Barem și Justificare Itemii 1-5:

1. Răspuns corect: c (3 puncte)

   • Sania se deplasează rectiliniu și uniform cu viteză constantă ($v = \text{const.}$).
   • Conform principiului I al mecanicii (principiul inerției), accelerația este nulă ($\vec{a} = \vec{0}$), deci forța rezultantă este nulă:
   $$\vec{R} = \vec{F} + \vec{F}_f = \vec{0} \implies F - F_f = 0 \implies F = F_f$$
   • Prin urmare, forța de tracțiune este egală în modul cu forța de frecare la alunecare.

2. Răspuns corect: d (3 puncte)

   • Legea lui Hooke stabilește că modulul forței elastice este proporțional cu valoarea absolută a deformării resortului:
   $$|\vec{F}_e| = k \cdot |\Delta \ell|$$
   • La comprimare, lungimea finală $\ell$ este mai mică decât lungimea în stare nedeformată $\ell_0$ ($\ell < \ell_0$), astfel că deformarea este:
   $$\Delta \ell = \ell_0 - \ell > 0 \implies |\vec{F}_e| = k(\ell_0 - \ell)$$

3. Răspuns corect: d (3 puncte)

   • Viteza medie este definită ca raportul dintre distanța totală parcursă și durata totală a deplasării:
   $$v_m = \frac{d_{\text{total}}}{\Delta t_{\text{total}}} = \frac{d_1 + d_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2}$$
   • Înlocuind valorile numerice cunoscute:
   $$5 = \frac{50 + 75}{15 + \Delta t_2} = \frac{125}{15 + \Delta t_2}$$ $$5(15 + \Delta t_2) = 125 \implies 15 + \Delta t_2 = 25 \implies \Delta t_2 = 10\text{ s}$$

4. Răspuns corect: a (3 puncte)

   • Descompunem unitățile în unități fundamentale din Sistemul Internațional:
   $$1\text{ J} = 1\text{ N}\cdot\text{m} = 1\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}$$
   • Înlocuim în expresia dată:
   $$\text{J}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} = \frac{\text{J}}{\text{m}\cdot\text{kg}} = \frac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{m}\cdot\text{kg}} = \frac{\text{N}}{\text{kg}} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m/s}^2}{\text{kg}} = \text{m/s}^2$$
   • Unitatea $\text{m/s}^2$ este unitatea de măsură a accelerației în S.I.

5. Răspuns corect: d (3 puncte)

   • Lucrul mecanic al unei forțe unidimensionale dependente de coordonată este egal numeric cu aria suprafeței delimitate de graficul forței și axa coordonatei $Ox$:
   $$L = \text{Aria}_{0 \to 2{,}5} + \text{Aria}_{2{,}5 \to 5{,}5}$$

   • Calculăm ariile celor două dreptunghiuri:

     • Pe intervalul $x \in [0; 2{,}5]\text{ m}$, forța este $F_1 = 0{,}50\text{ kN} = 500\text{ N}$:
     $$L_1 = 0{,}50\text{ kN} \times 2{,}5\text{ m} = 1{,}25\text{ kJ} = 1250\text{ J}$$
     • Pe intervalul $x \in [2{,}5; 5{,}5]\text{ m}$, deplasarea este $\Delta x_2 = 5{,}5 - 2{,}5 = 3{,}0\text{ m}$, iar forța este $F_2 = 0{,}25\text{ kN} = 250\text{ N}$:
     $$L_2 = 0{,}25\text{ kN} \times 3{,}0\text{ m} = 0{,}75\text{ kJ} = 750\text{ J}$$

   • Lucrul mecanic total este:

   $$L = 1{,}25\text{ kJ} + 0{,}75\text{ kJ} = 2{,}00\text{ kJ} = 2\text{ kJ}$$

Rezolvare Detaliată:

Datele problemei:

• $m = 800\text{ g} = 0{,}8\text{ kg}$
• $M = 450\text{ g} = 0{,}45\text{ kg}$
• $T = 3{,}6\text{ N}$
• $g = 10\text{ m/s}^2$

a. Calculul accelerației corpului de masă $M$:

• Corpul $M$ coboară pe verticală sub acțiunea greutății proprii $\vec{G}_M$ orientată în jos și a tensiunii din fir $\vec{T}'$ orientată în sus.
• Firul fiind inextensibil și de masă neglijabilă, iar scripetele ideal, tensiunile de la capetele firului au aceeași valoare: $T' = T = 3{,}6\text{ N}$.
• Ecuația fundamentală a dinamicii pentru corpul $M$ pe axa verticală orientată în jos este:

• Înlocuim datele numerice:

b. Calculul coeficientului de frecare la alunecare $\mu$:

• Pe corpul de masă $m$ aflat pe suprafața orizontală acționează:

  • Pe verticală: greutatea $G = mg$ și reacțiunea normală a suportului $N$. Corpul nu se mișcă pe verticală, deci:
  $$N = mg = 0{,}8 \cdot 10 = 8\text{ N}$$
  • Forța de frecare la alunecare are modulul:
  $$F_f = \mu N = \mu mg$$
  • Pe orizontală (în direcția mișcării spre dreapta): tensiunea din fir $T$ și forța de frecare $F_f$ în sens opus.

