = 0{,}1 \cdot 50 = 5\text{ m/s}$

(1 punct)

Cerința b: Energia cinetică a corpului $m_1$ în punctul C (4 puncte)

• Pe porțiunea $BC$, forța de frecare efectuează un lucru mecanic rezistent: $\Delta E_c = L_{Ff}$

(1 punct)

• Variația energiei cinetice: $\Delta E_c = E_{cC} - E_{cB}$

(1 punct)

• Lucrul mecanic al forței de frecare pe distanța $d = 2\text{ m}$: $L_{Ff} = -\mu \cdot m_1 \cdot g \cdot d = -0{,}4 \cdot 0{,}2\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 2\text{ m} = -1{,}6\text{ J}$

(1 punct)

• Energia cinetică în punctul B este: $E_{cB} = \frac{m_1 \cdot v_B^2}{2} = \frac{0{,}2 \cdot 25}{2} = 2{,}5\text{ J}$
• Energia cinetică în punctul C: $E_{cC} = E_{cB} + L_{Ff} = 2{,}5\text{ J} - 1{,}6\text{ J} = 0{,}9\text{ J}$

(1 punct)

Cerința c: Viteza ansamblului imediat după cuplare (4 puncte)

• Viteza corpului $m_1$ în punctul C, înainte de cuplare: $v_C = \sqrt{\frac{2E_{cC}}{m_1}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}9\text{ J}}{0{,}2\text{ kg}}} = \sqrt{9} = 3\text{ m/s}$
• Cuplarea celor două corpuri reprezintă o ciocnire plastică. Conform legii conservării impulsului pe orizontală: $m_1 \cdot v_C = (m_1 + m_2) \cdot v'$

(3 puncte)

• Viteza ansamblului imediat după cuplare ($m_1 = 0{,}2\text{ kg}$, $m_2 = 0{,}1\text{ kg}$): $v' = \frac{m_1 \cdot v_C}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}2\text{ kg} \cdot 3\text{ m/s}}{0{,}2\text{ kg} + 0{,}1\text{ kg}} = \frac{0{,}6}{0{,}3} = 2\text{ m/s}$

(1 punct)

Cerința d: Înălțimea maximă atinsă de ansamblu (4 puncte)

• După cuplare, ansamblul devine un pendul gravitațional care urcă sub acțiunea greutății și a tensiunii din fir (care nu efectuează lucru mecanic).
• Aplicăm teorema de variație a energiei cinetice între poziția cea mai de jos și înălțimea maximă $h$ (unde viteza devine nulă): $\Delta E_c = L_{\text{total}}$

(1 punct)

• Variația energiei cinetice: $\Delta E_c = 0 - \frac{(m_1 + m_2) \cdot v'^2}{2} = -\frac{(m_1 + m_2) \cdot v'^2}{2}$

(1 punct)

• Lucrul mecanic al greutății pe verticală: $L_{\text{total}} = -(m_1 + m_2) \cdot g \cdot h$

(1 punct)

• Rezultă: $h = \frac{v'^2}{2g} = \frac{(2\text{ m/s})^2}{2 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{4}{20} = 0{,}2\text{ m} = 20\text{ cm}$

(1 punct)

Item 1: Răspuns c (3 puncte)

• Într-o transformare izotermă ($T = \text{const.}$), variația energiei interne este nulă ($\Delta U = 0$).
• Conform primului principiu al termodinamicii: $Q = \Delta U + L = L$
• La comprimare, volumul scade ($V_2 < V_1$), deci lucrul mecanic este negativ ($L < 0$).
• Rezultă $Q < 0$, ceea ce înseamnă că gazul cedează căldură mediului exterior.
• Corect: c.

Item 2: Răspuns b (3 puncte)

• Relația lui Robert Mayer: $C_p - C_V = R$.
• Împărțind prin $C_V$, obținem: $\frac{C_p}{C_V} - 1 = \frac{R}{C_V} \implies \gamma - 1 = \frac{R}{C_V} \implies C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$
• Relația dintre căldura specifică și căldura molară este $c_V = \dfrac{C_V}{\mu}$: $c_V = \frac{R}{\mu(\gamma - 1)}$
• Corect: b.

Item 3: Răspuns b (3 puncte)

• Capacitatea calorică $C$ este definită ca raportul dintre căldura primită/cedată de corp și variația corespunzătoare de temperatură: $C = \frac{Q}{\Delta T} \implies [C] = \frac{[Q]}{[\Delta T]} = \frac{\text{J}}{\text{K}} = \text{J}\cdot\text{K}^{-1}$
• Corect: b.

Item 4: Răspuns d (3 puncte)

• Căldura primită este $Q_p = 1{,}2 \cdot L$. Randamentul ciclului Carnot este: $\eta = \frac{L}{Q_p} = \frac{L}{1{,}2 L} = \frac{1}{1{,}2} = \frac{5}{6}$
• Expresia randamentului Carnot în funcție de temperaturile surselor: $\eta = 1 - \frac{T_r}{T_c} \implies \frac{T_r}{T_c} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
• Inversul acestui raport este raportul cerut: $\frac{T_c}{T_r} = 6$
• Corect: d.

Item 5: Răspuns a (3 puncte)

• Procesul $1 \to 2$ este reprezentat printr-un segment de dreaptă a cărui prelungire trece prin originea axelor de coordonate, așadar ecuația procesului este $p = a \cdot V$.
• Lucrul mecanic este aria trapezului de sub segment: $L_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2} \cdot (V_2 - V_1) = \frac{a V_1 + a V_2}{2} \cdot (V_2 - V_1) = \frac{a}{2} \cdot (V_2^2 - V_1^2)$
• Variația energiei interne pentru gazul ideal monoatomic ($C_V = 1{,}5 R$): $\Delta U_{12} = \nu C_V \Delta T = 1{,}5 \nu R (T_2 - T_1) = 1{,}5 (p_2 V_2 - p_1 V_1) = 1{,}5 (a V_2^2 - a V_1^2) = 3 \cdot \left[\frac{a}{2}(V_2^2 - V_1^2)\right] = 3 \cdot L_{12}$
• Înlocuind $L_{12} = 240\text{ J}$: $\Delta U_{12} = 3 \cdot 240\text{ J} = 720\text{ J}$
• Corect: a.

Cerința a: Presiunea amestecului din butelie (3 puncte)

• Ecuația Clapeyron-Mendeleev pentru amestecul de gaze: $p \cdot V = \nu \cdot R \cdot T$

(2 puncte)

• Volumul în S.I.: $V = 83{,}1\text{ L} = 83{,}1 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3$.
• Calcul numeric: $p = \frac{\nu \cdot R \cdot T}{V} = \frac{5\text{ mol} \cdot 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \cdot 300\text{ K}}{83{,}1 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3} = \frac{12\,465}{0{,}0831} = 150\,000\text{ Pa} = 1{,}5 \cdot 10^5\text{ Pa}$

(1 punct)

Cerința b: Raportul dintre masa de heliu și masa de neon (4 puncte)

• Relația dintre masa unui gaz, numărul de moli și masa sa molară: $\frac{m_{\text{He}}}{m_{\text{Ne}}} = \frac{\nu_{\text{He}} \cdot \mu_{\text{He}}}{\nu_{\text{Ne}} \cdot \mu_{\text{Ne}}}$

(1 punct)

• Din datele problemei, $\nu_{\text{He}} = 4 \nu_{\text{Ne}}$: $\frac{\nu_{\text{He}}}{\nu_{\text{Ne}}} = 4$

(2 puncte)

• Înlocuind masele molare ($\mu_{\text{He}} = 4\text{ g/mol}$, $\mu_{\text{Ne}} = 20\text{ g/mol}$): $\frac{m_{\text{He}}}{m_{\text{Ne}}} = 4 \cdot \frac{4\text{ g/mol}}{20\text{ g/mol}} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0{,}8$

(1 punct)

Cerința c: Masa molară a amestecului de gaze (4 puncte)

• Masa molară a amestecului este definită prin raportul dintre masa totală și numărul total de moli: $\mu_{\text{amestec}} = \frac{m_{\text{He}} + m_{\text{Ne}}}{\nu}$

(1 punct)

• Determinăm cantitățile de substanță din $\nu = \nu_{\text{He}} + \nu_{\text{Ne}} = 4\nu_{\text{Ne}} + \nu_{\text{Ne}} = 5\nu_{\text{Ne}} = 5\text{ mol}$: $\nu_{\text{Ne}} = 1\text{ mol},\quad \nu_{\text{He}} = 4\text{ mol}$
• Masele gazelor din butelie: $m_{\text{He}} = 4\text{ mol} \cdot 4\text{ g/mol} = 16\text{ g},\quad m_{\text{Ne}} = 1\text{ mol} \cdot 20\text{ g/mol} = 20\text{ g}$