• Ecuația mișcării pentru corpul $m$ este:

• Deoarece firul este inextensibil, accelerația corpului $m$ este egală cu accelerația corpului $M$: $a = 2\text{ m/s}^2$.
• Înlocuim:

• Din $F_f = \mu N$:

c. Calculul forței de reacțiune din axul scripetelui:

• Firul trece peste scripete sub un unghi de $90^\circ$ (o ramură orizontală și o ramură verticală).
• Cele două tensiuni egale $T$, perpendiculare una pe cealaltă, acționează asupra scripetelui.
• Forța rezultantă exercitată de fir asupra axului scripetelui este forța de reacțiune $F_s$:

• Înlocuim numeric:

d. Calculul masei $m_0$ pentru deplasare uniformă:

• Deplasarea se face uniform $\implies a' = 0$ (viteza este constantă).
• Masa totală de pe masă devine $m_{\text{total}} = m + m_0$.
• Ecuația de echilibru dinamic pentru corpul suspendat $M$:

• Ecuația de echilibru dinamic pentru corpul $(m + m_0)$ de pe masa orizontală:

• Noua forță de frecare este:

• Egalând:

Barem de Notare Oficial:

Rezolvare Detaliată:

Datele problemei:

• $m = 10\text{ kg}$
• $h = 50\text{ m}$
• $F = 120\text{ N}$ (orientată vertical în sus)
• $F_r = 10\text{ N}$ (orientată vertical în jos, opus deplasării)
• $v_A = 0$ (repaus inițial la sol, $y_A = 0$)
• $E_{p0} = 0$ la sol

a. Calculul energiei potențiale gravitaționale la înălțimea $h$:

• Expresia energiei potențiale gravitaționale față de nivelul de referință (solul) este:

• Înlocuim datele:

b. Calculul lucrului mecanic efectuat de forța de rezistență:

• Forța de rezistență se opune deplasării, având direcția verticală și sensul în jos, unghiul cu deplasarea fiind $\alpha = 180^\circ$ ($\cos 180^\circ = -1$):

• Înlocuim datele numerice:

c. Calculul energiei cinetice a corpului la înălțimea $h$:

• Aplicăm teorema variației energiei cinetice între starea inițială A ($y = 0$, repaus: $E_{cA} = 0$) și starea finală B ($y = h$):

• Forțele care efectuează lucru mecanic sunt: forța de tracțiune $F$, greutatea $G$ și forța de rezistență $F_r$:

• Lucrul mecanic al forței de tracțiune $F$ (forță motoare în sensul deplasării):

• Lucrul mecanic al forței de greutate:

• Lucrul mecanic total este:

• Cum $E_{cA} = 0$:

d. Calculul puterii medii dezvoltate de forța $F$:

• Puterea medie dezvoltată de o forță constantă este:

• Mișcarea pe verticală este rectilinie uniform accelerată cu accelerația constantă:

• Pentru o mișcare uniform accelerată pornind din repaus ($v_0 = 0$), viteza medie este media aritmetică a vitezelor inițială și finală:

• Viteza la înălțimea $h$ se deduce din energia cinetică $E_{cB} = \frac{m v_B^2}{2}$:

• Rezultă viteza medie:

• Puterea medie dezvoltată de forța $F$ este:

(Alternativ: $P_m = \frac{L_F}{\Delta t}$. Timpul de urcare este $\Delta t = \frac{v_B}{a} = \frac{10}{1} = 10\text{ s}$, deci $P_m = \frac{6000\text{ J}}{10\text{ s}} = 600\text{ W}$.)