(2 puncte)

• Masa molară a amestecului: $\mu_{\text{amestec}} = \frac{16\text{ g} + 20\text{ g}}{5\text{ mol}} = \frac{36\text{ g}}{5\text{ mol}} = 7{,}2\text{ g/mol}$

(1 punct)

Cerința d: Căldura primită în timpul încălzirii (4 puncte)

• Numărul de moli de amestec evacuați la deschiderea robinetului: $\Delta\nu = \frac{\Delta m}{\mu_{\text{amestec}}} = \frac{7{,}2\text{ g}}{7{,}2\text{ g/mol}} = 1\text{ mol}$
• Cantitatea de substanță rămasă în butelie: $\nu' = \nu - \frac{\Delta m}{\mu_{\text{amestec}}} = 5\text{ mol} - 1\text{ mol} = 4\text{ mol}$

(1 punct)

• Butelia fiind închisă, volumul este constant ($V = \text{const.}$, transformare izocoră). Căldura primită la încălzirea cu $\Delta T = 20^\circ\text{C} = 20\text{ K}$: $Q = \nu' \cdot C_V \cdot \Delta T$

(2 puncte)

• Calcul numeric ($C_V = 1{,}5 R = 1{,}5 \cdot 8{,}31 = 12{,}465\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$): $Q = 4\text{ mol} \cdot 1{,}5 \cdot 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \cdot 20\text{ K} = 6 \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 997{,}2\text{ J} \cong 1\text{ kJ}$

(1 punct)

Cerința a: Variația energiei interne în transformarea $3 \to 1$ (4 puncte)

• Expresia variației energiei interne pentru transformarea $3 \to 1$: $\Delta U_{31} = \nu C_V (T_1 - T_3)$

(1 punct)

• Din ecuația Clapeyron-Mendeleev în starea 1: $\nu R T_1 = p_1 V_1 = 10^5\text{ Pa} \cdot 2 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3 = 200\text{ J}$

(1 punct)

• Din grafic, transformarea $3 \to 1$ este o dreaptă ce trece prin origine ($p = a \cdot V$). Prin urmare: $\frac{p_3}{V_3} = \frac{p_1}{V_1} \implies p_3 = p_1 \cdot \frac{2V_1}{V_1} = 2p_1$
• Temperatura în starea 3: $\nu R T_3 = p_3 V_3 = (2p_1) \cdot (2V_1) = 4p_1 V_1 = 4\nu R T_1 \implies T_3 = 4T_1$

(1 punct)

• Calcul numeric al variației energiei interne ($C_V = 2R$): $\Delta U_{31} = \nu (2R) (T_1 - 4T_1) = -6 \nu R T_1 = -6 \cdot 200\text{ J} = -1200\text{ J} = -1{,}2\text{ kJ}$

(1 punct)

Cerința b: Căldura primită de gaz în transformarea $2 \to 3$ (3 puncte)

• Transformarea $2 \to 3$ este izotermă ($T_2 = T_3 = 4T_1$), deci $\Delta U_{23} = 0$, iar căldura este egală cu lucrul mecanic: $Q_{23} = L_{23} = \nu R T_2 \ln\frac{V_3}{V_2} = \nu R T_3 \ln\frac{2V_1}{V_1} = (4p_1 V_1) \cdot \ln 2$

(2 puncte)

• Calcul numeric ($\ln 2 = 0{,}7$, $p_1 V_1 = 200\text{ J}$): $Q_{23} = 4 \cdot 200\text{ J} \cdot 0{,}7 = 560\text{ J}$

(1 punct)

Cerința c: Lucrul mecanic total pe ciclu (4 puncte)

• Lucrul mecanic pe întregul ciclu este: $L = L_{12} + L_{23} + L_{31}$

(1 punct)

• Transformarea $1 \to 2$ este izocoră: $L_{12} = 0$
• În transformarea izotermă $2 \to 3$: $L_{23} = Q_{23} = 560\text{ J}$

(1 punct)

• În transformarea liniară $3 \to 1$, volumul scade de la $2V_1$ la $V_1$: $L_{31} = -\frac{p_3 + p_1}{2} \cdot (V_3 - V_1) = -\frac{2p_1 + p_1}{2} \cdot (2V_1 - V_1) = -1{,}5 p_1 V_1$

(1 punct)

$L_{31} = -1{,}5 \cdot 200\text{ J} = -300\text{ J}$

• Lucrul mecanic total pe ciclu: $L = 560\text{ J} - 300\text{ J} = 260\text{ J}$

(1 punct)

Cerința d: Randamentul motorului termic (4 puncte)

• Randamentul ciclului este: $\eta = \frac{L}{Q_p}$

(1 punct)

• Căldura primită provine din transformările unde $Q > 0$, adică pe izocora $1 \to 2$ și pe izoterma $2 \to 3$: $Q_p = Q_{12} + Q_{23}$

(1 punct)

• Căldura absorbită pe izocora $1 \to 2$: $Q_{12} = \nu C_V (T_2 - T_1) = \nu (2R) (4T_1 - T_1) = 6 \nu R T_1 = 6 \cdot 200\text{ J} = 1200\text{ J}$

(1 punct)

• Căldura totală primită: $Q_p = 1200\text{ J} + 560\text{ J} = 1760\text{ J}$
• Calculul randamentului: $\eta = \frac{260\text{ J}}{1760\text{ J}} = \frac{13}{88} \cong 0{,}1477 \cong 14{,}8\%$

(1 punct)

Item 1: Răspuns b (3 puncte)

• Prin convenție, sensul curentului electric este sensul de deplasare al purtătorilor de sarcină pozitivă:
  • În circuitul exterior: de la borna pozitivă ($+$) spre borna negativă ($-$).
  • În interiorul generatorului: de la borna negativă ($-$) spre borna pozitivă ($+$), pentru a închide circuitul.
• Corect: b.

Item 2: Răspuns d (3 puncte)

• Puterea electrică debitată este $P = U \cdot I \implies U = \dfrac{P}{I}$.
• În unități de măsură S.I.: $[U] = \frac{[P]}{[I]} = \frac{\text{W}}{\text{A}}$
• Corect: d.

Item 3: Răspuns a (3 puncte)

• Pentru $N$ generatoare identice conectate în paralel:
  • Tensiunea electromotoare echivalentă este $E_p = E$.
  • Rezistența interioară echivalentă este $r_p = \dfrac{r}{N}$.
• Conform legii lui Ohm pe întregul circuit: $I = \frac{E_p}{R + r_p} = \frac{E}{R + \dfrac{r}{N}} = \frac{N E}{N R + r}$
• Corect: a.

Item 4: Răspuns c (3 puncte)

• Graficul $R(t)$ este o dreaptă, ceea ce indică o dependență liniară $R(t) = R_0 + p \cdot t$.
• Din grafic citim:
  • La $t_0 = 0^\circ\text{C}$, $R_0 = 100\ \Omega$.
  • La $t_1 = 100^\circ\text{C}$, $R_1 = 150\ \Omega$.
• Panta dreptei: $p = \frac{150\ \Omega - 100\ \Omega}{100^\circ\text{C}} = 0{,}5\ \Omega/^\circ\text{C}$
• La temperatura $t = 80^\circ\text{C}$: $R(80^\circ\text{C}) = 100\ \Omega + 0{,}5 \cdot 80 = 100 + 40 = 140\ \Omega$
• Corect: c.

Item 5: Răspuns d (3 puncte)

• Rezistența externă totală a celor două rezistoare legate în serie: $R_{\text{ext}} = R + 3R = 4R$
• Randamentul circuitului electric: $\eta = \frac{R_{\text{ext}}}{R_{\text{ext}} + r} = 50\% = 0{,}5$ $\frac{4R}{4R + r} = 0{,}5 \implies 4R = 0{,}5(4R + r) \implies 4R = 2R + 0{,}5 r \implies 2R = 0{,}5 r \implies r = 4R$
• Corect: d.

Cerința a: Rezistența echivalentă a celor trei rezistoare (4 puncte)

• Rezistoarele $R_2$ și $R_3$ sunt conectate în paralel între nodurile N și P: $R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$

(2 puncte)

$R_{23} = \frac{30\ \Omega \cdot 60\ \Omega}{30\ \Omega + 60\ \Omega} = \frac{1800}{90} = 20\ \Omega$

• Rezistorul $R_1$ este conectat în serie cu gruparea paralel $R_{23}$: $R_e = R_1 + R_{23}$

(1 punct)

• Calcul numeric: $R_e = 25\ \Omega + 20\ \Omega = 45\ \Omega$

(1 punct)