Barem de Notare Oficial:

Barem și Justificare Itemii 1-5:

1. Răspuns corect: b (3 puncte)

   • Într-o transformare izobară ($p = \text{const.}$), principiul I al termodinamicii se scrie:
   $$Q = \Delta U + L$$
   • La destindere, volumul crește ($\Delta V > 0$), deci lucrul mecanic efectuat de gaz este pozitiv ($L = p\Delta V > 0$).
   • Conform legii Gay-Lussac, la presiune constantă temperatura crește odată cu volumul ($\frac{V}{T} = \text{const.} \implies \Delta T > 0$), deci variația energiei interne este pozitivă ($\Delta U = \nu C_V \Delta T > 0$).
   • Rezultă că:
   $$Q = \Delta U + L > L$$
   • Căldura primită este mai mare decât lucrul mecanic efectuat de gaz.

2. Răspuns corect: a (3 puncte)

   • Numărul de moli este legat de numărul de particule prin $\nu = \frac{N}{N_A}$ și de masa gazului prin $\nu = \frac{m}{\mu}$.
   • Egalând cele două expresii:
   $$\frac{m}{\mu} = \frac{N}{N_A} \implies m = \frac{N \cdot \mu}{N_A}$$

3. Răspuns corect: d (3 puncte)

   • Căldura specifică $c$ este definită prin relația $Q = m c \Delta T$, de unde:
   $$c = \frac{Q}{m \Delta T}$$
   • În Sistemul Internațional de unități:
   $$[c]_{\text{SI}} = \frac{[Q]}{[m][\Delta T]} = \frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} = \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$$

4. Răspuns corect: c (3 puncte)

   • Într-o transformare adiabatică nu există schimb de căldură cu mediul exterior ($Q = 0$).
   • Din principiul I al termodinamicii:
   $$Q = \Delta U + L = 0 \implies L = -\Delta U = -\nu C_V (T_2 - T_1) = \nu C_V (T_1 - T_2)$$
   • Înlocuim valorile numerice:
   $$L = 1\text{ mol} \cdot 1{,}5 \cdot 8{,}31\text{ J/(mol}\cdot\text{K)} \cdot (400 - 200)\text{ K}$$ $$L = 1{,}5 \cdot 8{,}31 \cdot 200 = 300 \cdot 8{,}31 = 2493\text{ J} \cong 2{,}5\text{ kJ}$$

5. Răspuns corect: c (3 puncte)

   • Analizăm transformările ciclului pe diagrama $p-T$:
     • Segmentele $1 \to 2$ și $3 \to 4$ se află pe drepte care trec prin originea axelor de coordonate ($p = \text{const.} \cdot T \implies \frac{p}{T} = \text{const.}$). Conform legii lui Charles, acestea sunt transformări izocore ($V = \text{constant}$).
     • Segmentele $2 \to 3$ și $4 \to 1$ sunt segmente verticale, perpendiculare pe axa temperaturii ($T = \text{constant}$). Acestea sunt transformări izoterme.
   • Prin urmare, ciclul este compus din două transformări izoterme și două transformări izocore.

Rezolvare Detaliată:

Datele problemei:

• $V_1 = 3\text{ L} = 3 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3$
• $p_1 = 1{,}4 \cdot 10^5\text{ Pa}$
• $T_1 = 280\text{ K}$
• $p_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa}$
• $R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$

a. Calculul cantității de gaz $\nu$ din balonul A:

• Aplicăm ecuația termică de stare a gazului ideal (Clapeyron-Mendeleev) în starea inițială:

• Exprimăm cantitatea de substanță:

b. Calculul temperaturii $T_2$ la răcirea cu pistonul blocat:

• Pistonul fiind blocat la capătul cilindrului, volumul ocupat de gaz rămâne constant: $V = V_1 = \text{constant}$ (transformare izocoră).
• Legea transformării izocore între starea 1 și starea 2 (unde $p_2 = p_0$):

• Rezultă temperatura $T_2$:

c. Calculul volumului total $V_3$ ocupat de gaz în urma încălzirii:

• Pistonul se deblochează și se deplasează fără frecare. Pentru ca pistonul să fie în echilibru mecanic, presiunea din interior trebuie să egaleze presiunea exterioară atmosferică: $p = p_0 = \text{constant}$ (transformare izobară).
• Gazul se încălzește de la $T_2 = 200\text{ K}$ la $T_3 = 320\text{ K}$.
• Legea transformării izobare (Gay-Lussac):

• Rezultă volumul final ocupat de gaz:

d. Calculul presiunii finale $p_f$ la readucerea pistonului în poziția inițială:

• Temperatura rămâne constantă la valoarea $T_3 = 320\text{ K}$ (transformare izotermă).
• Volumul scade de la $V_3 = 4{,}8\text{ L}$ înapoi la volumul inițial al balonului $V_1 = 3\text{ L}$.
• Legea transformării izoterme (Boyle-Mariotte):

• Rezultă presiunea finală:

Barem de Notare Oficial:

Rezolvare Detaliată:

Datele problemei:

• Gaz poliatomic: $C_V = 3R$
• $p_1 = 1{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa}$
• $V_1 = 2{,}0\text{ L} = 2{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3$
• În starea 2: $p_2 = 2p_1 = 2{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa}$, $V_2 = 5V_1 = 10{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3$
• În starea 3: transformarea $2 \to 3$ este izocoră ($V_3 = V_2 = 5V_1$), iar transformarea $3 \to 1$ este izobară la presiunea $p_3 = p_1$.

a. Calculul energiei interne a gazului în starea 1:

• Expresia energiei interne a gazului ideal este:

• Din ecuația de stare Clapeyron-Mendeleev, $\nu R T_1 = p_1 V_1$, deci cu $C_V = 3R$:

• Înlocuim valorile:

b. Raportul dintre temperatura maximă și temperatura minimă:

• Temperatura în fiecare stare este proporțională cu produsul $p \cdot V$:
  • Starea 1: $T_1 = \frac{p_1 V_1}{\nu R}$
  • Starea 2: $T_2 = \frac{p_2 V_2}{\nu R} = \frac{(2p_1)(5V_1)}{\nu R} = 10 \cdot \frac{p_1 V_1}{\nu R} = 10 T_1$
  • Starea 3: $T_3 = \frac{p_3 V_3}{\nu R} = \frac{p_1 (5V_1)}{\nu R} = 5 T_1$
• De-a lungul transformării liniare $1 \to 2$, ecuația dreptei este $p(V) = p_1 + \frac{p_1}{4V_1}(V - V_1)$. Produsul $p(V) \cdot V$ este o funcție crescătoare pe întreg intervalul $[V_1; 5V_1]$, deci temperatura crește monoton de la $T_1$ la $T_2$.
• Temperatura minimă a ciclului este $T_{\min} = T_1$, iar temperatura maximă este $T_{\max} = T_2$.
• Raportul cerut este:

c. Calculul lucrului mecanic în transformarea $1 \to 2$:

• În coordonate $p-V$, lucrul mecanic într-o transformare liniară este egal cu aria trapezului de sub segmentul $1-2$:

• Înlocuim numeric:

d. Calculul căldurii cedate de gaz mediului exterior pe parcursul unui ciclu:

• Identificăm etapele în care gazul cedează căldură ($Q < 0$):

  • Transformarea $2 \to 3$ este o răcire izocoră la volumul $V_2 = 5V_1$, unde presiunea scade de la $2p_1$ la $p_1$:
  $$Q_{23} = \nu C_V (T_3 - T_2) = 3(\nu R T_3 - \nu R T_2) = 3(p_3 V_3 - p_2 V_2)$$ $$Q_{23} = 3(p_1 \cdot 5V_1 - 2p_1 \cdot 5V_1) = 3(-5 p_1 V_1) = -15 p_1 V_1$$ $$Q_{23} = -15 \cdot (1{,}0 \cdot 10^5 \cdot 2{,}0 \cdot 10^{-3}) = -15 \cdot 200\text{ J} = -3000\text{ J} = -3{,}0\text{ kJ}$$
  • Transformarea $3 \to 1$ este o răcire și comprimare izobară la presiunea constantă $p_1$, unde volumul scade de la $5V_1$ la $V_1$:
  • Căldura molară la presiune constantă pentru gazul ideal este:
  $$C_p = C_V + R = 3R + R = 4R$$ $$Q_{31} = \nu (C_V + R)(T_1 - T_3) = 4(\nu R T_1 - \nu R T_3) = 4(p_1 V_1 - p_1 \cdot 5V_1) = 4(-4 p_1 V_1) = -16 p_1 V_1$$ $$Q_{31} = -16 \cdot 200\text{ J} = -3200\text{ J} = -3{,}2\text{ kJ}$$

• Căldura totală cedată de gaz este suma căldurilor negative:

(Modulul căldurii cedate este $|Q_{\text{cedat}}| = 6{,}2\text{ kJ}$.)