Cerința b: Rezistența interioară $r_2$ (4 puncte)

• Cele două generatoare identice $(E_1, r_1)$ sunt legate în paralel, formând o sursă echivalentă cu parametrii: $E_{1p} = E_1 = 20\text{ V},\quad r_{1p} = \frac{r_1}{2} = \frac{4\ \Omega}{2} = 2\ \Omega$
• Această grupare paralel este conectată în serie cu generatorul $(E_2, r_2)$ și cu ampermetrul ideal. Parametrii totali ai bateriei sunt: $E_e = E_1 + E_2 = 20\text{ V} + 30\text{ V} = 50\text{ V}$

(1 punct)

$r_e = \frac{r_1}{2} + r_2 = 2\ \Omega + r_2$

(1 punct)

• Legea lui Ohm pentru întregul circuit, ampermetrul indicând curentul principal $I = 1\text{ A}$: $I = \frac{E_e}{R_e + r_e}$

(1 punct)

• Înlocuind valorile cunoscute: $1\text{ A} = \frac{50\text{ V}}{45\ \Omega + 2\ \Omega + r_2} \implies 47\ \Omega + r_2 = 50\ \Omega \implies r_2 = 3\ \Omega$

(1 punct)

Cerința c: Tensiunea între bornele M și N (3 puncte)

• Un voltmetru ideal conectat între punctele M și N măsoară tensiunea la bornele rezistorului $R_1$: $U_{MN} = I \cdot R_1$

(2 puncte)

• Calcul numeric: $U_{MN} = 1\text{ A} \cdot 25\ \Omega = 25\text{ V}$

(1 punct)

Cerința d: Curentul prin rezistorul $R_2$ (4 puncte)

• Tensiunea la bornele grupării paralele $R_{23}$ (între nodurile N și P) este: $U_{NP} = I \cdot R_{23} = I_2 \cdot R_2$

(3 puncte)

• Calcul numeric: $U_{NP} = 1\text{ A} \cdot 20\ \Omega = 20\text{ V}$ $I_2 = \frac{U_{NP}}{R_2} = \frac{20\text{ V}}{30\ \Omega} = \frac{2}{3}\text{ A} \cong 0{,}67\text{ A}$

(1 punct)

Cerința a: Energia electrică disipată de consumatorul 2 (4 puncte)

• În regim nominal, energia disipată este: $W_2 = P_{n2} \cdot \Delta t$

(3 puncte)

• Intervalul de timp în secunde: $\Delta t = 1\text{ min} = 60\text{ s}$.
• Calcul numeric: $W_2 = 440\text{ W} \cdot 60\text{ s} = 26\,400\text{ J} = 26{,}4\text{ kJ}$

(1 punct)

Cerința b: Aria secțiunii transversale a firului consumatorului 1 (4 puncte)

• Rezistența electrică a consumatorului 1 în regim nominal: $R_1 = \frac{U_{n1}^2}{P_{n1}}$

(2 puncte)

$R_1 = \frac{(110\text{ V})^2}{110\text{ W}} = 110\ \Omega$

• Legea lui Ohm pentru conductorul cilindric: $R_1 = \rho \cdot \frac{L}{S}$

(1 punct)

• Aria secțiunii transversale: $S = \frac{\rho \cdot L}{R_1} = \frac{11 \cdot 10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m} \cdot 10\text{ m}}{110\ \Omega} = \frac{110 \cdot 10^{-7}}{110} = 1 \cdot 10^{-7}\text{ m}^2 = 0{,}1\text{ mm}^2$

(1 punct)

Cerința c: Curentul principal la conectarea în paralel (3 puncte)

• La conectarea în paralel la tensiunea $U = 110\text{ V} = U_{n1} = U_{n2}$, ambii consumatori funcționează la parametrii nominali: $I = I_{n1} + I_{n2}$

(1 punct)

• Intensitățile curenților nominali: $I = \frac{P_{n1}}{U_{n1}} + \frac{P_{n2}}{U_{n2}}$

(1 punct)

• Calcul numeric: $I = \frac{110\text{ W}}{110\text{ V}} + \frac{440\text{ W}}{110\text{ V}} = 1\text{ A} + 4\text{ A} = 5\text{ A}$

(1 punct)

Cerința d: Schema circuitului și calculul rezistorului de adaptare (4 puncte)

• Consumatorii au curenții nominali diferiți: $I_{n1} = 1\text{ A}$ și $I_{n2} = 4\text{ A}$, dar aceeași tensiune nominală $U_{n1} = U_{n2} = 110\text{ V}$.
• Tensiunea totală aplicată este $U' = 220\text{ V} = U_{n1} + U_{n2}$.
• Pentru ca ambii consumatori să funcționeze la regim nominal, prin consumatorul 2 trebuie să treacă curentul de $4\text{ A}$, iar prin consumatorul 1 doar curentul de $1\text{ A}$.
• De aceea, rezistorul suplimentar $R_s$ se conectează în paralel la bornele consumatorului 1 (cu putere nominală mai mică):

(1 punct pentru schema corectă)

• Curentul care trebuie derivat prin rezistorul $R_s$: $I_s = I_{n2} - I_{n1} = 4\text{ A} - 1\text{ A} = 3\text{ A}$

(1 punct)

• Rezistența electrică a rezistorului suplimentar: $R_s = \frac{U_{n1}}{I_s}$

(1 punct)

• Calcul numeric: $R_s = \frac{110\text{ V}}{3\text{ A}} \cong 36{,}67\ \Omega \cong 36{,}7\ \Omega$

(1 punct)

Item 1: Răspuns d (3 puncte)

• Într-o oglindă plană, imaginea virtuală este simetrică cu obiectul față de planul oglinzii.
• Dacă distanța de la sursă la oglindă este $d = 20\text{ cm}$, imaginea se formează la distanța $d = 20\text{ cm}$ în spatele oglinzii.
• Distanța dintre sursă și imaginea sa este: $D = 2d = 2 \cdot 20\text{ cm} = 40\text{ cm}$
• Corect: d.

Item 2: Răspuns c (3 puncte)

• Raportul dintre viteza de propagare a undei electromagnetice și frecvență definește lungimea de undă: $\lambda = \frac{c}{\nu} \implies [\lambda] = \frac{[c]}{[\nu]} = \frac{\text{m/s}}{\text{s}^{-1}} = \text{m}\text{ (metru)}$
• Corect: c.

Item 3: Răspuns b (3 puncte)

• Conform proprietăților focarelor unei lentile convergente, orice rază de lumină incidentă care trece prin focarul principal obiect $F_1$ se refractă prin lentilă paralel cu axa optică principală.
• Pe desen, traseul paralel cu axa optică este cel notat cu (2).
• Corect: b.

Item 4: Răspuns d (3 puncte)

• Conform ecuației fotoelectrice a lui Einstein: $E_{c,\max} = h\nu - L$
• Calculăm energia fotonului incident: $h\nu = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} \cdot 6{,}5 \cdot 10^{14}\text{ s}^{-1} = 42{,}9 \cdot 10^{-20}\text{ J} = 4{,}29 \cdot 10^{-19}\text{ J}$
• Energia cinetică maximă: $E_{c,\max} = 4{,}29 \cdot 10^{-19}\text{ J} - 3{,}80 \cdot 10^{-19}\text{ J} = 0{,}49 \cdot 10^{-19}\text{ J} = 4{,}9 \cdot 10^{-20}\text{ J}$
• Corect: d.

Item 5: Răspuns d (3 puncte)

• Legea a doua a refracției luminii (legea lui Snell-Descartes) se scrie: $n_a \cdot \sin i = n_b \cdot \sin r \implies \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{n_b}{n_a}$
• Corect: d.

Cerința a: Convergența lentilei (4 puncte)

• Expresia convergenței unei lentile subțiri: $C = \frac{1}{f}$

(3 puncte)

• Distanța focală în metri: $f = 20\text{ cm} = 0{,}2\text{ m}$.
• Calcul numeric: $C = \frac{1}{0{,}2\text{ m}} = 5\text{ m}^{-1}\text{ (sau dioptrii, } \delta\text{)}$

(1 punct)

Cerința b: Construcția geometrică a imaginii (4 puncte)

Pentru a construi imaginea obiectului luminos liniar $AB$ perpendicular pe axa optică principală:

1. O rază care pleacă din vârful $B$ paralelă cu axa optică principală se refractă prin lentilă trecând prin focarul principal imagine $F'$.
2. O rază care pleacă din $B$ și trece prin centrul optic $O$ al lentilei traversează lentila nedeviată.

Intersecția celor două raze refractate determină vârful $B'$ al imaginii reale, răsturnate $A'B'$.

(4 puncte pentru construcția corectă a imaginii)