Barem de Notare Oficial:

Barem și Justificare Itemii 1-5:

1. Răspuns corect: b (3 puncte)

   • Două surse identice conectate în serie au tensiunea electromotoare echivalentă $E_s = E + E = 2E$ și rezistența interioară echivalentă $r_s = r + r = 2r$.
   • Conform legii lui Ohm pentru întregul circuit:
   $$I = \frac{E_s}{R + r_s} = \frac{2E}{2r + R}$$

2. Răspuns corect: c (3 puncte)

   • Puterea disipată pe un rezistor de rezistență variabilă $R$ alimentat de o sursă $(E, r)$ este dată de:
   $$P(R) = I^2 R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}$$
   • Puterea transferată circuitului exterior este maximă la adaptarea de impedanță (condiția de transfer maxim de putere), adică atunci când $R = r$:
   $$P_{\max} = \frac{E^2}{4r}$$
   • Înlocuind $E = 12\text{ V}$ și $r = 1\,\Omega$:
   $$P_{\max} = \frac{12^2}{4 \cdot 1} = \frac{144}{4} = 36\text{ W}$$

3. Răspuns corect: a (3 puncte)

   • Rezistența unui conductor cilindric este $R = \rho \frac{\ell}{S}$, de unde rezistivitatea are unitatea de măsură:
   $$[\rho]_{\text{SI}} = [R] \cdot \frac{[S]}{[\ell]} = \Omega \cdot \frac{\text{m}^2}{\text{m}} = \Omega \cdot \text{m}$$
   • Raportul dintre rezistivitate și lungime are deci unitatea:
   $$\left[\frac{\rho}{\ell}\right]_{\text{SI}} = \frac{[\rho]}{[\ell]} = \frac{\Omega \cdot \text{m}}{\text{m}} = \Omega\text{ (ohm)}$$

4. Răspuns corect: d (3 puncte)

   • Din graficul caracteristicii curent-tensiune $I(U)$, alegem punctul $(U = 30\text{ V}, I = 6\text{ mA})$:
   $$I = 6\text{ mA} = 6 \cdot 10^{-3}\text{ A}$$
   • Conform legii lui Ohm pentru o porțiune de circuit:
   $$R = \frac{U}{I} = \frac{30\text{ V}}{6 \cdot 10^{-3}\text{ A}} = 5000\,\Omega = 5\text{ k}\Omega$$

5. Răspuns corect: d (3 puncte)

   • Analizând conexiunile circuitului între bornele A și B:

     • Între nodul A și nodul B este conectat direct un prim rezistor de rezistență $R$ (ramura verticală din stânga).
     • Pornind din nodul A, calea exterioară conține un rezistor sus ($R$), unul în dreapta ($R$) și unul jos ($R$), toate trei legate în serie:
     $$R_{\text{serie}} = R + R + R = 3R$$
     • Această ramură serie este conectată în paralel cu rezistorul direct dintre A și B:
     $$R_{AB} = \frac{R \cdot R_{\text{serie}}}{R + R_{\text{serie}}} = \frac{R \cdot 3R}{R + 3R} = \frac{3R^2}{4R} = \frac{3}{4}R = 0{,}75R$$

Rezolvare Detaliată:

Datele problemei:

• $R_1 = 4\,\Omega$
• $R_2 = 5\,\Omega$
• $E = 9\text{ V}$
• $r = 1\,\Omega$
• $R_A \cong 0\,\Omega$ (ampermetru ideal)
• $I_A = 1\text{ A}$ (curentul total prin ramura principală cu sursa)

a. Calculul tensiunii electrice la bornele generatorului:

• Tensiunea la bornele sursei este egală cu diferența dintre tensiunea electromotoare și căderea internă de tensiune:

• Înlocuim valorile numerice:

b. Calculul intensității curentului prin rezistorul $R_2$:

• Scriem a doua lege a lui Kirchhoff pentru ochiul ce conține sursa și rezistorul $R_2$:

(Alternativ: tensiunea la borne este $U = I_A R_1 + U_{MN}$, deci $U_{MN} = U - I_A R_1 = 8\text{ V} - 1\text{ A} \cdot 4\,\Omega = 4\text{ V}$.)

• Din ecuația ochiului:

c. Calculul rezistenței electrice $R_x$:

• La nodul M, aplicăm prima lege a lui Kirchhoff:

• Curentul prin ramura cu rezistorul $R_x$ este:

• Rezistoarele $R_2$ și $R_x$ sunt legate în paralel între nodurile M și N, deci au aceeași tensiune la borne:

• Rezultă rezistența $R_x$:

d. Calculul curentului indicat de ampermetrul ideal conectat între M și N:

• Conectarea unui ampermetru ideal ($R_{A0} \cong 0\,\Omega$) între nodurile M și N produce un scurtcircuit al grupării paralele formate din $R_2$ și $R_x$.
• Tensiunea între nodurile M și N devine nulă ($U_{MN} = 0$). Rezistoarele $R_2$ și $R_x$ nu mai sunt străbătute de curent, întregul curent debitat de sursă trecând prin ampermetru.
• Circuitul conține acum doar sursa $(E, r)$ și rezistorul $R_1$:

• Rezultă intensitatea curentului:

Barem de Notare Oficial: